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数学
第6练　直线与椭圆的位置关系（原卷版）
一、单项选择题
1．(2025·辽宁葫芦岛模拟)已知直线l：(a＋2)x＋(1－a)y－(a＋5)＝0，椭圆C：＋＝1，则l与C的位置关系为(　　)
A．相切 B．相交
C．相离 D．相交或相切
2．已知椭圆C：＋＝1，若直线l经过M(0，1)，与椭圆交于A，B两点，且＝－，则直线l的方程为(　　)
A．y＝±x＋1 B．y＝±x＋1
C．y＝±x＋1 D．y＝±x＋1
3．(2025·山东济南模拟)已知椭圆＋y2＝1，点P是椭圆上任意一点，则点P到直线x－y＋＝0的距离的最大值是(　　)
A． B．
C． D．
4．(2025·山东烟台模拟)过点M(2，1)作斜率为－1的直线与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，若M为线段AB的中点，则椭圆C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
5．椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上，且直线PA1的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA2的斜率的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
6．(2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB的面积是△F2AB面积的2倍，则m＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
7．(2025·湖南长沙模拟)已知椭圆＋＝1，若椭圆上存在不同的两点A，B关于直线y＝3x＋m对称，则实数m的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
8．(2025·四川天府新区模拟)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
二、多项选择题
9．(2025·吉林白山模拟)已知过点(0，1)的直线与椭圆x2＋＝1交于A，B两点，则弦长|AB|可能是(　　)
A．1 B．
C. D．2
10．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：kx－y－k＝0，椭圆C：＋＝1(a>b>0)，则下列说法正确的是(　　)
A．直线l恒过点(1，0)
B．若l恒过C的焦点，则a2＋b2＝1
C．若对任意实数k，l与C总有两个互异公共点，则a≥1
D．若a<1，则一定存在实数k，使得l与C有且只有一个公共点
11．在平面直角坐标系xOy中，由直线x＝－4上任一点P向椭圆＋＝1作切线，切点分别为A，B，点A在x轴的上方，则(　　)
A．∠APB恒为锐角
B．当AB垂直于x轴时，直线AP的斜率为
C．|AP|的最小值为4
D．存在点P，使得(＋)·＝0
三、填空题
12．(2024·河北沧州二模)已知F1，F2分别为椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1的直线与E交于M，N两点，若|MF1|＝3|MF2|＝4|NF1|，则E的离心率为________．
13．(2025·山东潍坊模拟)已知椭圆C：＋y2＝1，过x轴正半轴上一定点M作直线l，交椭圆C于A，B两点，当直线l绕点M旋转时，有＋＝λ(λ为常数)，则定点M的坐标为________，λ＝________．
14．(2022·新高考Ⅱ卷)已知直线l与椭圆＋＝1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2，则l的方程为________．
四、解答题
15．(2024·新课标Ⅰ卷)已知A(0，3)和P为椭圆C：＋＝1(a>b>0)上两点．
(1)求C的离心率；
(2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程．
16．已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)若k＝1，求|AB|的最大值；
(3)设P(－2，0)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C，D与点Q共线，求k.
第6练　直线与椭圆的位置关系（解析版）
一、单项选择题
1．(2025·辽宁葫芦岛模拟)已知直线l：(a＋2)x＋(1－a)y－(a＋5)＝0，椭圆C：＋＝1，则l与C的位置关系为(　　)
A．相切 B．相交
C．相离 D．相交或相切
答案：D
解析：由直线l：(a＋2)x＋(1－a)y－(a＋5)＝0，得2x＋y－5＋a(x－y－1)＝0，联立解得所以直线l过定点P(2，1)，代入椭圆C：＋＝1，有＋＝1，可知点P在椭圆上，则直线l与椭圆C的位置关系为相交或相切．故选D.
