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三角形（1）-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题
一、选择题
1．（2025·罗定模拟）我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是（　　）尺．（丈和尺是长度单位，1丈尺）
A．5，6 B．10，11 C．11，12 D．12，13
2．（2025·罗定模拟）为了测量一张光盘的直径，把直尺、光盘、三角尺按图所示放置于桌面上，量出，这张光盘的直径是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·凉州模拟）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，相交于点F，若时，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·罗湖模拟）边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且与BF相交于点，当CG长最小时，BE的长是（　　）
A．2 B． C． D．
5．（2025·叙州模拟）如图，在ABC中，AB=AC=2，∠BAC=，D为线段BC边上的动点，以BD为边向上作等边BED，连接CE、AD，则AD+CE的最小值为（　　）
A．4 B．2+6 C．+3 D．6
6．（2025·河源模拟）如题图，正方形中，E为线段上一点，过B作于G，延长至点F，使，交于点K，延长交于点M，连接，若C为中点，，下列结论：
①，②点G为线段的三等分点；③；④；⑤．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7．（2025·祁阳模拟）如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点B，C重合），连接，点E，F分别在线段，的延长线上，且，点A与点F关于过点D的某条直线对称，从B运动到C的过程中，周长的变化规律是　（1） 　．
8．（2025·苍溪模拟）如图，已知的对角线与相交于点，将沿着直线翻折，得到，连接．若，则的长为　 　．
9．（2025·罗湖模拟）如图，已知点，点分别在轴和轴上；将线段AB绕点A顺时针旋转至线段AC，连BC，将沿轴正方向平移至；当双曲线恰好同时经过点E，F时，的值等于　 　．
10．（2025九下·丽水模拟） 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，CE平分∠ACB交AB于点E，过点E作FE⊥EC交AC于点F，连结BF并延长交AD于点G，交EC于点H，则△AFG与△BCH的面积比为　 　。
11．（2025·开江模拟）如图，是边长为4的等边三角形，点是的中点，点是边所在直线上的一动点，连接，在的右侧作等边，连接，则的最小值是　 　．
12．（2024九下·合江模拟）如图，在直角坐标系中，，，C是的中点，点D在第二象限，且四边形为矩形，P是上一个动点，过点P作于H，Q是点B关于点A的对称点，则的最小值为　 　．
三、证明题
13．（2025·舟山模拟）如图，在中，，D是内一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转到，使，连接．
（1）求证：．
（2）当时，求与的度数和．
14．（2025·岳阳模拟）如图，在菱形中，于点于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求证：为等边三角形．
15．（2024九下·门头沟模拟）如图，，，点在射线上，且，点在上且，连接，取的中点，连接并延长至，使，连接．
（1）如图1，当点在线段上时．
①用等式表示与的数量关系；
②连接，，直接写出，的数量关系和位置关系；
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，依题意补全图形2，猜想②中的结论是否还成立，并证明．
四、实践探究题
16．（2025·深圳模拟）【项目式学习】
问题背景：数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，转化是解决数学问题的一种重要策略．接下来，我们用转化来解决一个有意思的问题．
问题提出：一根绳子，随机分成三段，它们能构成三角形概率是多少？
理解问题：三条线段构成三角形的条件是什么？两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．假设绳子长度为1，方程的三段分别是，，．根据三角形的相关知识，需要符合以下条件：，，，等等．严格来说这是一个多元的不等式组，我们并没学过．但是这里有等式，可以通过“代入消元”的办法得到一些范围．如，将，代入，这就是一个一元一次不等式，可以得到的取值范围是．
解决问题：
（1）任务1：
①同理可得，的取值范围是 ▲ ，的取值范围是 ▲ ．
②如图1，是一个高为1的等边三角形．在等边三角形内任意取一点，连接，，，把等边三角形分成了三个小三角形，如图2，可以发现，，，与存在数量关系：，请给出证明．
（2）任务2：根据以上构造，设，，，则，，，只需要满足以上的不等式即可．请在图3的中，用阴影部分标记出，，满足上述条件的区域．（作出必要的说明或标识）
（3）任务3：阴影部分的面积与面积之比即为所求的概率，则一根绳子，随机分成三段，能构成三角形的概率是 ▲ ．
五、阅读理解题
17．（2024·西宁模拟）【阅读理解】
在中，，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D．
