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数学
第8练　直线与双曲线的位置关系（原卷版）
一、单项选择题
1．已知双曲线－＝1的左焦点为F1，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则直线l的斜率的取值范围为(　　)
A．
B．∪
C．
D．∪
2．已知双曲线C：－＝1，过点P(3，3)作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足条件的直线l共有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
3．(2024·广东肇庆一模)已知直线l：x－y＋3＝0与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)交于A，B两点，点P(1，4)是弦AB的中点，则双曲线C的渐近线方程是(　　)
A．y＝x B．y＝2x
C．y＝x D．y＝4x
4．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点且斜率不为0的直线交C于A，B两点，D为AB的中点，若kAB·kOD＝(O为坐标原点)，则C的离心率为(　　)
A． B．2
C． D．
5．(2025·河南郑州模拟)已知F是双曲线C：x2－＝1的左焦点，过点F的直线与C交于A，B两点(点A，B在C的同一支上)，且|BF|＝2|AF|，则|AB|＝(　　)
A．6 B．8
C． D．
6．(2025·湖北武汉模拟)已知A，B为双曲线x2－y2＝1上不同的两点，下列点中可为线段AB的中点的是(　　)
A．(1，1) B．(2，3)
C．(，1) D．
7．(2024·广东深圳一模)已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线E的右支交于A，B两点，若|AB|＝|AF1|，且双曲线E的离心率为，则cos∠BAF1＝(　　)
A．－ B．－
C． D．－
8．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|＝2c，过右焦点F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则下列说法中错误的是(　　)
A．|AB|的最小值为
B．若|AB|＝m，则△F1AB的周长为2m＋4a
C．若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则kOM·k＝(O为坐标原点)
D．若直线AB的斜率为，则双曲线的离心率e的取值范围为[2，＋∞)
二、多项选择题
9．(2025·湖南长沙模拟)直线y＝kx与双曲线－＝1交于P，Q两点，点P位于第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为N，F为双曲线的左焦点，则(　　)
A．若|PQ|＝2，则PF⊥QF
B．若PF⊥QF，则△PQF的面积为4
C．＞2
D．|PF|－|PN|的最小值为4
10．已知双曲线C：－x2＝1(a>0)，其上、下焦点分别为F1，F2，O为坐标原点．过双曲线上一点M(x0，y0)作直线l，分别与双曲线的渐近线交于点P，Q，且M为PQ的中点，则下列说法正确的是(　　)
A．若l⊥y轴，则|PQ|＝2
B．若点M的坐标为(1，2)，则直线l的斜率为
C．直线PQ的方程为－x0x＝1
D．若双曲线的离心率为，则△OPQ的面积为2
11．已知双曲线x2－＝1的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，直线l与双曲线的左、右两支分别交于点P，Q，则(　　)
A．若∠F1PF2＝，则△PF1F2的面积为2
B．存在弦PQ的中点为(1，1)，此时直线l的方程为2x－y－1＝0
C．若PA1的斜率的取值范围为[－8，－4]，则PA2的斜率的取值范围为
D．若直线l与双曲线的两条渐近线分别交于点M，N，则|PM|＝|NQ|
三、填空题
12．记双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值：________．
13．(2025·贵州贵阳模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，且满足|AB|＝2a的直线l恰有三条，则双曲线C的离心率的取值范围为________．
14．若过点(2，2)能作双曲线x2－＝1的两条切线，则该双曲线的离心率e的取值范围为________．
四、解答题
15．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝4，若C上的点M满足||MF1|－|MF2||＝2恒成立．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若过点M的直线l与C的两条渐近线分别交于点P，Q，且|MP|＝|MQ|.
(ⅰ)证明：l与C有且仅有一个交点；
(ⅱ)设O为坐标原点，求＋的取值范围．
16．(2022·新高考Ⅰ卷)已知点A(2，1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率；
(2)若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．
17．(2024·河南安阳三模)已知双曲线C上的所有点构成集合P＝{(x，y)|ax2－by2＝1(a＞0，b＞0)}，集合Q＝{(x，y)|0＜ax2－by2＜1(a＞0，b＞0)}，对于坐标平面内任意点N(x0，y0)，直线l：ax0x－by0y＝1称为点N关于双曲线C的“相关直线”．
(1)若N∈P，判断直线l与双曲线C的位置关系，并说明理由；
(2)若直线l与双曲线C的一支有2个交点，求证：N∈Q；
(3)若点N∈Q，点M在直线l上，直线MN交双曲线C于A，B两点，求证：＝.