2．已知椭圆C：＋＝1，若直线l经过M(0，1)，与椭圆交于A，B两点，且＝－，则直线l的方程为(　　)
A．y＝±x＋1 B．y＝±x＋1
C．y＝±x＋1 D．y＝±x＋1
答案：B
解析：易知直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx＋1，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由消去y，整理得(9k2＋5)x2＋18kx－36＝0，Δ＝(18k)2＋4×36×(9k2＋5)>0，
由此解得k＝±，即直线l的方程为y＝±x＋1.故选B.
3．(2025·山东济南模拟)已知椭圆＋y2＝1，点P是椭圆上任意一点，则点P到直线x－y＋＝0的距离的最大值是(　　)
A． B．
C． D．
答案：A
解析：联立则5x2＋8x＋16＝0，则Δ＝(8)2－4×5×16＝0，所以直线x－y＋＝0与椭圆＋y2＝1相切，且在椭圆上方，设与椭圆相切的直线l的方程为x－y＋m＝0，联立则5x2＋8mx＋4m2－4＝0，故Δ＝0，即64m2－4×5(4m2－4)＝0，解得m＝(舍去)或m＝－，则直线l的方程为x－y－＝0，故两切线之间的距离d＝＝，即点P到直线x－y＋＝0的距离的最大值为.故选A.
4．(2025·山东烟台模拟)过点M(2，1)作斜率为－1的直线与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，若M为线段AB的中点，则椭圆C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
答案：D
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减可得＋··＝0，∴＋·kAB·＝0，∴＋×(－1)×＝0，∴a2＝2b2，∴椭圆C的离心率为＝＝＝.故选D.
5．椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上，且直线PA1的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA2的斜率的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
答案：A
解析：由题意可知，椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1(－2，0)，A2(2，0)，设P(x0，y0)，则y＝(4－x)，所以kPA1·kPA2＝·＝＝－，所以kPA1＝，因为kPA1∈[－2，－1]，即－2≤≤－1，可得≤kPA2≤，所以直线PA2的斜率的取值范围是.故选A.
6．(2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB的面积是△F2AB面积的2倍，则m＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
答案：C
解析：将直线与椭圆的方程联立得消去y可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0.
因为直线与椭圆交于A，B两点，则Δ＝36m2－4×4(3m2－3)>0，解得－27．(2025·湖南长沙模拟)已知椭圆＋＝1，若椭圆上存在不同的两点A，B关于直线y＝3x＋m对称，则实数m的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
答案：B
解析：椭圆＋＝1，即5x2＋9y2－45＝0，设椭圆上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝3x＋m对称，AB的中点为M(x0，y0)，则5x＋9y－45＝0，5x＋9y－45＝0，两式作差得5(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0，即＝－·＝－，即y0＝x0　①，由点M(x0，y0)在直线y＝3x＋m上，得y0＝3x0＋m　②，联立①②，得x0＝－，y0＝－，即M，因为点M(x0，y0)在椭圆内部，所以5×＋9×＜45，解得－＜m＜，即实数m的取值范围是.故选B.
8．(2025·四川天府新区模拟)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
答案：B
解析：解法一：由已知可设|F2B|＝n，则|AF2|＝2n，|BF1|＝|AB|＝3n，由椭圆的定义有2a＝|BF1|＋|BF2|＝4n，∴|AF1|＝2a－|AF2|＝2n.在△AF1F2和△BF1F2中，由余弦定理得又∠AF2F1与∠BF2F1互补，∴cos∠AF2F1＋cos∠BF2F1＝0，两式消去cos∠AF2F1，cos∠BF2F1，得3n2＋6＝11n2，解得n＝，∴2a＝4n＝2，∴a＝，∴b2＝a2－c2＝3－1＝2，∴椭圆C的方程为＋＝1.故选B.
解法二：如图，由已知可设|F2B|＝n，则|AF2|＝2n，|BF1|＝|AB|＝3n，由椭圆的定义有2a＝|BF1|＋|BF2|＝4n，∴|AF1|＝2a－|AF2|＝2n.在△AF1B中，由余弦定理的推论，得cos∠F1AB＝＝.在△AF1F2中，由余弦定理，得4n2＋4n2－2·2n·2n·＝4，解得n＝，∴2a＝4n＝2，∴a＝，∴b2＝a2－c2＝3－1＝2，∴椭圆C的方程为＋＝1.故选B.