（1）特例体验，如图①，若直线，，则线段_____， _____， _____；
（2）规律探究：
（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转a，则线段和的数量关系为_____．
（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α，与线段相交于点H，请探究线段和的数量关系并说明理由；
（3）尝试应用：在图③中，延长线段交线段于点F，若，求的长．
18．（2022·交城模拟）阅读下列材料，并完成相应的学习任务：
一次有意义的动手实践活动——在格点图中巧作角平分线
实践背景
在一次动手实践课上，老师提出如下问题：在如图1所示由边长为1的小正方形组成的格点图中，点，，都在小正方形的顶点处，仅用无刻度的直尺作出的角平分线．
成果展示
小明、小亮展示了如下作法：
小明：如图2，在格点图中取格点，．连接，交于点．作出射线．
∵四边形是矩形，∴（依据1）．
∵，∴平分．
小亮：如图3，在格点图中取格点．连接，与小正方形的边交于点．则．
∵，．
∴（依据2）．
∴，即平分．
学习任务：
（1）实践反思：
①请填写出上述材料中的依据1和依据2．
依据1： ▲ ；依据2： ▲ ．
②请根据小亮的作法，证明．
（2）创新再探
请你根据实践背景问题要求，采用不同于小明和小亮的作法，描出作图过程中的所取得的点，作出的角平分线（不写作法，不需要说明理由）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
2．【答案】D
【知识点】切线的性质；解直角三角形；角平分线的判定
3．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质；内错角的概念
4．【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°
在△ABE和△BCF中
∴△ABE≌△BCF
∴∠BAE=∠CBF
∵∠ABF+∠CBF=90°
∴∠ABF+∠BAE=90°
∴∠AGB=90°
取AB的中点H，连接GH，CG
∵A，B为定点
∴G点的运动轨迹为以AB为直径，AB中点H为圆心的圆
当C，G，H共线时，CG的值最小
∵AB=BC=4
∴
∴
∴
∵GH=BH
∴∠CFG=∠HBG
∵CD∥AB
∴∠CFG=∠HBG
∵∠CGF=∠HBG
∴∠CFG=∠CGF
∴
∵BE=CF
∴BE=
故答案为：C
【分析】根据正方形性质可得AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△BCF，则∠BAE=∠CBF，根据角之间的关系可得∠AGB=90°，取AB的中点H，连接GH，CG，则G点的运动轨迹为以AB为直径，AB中点H为圆心的圆，当C，G，H共线时，CG的值最小，根据直角三角形斜边上的中线可得，再根据勾股定理可得CH，根据边之间的关系可得CG，再根据等边对等角可得∠CFG=∠HBG，根据直线平行性质可得∠CFG=∠HBG，则∠CFG=∠CGF，由等角对等边可得，即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
6．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
7．【答案】先变小后变大
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的性质
8．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
9．【答案】6
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平移的性质
【解析】【解答】解：作CG⊥x轴于点G
在△AOB和△CGA中
∴△AOB≌△CGA
∴OA=CG=1，OB=AG=3
∴C(4，1)
设向右平移的距离为m，则E(m，3)，F(4+m，1)
∵点E，F都在反比例函数图象上
∴3m+4+m，解得：m=2
∴E(2，3)
∴k=2×3=6
故答案为：6
【分析】作CG⊥x轴于点G，根据全等三角形判定定理可得△AOB≌△CGA，则OA=CG=1，OB=AG=3，即C(4，1)，设向右平移的距离为m，则E(m，3)，F(4+m，1)，将点E，F坐标代入反比例函数解析式，解方程可得m=2，则E(2，3)，再根据待定系数法将点E坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；8字型相似模型
【解析】【解答】解：延长CE交DA延长线于N，作EM⊥AC于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD∥BC
又∵AB=8，BC=6，
∴，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵AD∥BC，
∴∠N=∠BCE，
∴∠N=∠ACE，
∴AC=AN=10，
∵AN∥BC，
∴△ANE∽△BCE，
∴，
∴，，
∵AE+BE=AB=8，
∴AE=5，BE=3，
在△EBC于△EMC中，
∵∠EBC=∠EMC，∠ECB=∠ECM，EC=EC，
∴△EBC≌△EMC，
∴EB=EM=3，BC=CM=6，
∵∠ECF=∠ECM，∠FEC=∠EMC=90°，
∴△FEC∽△MEC，
∴，
∴，
∵CE2=BC2+BE2=45，
∴，
∴AF=AC-CF=；
∵AG∥BC，
∴△AGF∽△CBF，
∴，
∴，，
∴，
∴S△AGF=S△ABG=，
∵GN∥BC，
∴△NGH∽△CBH，
∴，
∴，，
∴，
∴S△BCH=S△BCE=，
∴.
