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数学
第7练　双曲线（原卷版）
一、单项选择题
1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线相互垂直，焦距为12，则该双曲线的虚轴长为(　　)
A．6 B．6
C．9 D．12
2．(2025·广东汕头模拟)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为y＝x，则C的离心率为(　　)
A． B．
C．2 D．4
3．设A，B两点的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，直线AM与BM相交于点M，且它们的斜率之积为，则点M的轨迹方程为(　　)
A．＋＝1(x≠±3)
B．－＝1(x≠±3)
C．＋＝1(x≠±3)
D．－＝1(x≠±3)
4．若动点P(x，y)满足方程|－|＝3，则动点P的轨迹方程为(　　)
A．－＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．－＝1
5．(2024·河北沧州一模)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为，其焦点到渐近线的距离为2，则C的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
6．(2025·河北张家口模拟)已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线C上的动点，|F1F2|＝10，|PF1|－|PF2|＝6，点P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为d1，d2，则＝(　　)
A． B．
C． D．2
7．(2025·湖南长沙模拟)已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，以F2为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A，B两点，若3|AB|＞|F1F2|，则双曲线离心率的取值范围是(　　)
A． B．
C．(1，) D．(1，)
8．(2024·山东青岛一模)已知A(－2，0)，B(2，0)，设P是圆x2＋y2＝1上的点，若动点Q满足·＝0，＝λ，则点Q的轨迹方程为(　　)
A．x2－＝1 B．－y2＝1
C．＋y2＝1 D．＋＝1
二、多项选择题
9．(2024·江苏南通二模)已知双曲线C：－＝1(b＞0)的右焦点为F，直线l：x＋by＝0是C的一条渐近线，P是l上一点，则(　　)
A．C的虚轴长为2
B．C的离心率为
C．|PF|的最小值为2
D．直线PF的斜率不等于－
10．已知双曲线C：mx2＋ny2＝1，其焦点(0，10)到渐近线的距离为6，则下列说法正确的是(　　)
A．＋＝100
B．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
C．双曲线C的离心率为
D．双曲线C上的点到焦点距离的最小值为2
11．已知双曲线x2－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，若△ABF1为直角三角形，则(　　)
A．b＝2＋2
B．双曲线的离心率为＋1
C．双曲线的焦距为2
D．△ABF1的面积为12＋8
三、填空题
12．如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为70米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径为25米，塔底部塔口半径为20米，则该双曲线的离心率为________．
13．已知F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝，P为双曲线C右支上一点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2成立，则双曲线的离心率为________，λ的值为________．
14．(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝－，则C的离心率为________．
四、解答题
15．已知点F1，F2分别为双曲线C：x2－＝1(b>0)的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴的上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2＝30°.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为P1，P2，求·的值．
16．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.
(1)求C的离心率；
(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
第7练　双曲线（解析版）
一、单项选择题
1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线相互垂直，焦距为12，则该双曲线的虚轴长为(　　)
A．6 B．6
C．9 D．12
答案：B
解析：根据题意可得解得a＝b＝3，所以该双曲线的虚轴长为2b＝6.故选B.
2．(2025·广东汕头模拟)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为y＝x，则C的离心率为(　　)
A． B．
C．2 D．4
答案：C
解析：由双曲线方程易知C的渐近线为y＝±x，所以＝，则e＝＝＝2.故选C.
3．设A，B两点的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，直线AM与BM相交于点M，且它们的斜率之积为，则点M的轨迹方程为(　　)
A．＋＝1(x≠±3)
B．－＝1(x≠±3)
C．＋＝1(x≠±3)
D．－＝1(x≠±3)
答案：D
解析：设点M(x，y)，则直线AM的斜率为，直线BM的斜率为，故·＝(x≠±3)，所以－＝1(x≠±3)．故选D.
4．若动点P(x，y)满足方程|－|＝3，则动点P的轨迹方程为(　　)
A．－＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．－＝1
答案：A
解析：由题意得，点P(x，y)到点A(－2，0)与点B(2，0)的距离之差的绝对值为3，且4＞3，故动点P的轨迹是以A(－2，0)，B(2，0)为焦点的双曲线，故2a＝3，c＝2，所以a＝，b2＝c2－a2＝4－＝，所以双曲线的方程为－＝1.故选A.
5．(2024·河北沧州一模)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为，其焦点到渐近线的距离为2，则C的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
答案：B
解析：由题意可得＝tan＝，所以a＝b，双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，焦点(c，0)到渐近线x＋y＝0的距离d＝＝＝2，所以c＝4，又a2＋b2＝c2＝16，a＝b，所以b2＝4，a2＝12，所以C的方程为－＝1.故选B.