二、多项选择题
9．(2025·吉林白山模拟)已知过点(0，1)的直线与椭圆x2＋＝1交于A，B两点，则弦长|AB|可能是(　　)
A．1 B．
C. D．2
答案：BCD
解析：由02＋＜1，得点(0，1)在椭圆内，若直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋1，与椭圆方程联立，并整理得(2＋k2)x2＋2kx－1＝0，且Δ＝4k2＋4(2＋k2)＞0，所以xA＋xB＝－，xAxB＝－，则|AB|＝×＝2×＝2×∈[，2)；若直线AB的斜率不存在，则|AB|＝2.综上，|AB|的取值范围是[，2]．故选BCD.
10．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：kx－y－k＝0，椭圆C：＋＝1(a>b>0)，则下列说法正确的是(　　)
A．直线l恒过点(1，0)
B．若l恒过C的焦点，则a2＋b2＝1
C．若对任意实数k，l与C总有两个互异公共点，则a≥1
D．若a<1，则一定存在实数k，使得l与C有且只有一个公共点
答案：ACD
解析：对于A，方程kx－y－k＝0可化为y＝k(x－1)，所以直线l恒过点(1，0)，A正确；对于B，设椭圆C的半焦距为c(c>0)，则椭圆C的焦点坐标为(c，0)和(－c，0)，由题意，知c＝1，所以a2－b2＝1，B错误；对于C，D，解法一：联立消去y，可得(a2k2＋b2)x2－2a2k2x＋a2k2－a2b2＝0，由对任意实数k，l与C总有两个互异公共点，可得方程(a2k2＋b2)x2－2a2k2x＋a2k2－a2b2＝0有2个不相等的实数解，所以Δ＝(－2a2k2)2－4(a2k2＋b2)(a2k2－a2b2)>0，所以k2(a2－1)＋b2>0，所以a≥1，C正确；因为Δ＝(－2a2k2)2－4(a2k2＋b2)(a2k2－a2b2)＝4a2b2[k2(a2－1)＋b2]，所以若a<1，则当k2＝，即k＝±时，可得Δ＝0，此时方程组有且只有一组解，故l与C有且只有一个公共点，D正确．解法二：因为直线l恒过点(1，0)，若对任意实数k，l与C总有两个互异公共点，则点(1，0)在椭圆＋＝1(a>b>0)的内部或在椭圆上，即≤1，故a≥1，C正确；若a<1，则点(1，0)在椭圆＋＝1(a>b>0)外部，一定存在实数k，使得l与C有且只有一个公共点，D正确．故选ACD.
11．在平面直角坐标系xOy中，由直线x＝－4上任一点P向椭圆＋＝1作切线，切点分别为A，B，点A在x轴的上方，则(　　)
A．∠APB恒为锐角
B．当AB垂直于x轴时，直线AP的斜率为
C．|AP|的最小值为4
D．存在点P，使得(＋)·＝0
答案：ABD
解析：对于A，设切线的方程为l：y＝kx＋m，P(－4，t)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，∵直线与椭圆相切，故Δ＝0，则x1＝－，y1＝，∴k＝－，m＝，∴切线PA的方程为lPA：＋＝1，同理，切线PB的方程为lPB：＋＝1，而点P在lPA，lPB上，故又A(x1，y1)，B(x2，y2)满足该方程组，故lAB：－x＋＝1，显然lAB过定点(－1，0)，即椭圆左焦点．以AB为直径的圆半径小于a，与直线x＝－4一直相离，即∠APB始终为锐角，故A正确；对于B，由A项分析得lAB：－x＋＝1，当AB⊥x轴时，t＝0，易得A，P(－4，0)，∴kPA＝＝，故B正确；对于C，由B项分析知，当AB⊥x轴时，A，P(－4，0)，此时|PA|＝<4，故C错误；对于D，取AO的中点M，若(＋)·＝0，则2·＝0，∴PM⊥AO，∴|PA|＝|PO|，|PA|2＝(x1＋4)2＋(y1－t)2＝|PO|2＝16＋t2，化简得x＋y＋8x1－2ty1＝0，由A项分析知ty1＝3x1＋3，y＝3，整理得x＋8x1－12＝0，∴x1＝2－4，显然存在点P满足题意，故D正确．故选ABD.