故答案为：.
【分析】延长CE交DA延长线于N，作EM⊥AC于M，由矩形的性质得∠ABC=90°，AD∥BC，由是勾股定理算出AC的长，由角平分定义及平行线性质可推出∠N=∠ACE，由等角对等边得AC=AN=10，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△ANE∽△BCE，由相似三角形对应边成比例求出，，进而即可算出AE=5，BE=3；然后根据AAS判断出△EBC≌△EMC，得EB=EM=3，BC=CM=6；由有两组角对应相等的两个三角形相似得△FEC∽△MEC，由相似三角形对应边成比例并结合勾股定理可求出；由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△AGF∽△CBF，由相似三角形对应边成比例求出，，由同高三角形面积之比等于对应底之比得，从而可求出△AGF的面积为2；由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△NGH∽△CBH，由相似三角形对应边成比例求出，，由同高三角形面积之比等于对应底之比得，据此可算出△BCH的面积为8，从而即可求出两个三角形的面积之比.
11．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
12．【答案】6
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
，，
，，
是的中点，
，
，
四边形是矩形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
要使的值最小，只需、、三点共线即可，
点是点关于点的对称点，
，
又点，
根据勾股定理可得，
此时，，
即的最小值，6；
故答案为：6.
【分析】连接，得到四边形是矩形，然后推理证明是平行四边形，即可得到，的最小值只要的值最小，即当、、在一直线上时，的值最小，根据勾股定理计算解题．
13．【答案】（1）证明：∵旋转，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由旋转可得出CD=CE，再根据题意通过SAS即可判定三角形全等；
（2）由（1）可得出全等三角形的对应角相等，进而可得出与的度数和为的度数，即可得解.
14．【答案】（1）证明：四边形是菱形，
．
于点于点，
，
在与中，
．
；
（2）证明：，
；
四边形是菱形，
∴，
，
∵，
，
又，
，
由（1）知，
，
．
是等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定；菱形的性质
【解析】【分析】（1）先利用菱形的性质得出，再利用“”证明即可；
（2）先利用菱形的性质，结合已知求出度数，再利用三角形全等和直角三角形的性质可求出和，从而求出度数，再证明为等边三角形．
（1）证明：
（1）四边形是菱形，
．
又于点于点，
，
在与中，．
；
（2）证明：，
；
四边形是菱形，
∴，
，
∵，
，
又，
，
由（1）知，
，
．
是等边三角形．
15．【答案】（1）解：①，理由如下：
为的中点，
，
在△AGH和△FGE中，
，
，
，
，
；
②，，理由如下：
连接，，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
在△HAB和△ECB中，
，
，
，，
，
，
；
（2）解：补全图形如下，②的结论还成立，理由如下：
证明：连接，，
同①可证，，
设，则，
，，
，
，
在△HAB和△ECB中，
，
，，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）①由题意，用边角边可证△AGH≌△FGE，由全等三角形的对应边相等可得，结合已知可求解；
②连接，，由角的构成并结合题意可得∠HAB=∠BCE ，用边角边可证△HAB≌△ECB，由全等三角形的对应边（角）相等可得，，结合角的构成和垂线的定义即可求解；
（2）根据题意补全图形，同理可证△HAB≌△ECB，由全等三角形的对应边（角）相等可得，，结合角的构成和垂线的定义即可求解．
16．【答案】（1）①，；
②证明：∵△ABC为等边三角形
∴AB=BC=AC
∵
∴
∴
（2）解：设，，
∵，，
∴，，
作三角形三边中点D，E，F，连接DF，DE，EF
则△DEF内部即为所求范围
（3）
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；几何概率
【解析】【解答】（1）①∵x+y+z=1
∴y+z=1-x
∵y+z>x
∴1-x>x，解得：
∴
∵x+y+z=1
∴x+z=1-y
∵x+z>y
∴1-y>y，解得：
∴
故答案为：，
（3）∵△ABC为等边三角形，D，E，F分别为AB，AC，BC的中点
∴
∴一根绳子，随机分成三段，能构成三角形的概率是
故答案为：
【分析】（1）①根据题意即可求出答案.