6．(2025·河北张家口模拟)已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线C上的动点，|F1F2|＝10，|PF1|－|PF2|＝6，点P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为d1，d2，则＝(　　)
A． B．
C． D．2
答案：B
解析：由|F1F2|＝2c＝10，得c＝5.因为|PF1|－|PF2|＝2a＝6，所以a＝3.又因为c2＝a2＋b2，所以b＝4，故双曲线C的方程为－＝1，所以两条渐近线的方程为y＝±x.设P(x0，y0)，则－＝1，故－y＝16.不妨设d1＝，则d2＝，所以d1d2＝×＝＝，所以＝.故选B.
7．(2025·湖南长沙模拟)已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，以F2为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A，B两点，若3|AB|＞|F1F2|，则双曲线离心率的取值范围是(　　)
A． B．
C．(1，) D．(1，)
答案：B
解析：设以F2(c，0)为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线bx－ay＝0交于A，B两点，则F2到渐近线bx－ay＝0的距离d＝＝b，所以|AB|＝2，因为3|AB|＞|F1F2|，所以3×2＞2c，可得9a2－9b2＞c2＝a2＋b2，即4a2＞5b2＝5c2－5a2，可得5c2＜9a2，所以＜，所以e＜，又e＞1，所以双曲线离心率的取值范围是.故选B.
8．(2024·山东青岛一模)已知A(－2，0)，B(2，0)，设P是圆x2＋y2＝1上的点，若动点Q满足·＝0，＝λ，则点Q的轨迹方程为(　　)
A．x2－＝1 B．－y2＝1
C．＋y2＝1 D．＋＝1
答案：A
解析：由·＝0，可得QP⊥PB，而＝λ，可知点P在∠BQA的平分线上．圆x2＋y2＝1，圆心为原点O，半径r＝1，连接AQ，延长BP交AQ于点C，连接OP，因为∠PQB＝∠PQC且PQ⊥BC，所以|QB|＝|QC|，且P为BC的中点，OP∥AC，|OP|＝|AC|，因此|QA|－|QB|＝|QA|－|QC|＝|AC|＝2|OP|＝2<|AB|，所以点Q的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，可知c＝2，a＝1，故b2＝3，双曲线的方程为x2－＝1.故选A.
二、多项选择题
9．(2024·江苏南通二模)已知双曲线C：－＝1(b＞0)的右焦点为F，直线l：x＋by＝0是C的一条渐近线，P是l上一点，则(　　)
A．C的虚轴长为2
B．C的离心率为
C．|PF|的最小值为2
D．直线PF的斜率不等于－
答案：AD
解析：双曲线C：－＝1的渐近线方程为bx±2y＝0，依题意，－＝－，解得b＝.对于A，C的虚轴长为2b＝2，A正确；对于B，C的离心率e＝＝，B错误；对于C，点F(，0)到直线l：x＋y＝0的距离为＝，即|PF|的最小值为，C错误；对于D，直线l：x＋y＝0的斜率为－，而点F不在l上，点P在l上，则直线PF的斜率不等于－，D正确．故选AD.
10．已知双曲线C：mx2＋ny2＝1，其焦点(0，10)到渐近线的距离为6，则下列说法正确的是(　　)
A．＋＝100
B．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
C．双曲线C的离心率为
D．双曲线C上的点到焦点距离的最小值为2
答案：BCD
解析：由双曲线C的焦点(0，10)到渐近线的距离为6，可得双曲线C的焦点在y轴上，设双曲线C的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则双曲线C的半焦距c＝10，b＝6，所以a2＝c2－b2＝100－36＝64，得双曲线C的标准方程为－＝1.对于A，m＝－，n＝，所以＋＝－36＋64＝28，A错误；对于B，双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x，B正确；对于C，双曲线C的离心率e＝＝＝，C正确；对于D，双曲线C上的所有点中，上、下顶点到相应焦点的距离最小，所以最小值为c－a＝10－8＝2，D正确．故选BCD.
11．已知双曲线x2－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，若△ABF1为直角三角形，则(　　)
A．b＝2＋2
B．双曲线的离心率为＋1
C．双曲线的焦距为2
D．△ABF1的面积为12＋8
答案：BD
解析：如图所示，若△ABF1为直角三角形，由双曲线的对称性可知，AF1⊥BF1，且|AF1|＝|BF1|.设|AF2|＝m，则由双曲线的定义得|AF1|＝|BF1|＝|AF2|＋2a＝2＋m，|AB|＝2m.所以在Rt△ABF1中，由勾股定理，得(2＋m)2＋(2＋m)2＝4m2，解得m＝2＋2，所以|AF1|＝|BF1|＝4＋2，所以△ABF1的面积为|AF1|·|BF1|＝×(4＋2)2＝12＋8，故D正确；|AF1|·|BF1|＝|AB|·|F1F2|，所以|F1F2|＝2＋2，故C不正确；由x2－＝1(b>0)可知，a＝1，c＝1＋，所以b2＝(1＋)2－1＝2＋2，故A不正确；e＝＝1＋，故B正确．故选BD.