三、填空题
12．(2024·河北沧州二模)已知F1，F2分别为椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1的直线与E交于M，N两点，若|MF1|＝3|MF2|＝4|NF1|，则E的离心率为________．
答案：
解析：由|MF1|＝3|MF2|＝4|NF1|及|MF1|＋|MF2|＝2a，得|MF2|＝，|MF1|＝a，|NF1|＝，又|NF1|＋|NF2|＝2a，则|NF2|＝，设∠MF1F2＝θ，|F1F2|＝2c，在△MF1F2中，由余弦定理，得|MF2|2＝|F1F2|2＋|MF1|2－2|MF1||F1F2|cosθ，在△NF1F2中，由余弦定理，得|NF2|2＝|F1F2|2＋|NF1|2＋2|F1F2||NF1|cosθ，于是＝4c2＋－2×2c×cosθ，且＝4c2＋＋2×2c×cosθ，整理得2c2＋a2＝3accosθ，且5a2－8c2＝3accosθ，因此＝，＝，所以E的离心率为e＝.
13．(2025·山东潍坊模拟)已知椭圆C：＋y2＝1，过x轴正半轴上一定点M作直线l，交椭圆C于A，B两点，当直线l绕点M旋转时，有＋＝λ(λ为常数)，则定点M的坐标为________，λ＝________．
答案：　6
解析：设点M(m，0)，m＞0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线l的斜率不为0时，设其方程为x＝ty＋m，代入椭圆方程并整理可得(t2＋5)y2＋2mty＋m2－5＝0，Δ＝4m2t2－4(t2＋5)(m2－5)＞0，y1＋y2＝－，y1y2＝，所以＋＝＋＝·＝·＝，因为当直线l绕点M旋转时，有＋＝λ(λ为常数)，当t＝0时，＋＝，当t＝1时，＋＝－，所以－＝，解得m2＝，所以M，＋＝＝6，当直线l的斜率为0时，＋＝6也成立．综上，定点M的坐标为，λ＝6.
14．(2022·新高考Ⅱ卷)已知直线l与椭圆＋＝1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2，则l的方程为________．
答案：x＋y－2＝0
解析：令AB的中点为E，因为|MA|＝|NB|，所以|ME|＝|NE|，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，所以－＋－＝0，即＋＝0，所以＝－，即kOE·kAB＝－，设直线AB：y＝kx＋m，k＜0，m＞0，令x＝0，得y＝m，令y＝0，得x＝－，即M，N(0，m)，所以E，所以k·＝－，解得k＝－或k＝(舍去)，又|MN|＝2，即|MN|＝＝2，解得m＝2或m＝－2(舍去)，所以直线AB：y＝－x＋2，即x＋y－2＝0.
四、解答题
15．(2024·新课标Ⅰ卷)已知A(0，3)和P为椭圆C：＋＝1(a>b>0)上两点．
(1)求C的离心率；
(2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程．
解：(1)由题意，得
解得所以e＝＝＝.
(2)解法一：因为直线AP的斜率kAP＝＝－，所以直线AP的方程为y＝－x＋3，即x＋2y－6＝0，
|AP|＝＝，
由(1)知椭圆C：＋＝1，
设点B到直线AP的距离为d，
则d＝＝，
则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移个单位，所得直线与椭圆的交点即为点B，
设该直线的方程为x＋2y＋m＝0，
则＝，解得m＝6或m＝－18，
当m＝6时，联立
解得或
即B(0，－3)或B，
当B(0，－3)时，kl＝，直线l的方程为y＝x－3，即3x－2y－6＝0，
当B时，kl＝，直线l的方程为y＝x，即x－2y＝0，
当m＝－18时，联立得
2y2－27y＋117＝0，
Δ＝272－4×2×117＝－207<0，此时该直线与椭圆无交点．
综上所述，直线l的方程为3x－2y－6＝0或x－2y＝0.