②根据等边三角形性质及三角形面积即可求出答案.
（2）设，，，由（1）①可得，，，作三角形三边中点D，E，F，连接DF，DE，EF，则△DEF内部即为所求范围.
（3）根据几何概率即可求出答案.
17．【答案】（1）1，1，2；
（2）解：（Ⅰ）；
（Ⅱ）结论：，
理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：由（2）知；
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】（1）解：在中，，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：1，1，2；
（2）解：（Ⅰ）结论：，
理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）先利用平行线的性质及角的运算可得，利用等角对等边的性质可得，再结合，求出，最后求出即可；
（2）（Ⅰ）先利用“AAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，最后利用线段的和差及等量代换可得；
（Ⅱ）先利用“AAS”证出，可得，最后利用线段的和差及等量代换可得；
（3）先利用正切的定义及勾股定理求出，再结合，求出即可．
（1）解：在中，，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：1，1，2；
（2）解：（Ⅰ），理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
（Ⅱ），理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：由（2）知；
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
18．【答案】（1）解：①矩形的对角线互相平分；HL；②如图，在格点图中取点，．
∵，，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）解：作法不唯一．如下：
【知识点】三角形全等的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】（1）解：实践反思：①（1）矩形的对角线互相平分；HL．
（2）创新再探：作法不唯一．如下：
取格点，使得，
作菱形，则是的角平分线
【分析】（1）①利用矩形的性质求解即可；
②先证出，可得，再利用角的运算和等量代换求出，即可得到；
（2）根据要求作出图形即可。
1 / 1三角形（1）-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题
一、选择题
1．（2025·罗定模拟）我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是（　　）尺．（丈和尺是长度单位，1丈尺）
A．5，6 B．10，11 C．11，12 D．12，13
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
2．（2025·罗定模拟）为了测量一张光盘的直径，把直尺、光盘、三角尺按图所示放置于桌面上，量出，这张光盘的直径是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】切线的性质；解直角三角形；角平分线的判定
3．（2025·凉州模拟）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，相交于点F，若时，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质；内错角的概念
4．（2025·罗湖模拟）边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且与BF相交于点，当CG长最小时，BE的长是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°
在△ABE和△BCF中
∴△ABE≌△BCF
∴∠BAE=∠CBF
∵∠ABF+∠CBF=90°
∴∠ABF+∠BAE=90°
∴∠AGB=90°
取AB的中点H，连接GH，CG
∵A，B为定点
∴G点的运动轨迹为以AB为直径，AB中点H为圆心的圆
当C，G，H共线时，CG的值最小
∵AB=BC=4
∴
∴
∴
∵GH=BH
∴∠CFG=∠HBG
∵CD∥AB
∴∠CFG=∠HBG
∵∠CGF=∠HBG
∴∠CFG=∠CGF
∴
∵BE=CF
∴BE=
故答案为：C
【分析】根据正方形性质可得AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△BCF，则∠BAE=∠CBF，根据角之间的关系可得∠AGB=90°，取AB的中点H，连接GH，CG，则G点的运动轨迹为以AB为直径，AB中点H为圆心的圆，当C，G，H共线时，CG的值最小，根据直角三角形斜边上的中线可得，再根据勾股定理可得CH，根据边之间的关系可得CG，再根据等边对等角可得∠CFG=∠HBG，根据直线平行性质可得∠CFG=∠HBG，则∠CFG=∠CGF，由等角对等边可得，即可求出答案.