三、填空题
12．如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为70米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径为25米，塔底部塔口半径为20米，则该双曲线的离心率为________．
答案：
解析：如图，以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为x轴，垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知|CD|＝2a＝40，所以a＝20，设A(25，m)(m>0)，F(20，－70＋m)，所以解得所以c2＝a2＋b2＝400＋1600＝2000，所以e＝＝＝.
13．已知F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝，P为双曲线C右支上一点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2成立，则双曲线的离心率为________，λ的值为________．
答案：　
解析：由F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝，可得2c＝＝，化简得e2－e－1＝0.∵e>1，∴e＝.设△PF1F2的内切圆半径为r，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，S△IPF1＝|PF1|·r，S△IPF2＝|PF2|·r，S△IF1F2＝·2c·r＝cr，由S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2，得|PF1|·r＝|PF2|·r＋λcr，故λ＝＝＝＝.
14．(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝－，则C的离心率为________．
答案：
解析：解法一：依题意，设|AF2|＝2m，则|BF2|＝3m＝|BF1|，|AF1|＝2a＋2m，在Rt△ABF1中，9m2＋(2a＋2m)2＝25m2，则(a＋3m)(a－m)＝0，故a＝m或a＝－3m(舍去)，所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，|BF2|＝|BF1|＝3a，则|AB|＝5a，故cos∠F1AF2＝＝＝，所以在△AF1F2中，cos∠F1AF2＝＝，整理得5c2＝9a2，故e＝＝.
解法二：依题意，得F1(－c，0)，F2(c，0)，令A(x0，y0)，B(0，t)，因为＝－，所以(x0－c，y0)＝－(－c，t)，则x0＝c，y0＝－t，又⊥，所以·＝·(c，t)＝c2－t2＝0，则t2＝4c2，又点A在C上，则－＝1，整理得－＝1，则－＝1，所以25c2b2－16c2a2＝9a2b2，即25c2(c2－a2)－16a2c2＝9a2(c2－a2)，整理得25c4－50a2c2＋9a4＝0，则(5c2－9a2)(5c2－a2)＝0，解得5c2＝9a2或5c2＝a2，又e>1，所以e＝＝.
解法三：由解法二得A，t2＝4c2，所以|AF1|＝＝＝＝，|AF2|＝＝
＝＝，由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝2a，即－＝2a，即c＝a，所以C的离心率e＝＝＝.
四、解答题
15．已知点F1，F2分别为双曲线C：x2－＝1(b>0)的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴的上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2＝30°.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为P1，P2，求·的值．
解：(1)在Rt△MF1F2中，
因为∠MF1F2＝30°，
所以tan∠MF1F2＝，
cos∠MF1F2＝，
则|MF2|＝c，|MF1|＝c，
由双曲线的定义可知，|MF1|－|MF2|＝2a＝2，即c－c＝2，
解得c＝，则b2＝c2－a2＝2，
所以双曲线C的方程是x2－＝1.
(2)设P(x0，y0)是双曲线C上任意一点，
则2x－y＝2.
两条渐近线方程为l1：x－y＝0，l2：x＋y＝0，
设l1：x－y＝0的倾斜角为α，故tanα＝，
设两条渐近线在第一、四象限的夹角为θ，
所以cosθ＝cos2α＝＝－，
于是cos〈，〉＝－cosθ＝.
因为P到双曲线两条渐近线的距离为|PP1|＝，|PP2|＝，
所以·＝··cos〈，〉＝·＝.
16．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.
(1)求C的离心率；
(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
解：(1)设双曲线的半焦距为c，
则F(c，0)，当BF⊥AF时，B，
因为|AF|＝|BF|，故a＋c＝，
故c2－ac－2a2＝0，即e2－e－2＝0，
又e>0，故e＝2.
(2)证明：设B(x0，y0)，其中x0>a，y0>0.
因为e＝2，故c＝2a，b＝a，
故双曲线的渐近线方程为y＝±x，
所以∠BAF∈，∠BFA∈.
当∠BFA＝时，由题意易得∠BAF＝，
此时∠BFA＝2∠BAF.
当∠BFA≠时，
因为tan∠BFA＝－＝－，
tan∠BAF＝，
所以tan(2∠BAF)＝
＝＝
＝
＝
＝＝－
＝tan∠BFA，
因为2∠BAF∈，
故∠BFA＝2∠BAF.
综上，∠BFA＝2∠BAF.
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