第8练　直线与双曲线的位置关系（解析版）
一、单项选择题
1．已知双曲线－＝1的左焦点为F1，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则直线l的斜率的取值范围为(　　)
A．
B．∪
C．
D．∪
答案：B
解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，当直线l与渐近线平行时，与双曲线只有一个交点．当直线l的斜率大于零时，要与双曲线左支交于两点，则需直线l的斜率k>；当直线l的斜率小于零时，要与双曲线左支交于两点，则需直线l的斜率k<－.故选B.
2．已知双曲线C：－＝1，过点P(3，3)作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足条件的直线l共有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
答案：D
解析：易知双曲线的焦点F1(－5，0)，F2(5，0)，顶点A(3，0)，渐近线方程为y＝±x，由P(3，3)可得该点在双曲线右顶点上方，易得过点P与双曲线有且只有一个公共点的直线中，有两条和双曲线的渐近线分别平行的直线(图1)，有两条双曲线右支的切线(图2)，共4条．故选D.
3．(2024·广东肇庆一模)已知直线l：x－y＋3＝0与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)交于A，B两点，点P(1，4)是弦AB的中点，则双曲线C的渐近线方程是(　　)
A．y＝x B．y＝2x
C．y＝x D．y＝4x
答案：B
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得－＝1，－＝1，两式相减可得＝，点P(1，4)是弦AB的中点，且直线l：x－y＋3＝0，可得x1＋x2＝2，y1＋y2＝8，y1－y2＝x1－x2，即有b2＝4a2，即b＝2a，双曲线的渐近线方程为y＝±2x.经验证，此时直线与双曲线有两个交点．故选B.
4．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点且斜率不为0的直线交C于A，B两点，D为AB的中点，若kAB·kOD＝(O为坐标原点)，则C的离心率为(　　)
A． B．2
C． D．
答案：D
解析：不妨设过双曲线C的焦点且斜率不为0的直线方程为y＝k(x－c)，k≠0，令A(x1，y1)，B(x2，y2)．由整理得(b2－a2k2)x2＋2a2k2cx－(a2k2c2＋a2b2)＝0.则x1＋x2＝，x1x2＝，D.则kOD＝，由kAB·kOD＝，可得·k＝，则有a2＝2b2，即3a2＝2c2，则双曲线C的离心率e＝＝.故选D.
5．(2025·河南郑州模拟)已知F是双曲线C：x2－＝1的左焦点，过点F的直线与C交于A，B两点(点A，B在C的同一支上)，且|BF|＝2|AF|，则|AB|＝(　　)
A．6 B．8
C． D．
答案：D
解析：由C：x2－＝1可得F(－2，0)．设过点F的直线为x＝my－2(m＞0)，联立可得(3m2－1)y2－12my＋9＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝　①，由|BF|＝2|AF|，得＝2，又＝(－2－x2，－y2)，＝(x1＋2，y1)，所以－y2＝2y1　②，由①②可得y1＝－，y2＝，所以－×＝，解得m＝或m＝－(舍去)，y1＝，所以|AB|＝·|y1－y2|＝×3|y1|＝×＝.故选D.
6．(2025·湖北武汉模拟)已知A，B为双曲线x2－y2＝1上不同的两点，下列点中可为线段AB的中点的是(　　)
A．(1，1) B．(2，3)
C．(，1) D．
答案：B
解析：设AB的中点C(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝kAB，易知由点差法可得(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0 ＝·kAB＝1 kAB＝.若C(1，1)，则此时kAB＝1，故lAB：y＝x，与双曲线方程联立 x2－x2＝1，无解，即lAB与双曲线没有交点，故A不符合题意；若C(2，3)，则此时kAB＝，故lAB：y＝x＋，与双曲线方程联立 9x2－9＝4x2＋20x＋25 5(x－2)2＝54 x＝2±，即lAB与双曲线有两个交点，故B符合题意；若C(，1)，则此时kAB＝，故lAB：y＝x－1，与双曲线方程联立 x2－1＝2x2－2x＋1 (x－)2＝0 x＝，即lAB与双曲线有一个交点，故C不符合题意；若C，则此时kAB＝－2，故lAB：y＝－2x－，与双曲线方程联立 x2－1＝4x2＋6x＋ 3(x＋1)2＋＝0，显然无解，即lAB与双曲线没有交点，故D不符合题意．故选B.