5．（2025·叙州模拟）如图，在ABC中，AB=AC=2，∠BAC=，D为线段BC边上的动点，以BD为边向上作等边BED，连接CE、AD，则AD+CE的最小值为（　　）
A．4 B．2+6 C．+3 D．6
【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
6．（2025·河源模拟）如题图，正方形中，E为线段上一点，过B作于G，延长至点F，使，交于点K，延长交于点M，连接，若C为中点，，下列结论：
①，②点G为线段的三等分点；③；④；⑤．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
二、填空题
7．（2025·祁阳模拟）如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点B，C重合），连接，点E，F分别在线段，的延长线上，且，点A与点F关于过点D的某条直线对称，从B运动到C的过程中，周长的变化规律是　（1） 　．
【答案】先变小后变大
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的性质
8．（2025·苍溪模拟）如图，已知的对角线与相交于点，将沿着直线翻折，得到，连接．若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
9．（2025·罗湖模拟）如图，已知点，点分别在轴和轴上；将线段AB绕点A顺时针旋转至线段AC，连BC，将沿轴正方向平移至；当双曲线恰好同时经过点E，F时，的值等于　 　．
【答案】6
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平移的性质
【解析】【解答】解：作CG⊥x轴于点G
在△AOB和△CGA中
∴△AOB≌△CGA
∴OA=CG=1，OB=AG=3
∴C(4，1)
设向右平移的距离为m，则E(m，3)，F(4+m，1)
∵点E，F都在反比例函数图象上
∴3m+4+m，解得：m=2
∴E(2，3)
∴k=2×3=6
故答案为：6
【分析】作CG⊥x轴于点G，根据全等三角形判定定理可得△AOB≌△CGA，则OA=CG=1，OB=AG=3，即C(4，1)，设向右平移的距离为m，则E(m，3)，F(4+m，1)，将点E，F坐标代入反比例函数解析式，解方程可得m=2，则E(2，3)，再根据待定系数法将点E坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
10．（2025九下·丽水模拟） 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，CE平分∠ACB交AB于点E，过点E作FE⊥EC交AC于点F，连结BF并延长交AD于点G，交EC于点H，则△AFG与△BCH的面积比为　 　。
【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；8字型相似模型
【解析】【解答】解：延长CE交DA延长线于N，作EM⊥AC于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD∥BC
又∵AB=8，BC=6，
∴，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵AD∥BC，
∴∠N=∠BCE，
∴∠N=∠ACE，
∴AC=AN=10，
∵AN∥BC，
∴△ANE∽△BCE，
∴，
∴，，
∵AE+BE=AB=8，
∴AE=5，BE=3，
在△EBC于△EMC中，
∵∠EBC=∠EMC，∠ECB=∠ECM，EC=EC，
∴△EBC≌△EMC，
∴EB=EM=3，BC=CM=6，
∵∠ECF=∠ECM，∠FEC=∠EMC=90°，
∴△FEC∽△MEC，
∴，
∴，
∵CE2=BC2+BE2=45，
∴，
∴AF=AC-CF=；
∵AG∥BC，
∴△AGF∽△CBF，
∴，
∴，，
∴，
∴S△AGF=S△ABG=，
∵GN∥BC，
∴△NGH∽△CBH，
∴，
∴，，
∴，
∴S△BCH=S△BCE=，
∴.
故答案为：.
【分析】延长CE交DA延长线于N，作EM⊥AC于M，由矩形的性质得∠ABC=90°，AD∥BC，由是勾股定理算出AC的长，由角平分定义及平行线性质可推出∠N=∠ACE，由等角对等边得AC=AN=10，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△ANE∽△BCE，由相似三角形对应边成比例求出，，进而即可算出AE=5，BE=3；然后根据AAS判断出△EBC≌△EMC，得EB=EM=3，BC=CM=6；由有两组角对应相等的两个三角形相似得△FEC∽△MEC，由相似三角形对应边成比例并结合勾股定理可求出；由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△AGF∽△CBF，由相似三角形对应边成比例求出，，由同高三角形面积之比等于对应底之比得，从而可求出△AGF的面积为2；由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△NGH∽△CBH，由相似三角形对应边成比例求出，，由同高三角形面积之比等于对应底之比得，据此可算出△BCH的面积为8，从而即可求出两个三角形的面积之比.