解法二：同解法一得到直线AP的方程为x＋2y－6＝0，点B到直线AP的距离d＝，
设B(x0，y0)，则
解得或
即B(0，－3)或B，以下同解法一．
解法三：当直线AB的斜率不存在时，可得B(0，－3)，
S△ABP＝×6×3＝9，符合题意，
此时kl＝，直线l的方程为y＝x－3，
即3x－2y－6＝0，
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋3，
与椭圆方程联立有则(4k2＋3)x2＋24kx＝0，
其中k≠kAP，即k≠－，
解得x＝0或x＝，k≠0，k≠－，
令x＝，则y＝，
则B，
同解法一得到直线AP的方程为x＋2y－6＝0，点B到直线AP的距离d＝，
则＝，
解得k＝，
此时B，则kl＝，直线l的方程为y＝x，即x－2y＝0，
综上所述，直线l的方程为3x－2y－6＝0或x－2y＝0.
解法四：当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝3，B，|PB|＝3，点A到直线PB的距离d＝3，
此时S△ABP＝×3×3＝≠9，不满足条件．
当直线l的斜率存在时，设直线PB：y－＝k(x－3)，P(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y，可得(4k2＋3)x2－(24k2－12k)x＋36k2－36k－27＝0，
Δ＝(24k2－12k)2－4(4k2＋3)(36k2－36k－27)>0，且k≠kAP，即k≠－，
|PB|＝
＝，
点A到直线PB的距离d＝，
S△ABP＝··＝9，
解得k＝或，均满足题意，
所以直线l的方程为y＝x或y＝x－3，即x－2y＝0或3x－2y－6＝0.
解法五：当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝3，B，|PB|＝3，点A到直线PB的距离d＝3，
此时S△ABP＝×3×3＝≠9，不满足条件．
当直线l的斜率存在时，
设直线l：y＝k(x－3)＋，
设直线l与y轴的交点为Q，令x＝0，
则Q，
联立则(3＋4k2)x2－8kx＋36k2－36k－27＝0，
Δ＝64k2－4(3＋4k2)(36k2－36k－27)>0，且k≠－，
则3xB＝，xB＝，
则S△ABP＝|AQ|·|xP－xB|＝·＝9，解得k＝或k＝，经代入判别式验证均满足题意．
则直线l的方程为y＝x或y＝x－3，
即x－2y＝0或3x－2y－6＝0.
16．已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)若k＝1，求|AB|的最大值；
(3)设P(－2，0)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C，D与点Q共线，求k.
解：(1)由题意得2c＝2，所以c＝，
又e＝＝，所以a＝，所以b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆M的标准方程为＋y2＝1.
(2)设直线AB的方程为y＝x＋m，
由
消去y可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，
则Δ＝36m2－4×4(3m2－3)＝48－12m2>0，即m2<4，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
则|AB|＝·|x1－x2|
＝·
＝，
易得当m2＝0时，|AB|最大，为，
故|AB|的最大值为.
(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，
则x＋3y＝3　①，x＋3y＝3　②，
又P(－2，0)，所以可设k1＝kPA＝，
直线PA的方程为y＝k1(x＋2)，
由消去y可得(1＋3k)x2＋12kx＋12k－3＝0，
则x1＋x3＝－，
即x3＝－－x1　③，
又k1＝，代入①式可得k＝，
代入③式可得x3＝－，
所以y3＝，
所以C，
同理可得D.
故＝，
＝，
因为Q，C，D三点共线，
所以－＝0，
将点C，D的坐标代入，化简可得＝1，即k＝1.
20

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