7．(2024·广东深圳一模)已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线E的右支交于A，B两点，若|AB|＝|AF1|，且双曲线E的离心率为，则cos∠BAF1＝(　　)
A．－ B．－
C． D．－
答案：D
解析：因为双曲线E的离心率为，所以c＝a，因为|AB|＝|AF1|，所以|BF2|＝|AB|－|AF2|＝|AF1|－|AF2|＝2a，由双曲线的定义可得|BF1|－|BF2|＝|BF1|－2a＝2a，所以|BF1|＝4a＝2|BF2|，在△BF1F2中，由余弦定理，得cos∠BF2F1＝＝＝－，在△AF1F2中，cos∠F1F2A＝－cos∠F1F2B＝，设|AF2|＝m，则|AF1|＝m＋2a，由|AF1|2＝|F1F2|2＋|AF2|2－2|F1F2||AF2|cos∠F1F2A，得(2a＋m)2＝(2a)2＋m2－2×2a×m×，解得m＝a，所以|AF1|＝，所以cos∠BAF1＝＝＝－.故选D.
8．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|＝2c，过右焦点F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则下列说法中错误的是(　　)
A．|AB|的最小值为
B．若|AB|＝m，则△F1AB的周长为2m＋4a
C．若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则kOM·k＝(O为坐标原点)
D．若直线AB的斜率为，则双曲线的离心率e的取值范围为[2，＋∞)
答案：D
解析：对于A，当弦AB为通径时，|AB|最小，最小值为，故A正确；对于B，由双曲线的定义得|AF1|＋|BF1|－|AB|＝4a，得|AF1|＋|BF1|＝4a＋m，所以△F1AB的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2m，故B正确；对于C，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减得－＝0，则－·＝0，则－·kOM·k＝0，则kOM·k＝，故C正确；对于D，若直线AB的斜率为，则<，所以b2<3a2，所以c2<4a2，所以1二、多项选择题
9．(2025·湖南长沙模拟)直线y＝kx与双曲线－＝1交于P，Q两点，点P位于第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为N，F为双曲线的左焦点，则(　　)
A．若|PQ|＝2，则PF⊥QF
B．若PF⊥QF，则△PQF的面积为4
C．＞2
D．|PF|－|PN|的最小值为4
答案：AD
解析：设双曲线的右焦点为F1，由题意可知，四边形PFQF1为平行四边形，由双曲线－＝1可知，a＝2，b＝，c＝.对于A，因为|PQ|＝2，所以|PQ|＝|FF1|，所以四边形PFQF1为矩形，所以PF⊥QF，故A正确；对于B，据双曲线的定义可知，|PF|－|PF1|＝4，|FF1|＝2，若PF⊥QF，则四边形PFQF1为矩形，则|PF|2＋|PF1|2＝|FF1|2，所以(|PF|－|PF1|)2＋2|PF||PF1|＝|FF1|2，即42＋2|PF||PF1|＝(2)2，所以|PF||PF1|＝6，所以|PF||QF|＝6，所以S△PQF＝|PF||QF|＝×6＝3，故B错误；对于C，由双曲线的方程可知，在Rt△PFN中，＝＝＝，又因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以＝kPF＜，所以＞＝，即＞，故C错误；对于D，|PF|－|PN|＝2a＋|PF1|－|PN|＝4＋|PF1|－|PN|≥4＋(|PF1|－|PN|)min，当且仅当|PF1|＝|PN|时，|PF|－|PN|取得最小值4，故D正确．故选AD.