11．（2025·开江模拟）如图，是边长为4的等边三角形，点是的中点，点是边所在直线上的一动点，连接，在的右侧作等边，连接，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
12．（2024九下·合江模拟）如图，在直角坐标系中，，，C是的中点，点D在第二象限，且四边形为矩形，P是上一个动点，过点P作于H，Q是点B关于点A的对称点，则的最小值为　 　．
【答案】6
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
，，
，，
是的中点，
，
，
四边形是矩形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
要使的值最小，只需、、三点共线即可，
点是点关于点的对称点，
，
又点，
根据勾股定理可得，
此时，，
即的最小值，6；
故答案为：6.
【分析】连接，得到四边形是矩形，然后推理证明是平行四边形，即可得到，的最小值只要的值最小，即当、、在一直线上时，的值最小，根据勾股定理计算解题．
三、证明题
13．（2025·舟山模拟）如图，在中，，D是内一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转到，使，连接．
（1）求证：．
（2）当时，求与的度数和．
【答案】（1）证明：∵旋转，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由旋转可得出CD=CE，再根据题意通过SAS即可判定三角形全等；
（2）由（1）可得出全等三角形的对应角相等，进而可得出与的度数和为的度数，即可得解.
14．（2025·岳阳模拟）如图，在菱形中，于点于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求证：为等边三角形．
【答案】（1）证明：四边形是菱形，
．
于点于点，
，
在与中，
．
；
（2）证明：，
；
四边形是菱形，
∴，
，
∵，
，
又，
，
由（1）知，
，
．
是等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定；菱形的性质
【解析】【分析】（1）先利用菱形的性质得出，再利用“”证明即可；
（2）先利用菱形的性质，结合已知求出度数，再利用三角形全等和直角三角形的性质可求出和，从而求出度数，再证明为等边三角形．
（1）证明：
（1）四边形是菱形，
．
又于点于点，
，
在与中，．
；
（2）证明：，
；
四边形是菱形，
∴，
，
∵，
，
又，
，
由（1）知，
，
．
是等边三角形．
15．（2024九下·门头沟模拟）如图，，，点在射线上，且，点在上且，连接，取的中点，连接并延长至，使，连接．
（1）如图1，当点在线段上时．
①用等式表示与的数量关系；
②连接，，直接写出，的数量关系和位置关系；
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，依题意补全图形2，猜想②中的结论是否还成立，并证明．
【答案】（1）解：①，理由如下：
为的中点，
，
在△AGH和△FGE中，
，
，
，
，
；
②，，理由如下：
连接，，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
在△HAB和△ECB中，
，
，
，，
，
，
；
（2）解：补全图形如下，②的结论还成立，理由如下：
证明：连接，，
同①可证，，
设，则，
，，
，
，
在△HAB和△ECB中，
，
，，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）①由题意，用边角边可证△AGH≌△FGE，由全等三角形的对应边相等可得，结合已知可求解；
②连接，，由角的构成并结合题意可得∠HAB=∠BCE ，用边角边可证△HAB≌△ECB，由全等三角形的对应边（角）相等可得，，结合角的构成和垂线的定义即可求解；
（2）根据题意补全图形，同理可证△HAB≌△ECB，由全等三角形的对应边（角）相等可得，，结合角的构成和垂线的定义即可求解．
四、实践探究题
16．（2025·深圳模拟）【项目式学习】
问题背景：数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，转化是解决数学问题的一种重要策略．接下来，我们用转化来解决一个有意思的问题．
问题提出：一根绳子，随机分成三段，它们能构成三角形概率是多少？
理解问题：三条线段构成三角形的条件是什么？两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．假设绳子长度为1，方程的三段分别是，，．根据三角形的相关知识，需要符合以下条件：，，，等等．严格来说这是一个多元的不等式组，我们并没学过．但是这里有等式，可以通过“代入消元”的办法得到一些范围．如，将，代入，这就是一个一元一次不等式，可以得到的取值范围是．
解决问题：
（1）任务1：
①同理可得，的取值范围是 ▲ ，的取值范围是 ▲ ．
②如图1，是一个高为1的等边三角形．在等边三角形内任意取一点，连接，，，把等边三角形分成了三个小三角形，如图2，可以发现，，，与存在数量关系：，请给出证明．
（2）任务2：根据以上构造，设，，，则，，，只需要满足以上的不等式即可．请在图3的中，用阴影部分标记出，，满足上述条件的区域．（作出必要的说明或标识）
（3）任务3：阴影部分的面积与面积之比即为所求的概率，则一根绳子，随机分成三段，能构成三角形的概率是 ▲ ．
【答案】（1）①，；
②证明：∵△ABC为等边三角形
∴AB=BC=AC
∵
∴
∴
（2）解：设，，
∵，，
∴，，
作三角形三边中点D，E，F，连接DF，DE，EF
则△DEF内部即为所求范围
（3）
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；几何概率
【解析】【解答】（1）①∵x+y+z=1
∴y+z=1-x
∵y+z>x
∴1-x>x，解得：
∴
∵x+y+z=1
∴x+z=1-y
∵x+z>y
∴1-y>y，解得：
∴
故答案为：，
（3）∵△ABC为等边三角形，D，E，F分别为AB，AC，BC的中点
∴
∴一根绳子，随机分成三段，能构成三角形的概率是
故答案为：
【分析】（1）①根据题意即可求出答案.