10．已知双曲线C：－x2＝1(a>0)，其上、下焦点分别为F1，F2，O为坐标原点．过双曲线上一点M(x0，y0)作直线l，分别与双曲线的渐近线交于点P，Q，且M为PQ的中点，则下列说法正确的是(　　)
A．若l⊥y轴，则|PQ|＝2
B．若点M的坐标为(1，2)，则直线l的斜率为
C．直线PQ的方程为－x0x＝1
D．若双曲线的离心率为，则△OPQ的面积为2
答案：ACD
解析：若l⊥y轴，则直线l过双曲线的顶点，M(0，±a)，双曲线的渐近线方程为y＝±ax，易得P，Q两点的横坐标为±1，∴|PQ|＝2，故A正确；若点M的坐标为(1，2)，则a＝，易得双曲线的渐近线方程为y2－2x2＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y－2x＝0，y－2x＝0，两式作差可得，y－y＝2x－2x，即＝2×，∴kl＝2×＝1，故B错误；若M(x0，y0)，利用点差法同样可得kl＝＝a2×＝，∴直线PQ的方程为y－y0＝(x－x0)，即y0y－y＝a2x0x－a2x，y0y－a2x0x＝y－a2x＝a2，∴－x0x＝1，故C正确；若双曲线的离心率为，则双曲线的方程为－x2＝1，
∴渐近线方程为y＝±2x，设P(x1，2x1)，Q(x2，－2x2)，∴S△OPQ＝2|x1x2|，联立方程可得x1＝，同理可得x2＝，∴S△OPQ＝2|x1x2|＝2＝＝＝2，故D正确．故选ACD.
11．已知双曲线x2－＝1的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，直线l与双曲线的左、右两支分别交于点P，Q，则(　　)
A．若∠F1PF2＝，则△PF1F2的面积为2
B．存在弦PQ的中点为(1，1)，此时直线l的方程为2x－y－1＝0
C．若PA1的斜率的取值范围为[－8，－4]，则PA2的斜率的取值范围为
D．若直线l与双曲线的两条渐近线分别交于点M，N，则|PM|＝|NQ|
答案：ACD
解析：在双曲线x2－＝1中，a＝1，b＝，c＝，且A1(－1，0)，A2(1，0)，F1(－，0)，F2(，0)．对于A，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由双曲线的定义得n－m＝2，两边平方可得m2＋n2－2mn＝4　①，在△PF1F2中，由余弦定理可得m2＋n2－2mncos＝(2)2 m2＋n2－mn＝12　②，联立①②可得mn＝8，故△PF1F2的面积为mnsin＝×8×＝2，故A正确；对于B，由中点弦公式得直线l的斜率k＝＝＝2，此时直线l的方程为y＝2x－1，代入双曲线的方程，消去y可得2x2－4x＋3＝0，因为Δ＝－8<0，所以直线l与双曲线无公共点，说明此时直线l不存在，故B不正确；对于C，设P(m，n)，则m2－＝1 n2＝2(m2－1)，又直线PA1与PA2的斜率的乘积k1k2＝·＝＝＝2，由于k1∈[－8，－4]，从而可得k2∈，故C正确；对于D，设直线l：y＝kx＋m，代入x2－＝λ　(※)(说明：当λ＝1时，(※)式表示双曲线；当λ＝0时，(※)式表示双曲线的两条渐近线)，得(k2－2)x2＋2kmx＋m2＋2λ＝0，应满足k2－2≠0，且Δ>0，明显有x1＋x2＝(与λ无关)，这说明线段PQ的中点与线段MN的中点重合，故|PM|＝|NQ|成立，故D正确．故选ACD.
三、填空题
12．记双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值：________．
答案：2(满足1＜e≤皆可)
解析：因为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，所以C的渐近线方程为y＝±x，结合渐近线的特点，只需0＜≤2，即≤4，可满足条件“直线y＝2x与C无公共点”，所以e＝＝≤＝，又e＞1，所以1＜e≤.
13．(2025·贵州贵阳模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，且满足|AB|＝2a的直线l恰有三条，则双曲线C的离心率的取值范围为________．
答案：(1，)
解析：当直线l的斜率为0时，显然满足|AB|＝2a.
当直线l与x轴垂直时，令x＝c，可求得|AB|＝，由题意，得2a＞，即b2＜a2，则e＝＝＝＝＜，又由于e＞1，则双曲线C的离心率的取值范围为(1，)．
14．若过点(2，2)能作双曲线x2－＝1的两条切线，则该双曲线的离心率e的取值范围为________．
答案：(1，)∪
解析：当过点(2，2)的直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝2，由
可得故直线x＝2与双曲线x2－＝1相交，不符合题意；当过点(2，2)的直线的斜率存在时，设直线方程为y－2＝k(x－2)，即y＝kx＋(2－2k)，联立可得(k2－a2)x2－4k(k－1)x＋4(1－k)2＋a2＝0，因为直线与双曲线x2－＝1相切，则
可得3k2－8k＋4＋a2＝0，由题意可知，关于k的二次方程3k2－8k＋4＋a2＝0有两个不等的实数根，所以Δ′＝64－12(4＋a2)>0，可得0四、解答题
15．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝4，若C上的点M满足||MF1|－|MF2||＝2恒成立．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若过点M的直线l与C的两条渐近线分别交于点P，Q，且|MP|＝|MQ|.