②根据等边三角形性质及三角形面积即可求出答案.
（2）设，，，由（1）①可得，，，作三角形三边中点D，E，F，连接DF，DE，EF，则△DEF内部即为所求范围.
（3）根据几何概率即可求出答案.
五、阅读理解题
17．（2024·西宁模拟）【阅读理解】
在中，，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D．
（1）特例体验，如图①，若直线，，则线段_____， _____， _____；
（2）规律探究：
（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转a，则线段和的数量关系为_____．
（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α，与线段相交于点H，请探究线段和的数量关系并说明理由；
（3）尝试应用：在图③中，延长线段交线段于点F，若，求的长．
【答案】（1）1，1，2；
（2）解：（Ⅰ）；
（Ⅱ）结论：，
理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：由（2）知；
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】（1）解：在中，，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：1，1，2；
（2）解：（Ⅰ）结论：，
理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）先利用平行线的性质及角的运算可得，利用等角对等边的性质可得，再结合，求出，最后求出即可；
（2）（Ⅰ）先利用“AAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，最后利用线段的和差及等量代换可得；
（Ⅱ）先利用“AAS”证出，可得，最后利用线段的和差及等量代换可得；
（3）先利用正切的定义及勾股定理求出，再结合，求出即可．
（1）解：在中，，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：1，1，2；
（2）解：（Ⅰ），理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
（Ⅱ），理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：由（2）知；
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
18．（2022·交城模拟）阅读下列材料，并完成相应的学习任务：
一次有意义的动手实践活动——在格点图中巧作角平分线
实践背景
在一次动手实践课上，老师提出如下问题：在如图1所示由边长为1的小正方形组成的格点图中，点，，都在小正方形的顶点处，仅用无刻度的直尺作出的角平分线．
成果展示
小明、小亮展示了如下作法：
小明：如图2，在格点图中取格点，．连接，交于点．作出射线．
∵四边形是矩形，∴（依据1）．
∵，∴平分．
小亮：如图3，在格点图中取格点．连接，与小正方形的边交于点．则．
∵，．
∴（依据2）．
∴，即平分．
学习任务：
（1）实践反思：
①请填写出上述材料中的依据1和依据2．
依据1： ▲ ；依据2： ▲ ．
②请根据小亮的作法，证明．
（2）创新再探
请你根据实践背景问题要求，采用不同于小明和小亮的作法，描出作图过程中的所取得的点，作出的角平分线（不写作法，不需要说明理由）．
【答案】（1）解：①矩形的对角线互相平分；HL；②如图，在格点图中取点，．
∵，，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）解：作法不唯一．如下：
【知识点】三角形全等的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】（1）解：实践反思：①（1）矩形的对角线互相平分；HL．
（2）创新再探：作法不唯一．如下：
取格点，使得，
作菱形，则是的角平分线
【分析】（1）①利用矩形的性质求解即可；
②先证出，可得，再利用角的运算和等量代换求出，即可得到；
（2）根据要求作出图形即可。
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