(ⅰ)证明：l与C有且仅有一个交点；
(ⅱ)设O为坐标原点，求＋的取值范围．
解：(1)由双曲线的定义可知
||MF1|－|MF2||＝2a＝2，
∴a＝1.
又|F1F2|＝4，∴c＝2.
∵a2＋b2＝c2，∴b＝，
∴双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)(ⅰ)证明：双曲线的渐近线方程为y＝±x，不妨令P在直线y＝x上，Q在直线y＝－x上，
设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则y1＝x1，①
y2＝－x2，②
由①＋②，可得y1＋y2＝(x1－x2)，
由①－②，可得y1－y2＝(x1＋x2)，
由于x－＝0，且x－＝0，
相减可得x－x＝－，
∴＝，
由题意可知|MP|＝|MQ|，
∴x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，
∴＝，
即kPQ＝，
∴直线PQ的方程为y－y0＝(x－x0)，
即3x0x－y0y＝3x－y，
又点M在C上，∴3x－y＝3，
则直线PQ的方程为3x0x－y0y＝3，
联立方程
得(y－3x)x2＋6x0x－3－y＝0，
∴－3x2＋6x0x－3x＝0，
由Δ＝0可知方程有且仅有一个解，
∴l与C有且仅有一个交点．
(ⅱ)由(ⅰ)，联立
可得x1＝，同理可得x2＝，
∴|OP|·|OQ|＝|x1|·|x2|＝4|x1x2|＝4×＝4，
∴＋＝＋≥2＝，
当且仅当＝，即|OP|＝时取等号．
又|OP|∈(0，＋∞)，
∴＋的取值范围为[，＋∞)．
16．(2022·新高考Ⅰ卷)已知点A(2，1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率；
(2)若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．
解：(1)将点A的坐标代入双曲线方程得－＝1，
化简得a4－4a2＋4＝0，得a2＝2，
故双曲线C的方程为－y2＝1.
由题易知，直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立直线l与双曲线C的方程并整理得
(2k2－1)x2＋4kmx＋2m2＋2＝0，
故x1＋x2＝－，
x1x2＝.
kAP＋kAQ＝＋
＝＋＝0，
化简得2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0，
故＋(m－1－2k)－4(m－1)＝0，
整理得(k＋1)(m＋2k－1)＝0，
又直线l不过点A，即m＋2k－1≠0，故k＝－1.
(2)不妨设直线PA的倾斜角为θ，由题意知∠PAQ＝π－2θ，
所以tan∠PAQ＝－tan2θ＝＝2，
解得tanθ＝或tanθ＝－(舍去)，
由得x1＝，
所以|AP|＝|x1－2|＝，
同理得x2＝，
所以|AQ|＝|x2－2|＝.
因为tan∠PAQ＝2，
所以sin∠PAQ＝，
故S△PAQ＝|AP||AQ|sin∠PAQ＝×××＝.
17．(2024·河南安阳三模)已知双曲线C上的所有点构成集合P＝{(x，y)|ax2－by2＝1(a＞0，b＞0)}，集合Q＝{(x，y)|0＜ax2－by2＜1(a＞0，b＞0)}，对于坐标平面内任意点N(x0，y0)，直线l：ax0x－by0y＝1称为点N关于双曲线C的“相关直线”．
(1)若N∈P，判断直线l与双曲线C的位置关系，并说明理由；
(2)若直线l与双曲线C的一支有2个交点，求证：N∈Q；
(3)若点N∈Q，点M在直线l上，直线MN交双曲线C于A，B两点，求证：＝.
解：(1)直线l与双曲线C相切．理由如下：
联立
消去y，得(aby－a2x)x2＋2ax0x－1－by＝0，①
∵N∈P，∴ax－by＝1，即ax－1＝by，代入①，得－ax2＋2ax0x－ax＝0，
∴Δ＝4a2x－4a2x＝0，∴直线l与双曲线C相切．
(2)证明：由(1)知(aby－a2x)x2＋2ax0x－1－by＝0，
∵直线l与双曲线C的一支有2个交点，则
∵Δ＝4a2x－4(aby－a2x)(－1－by)＝4aby(1＋by－ax)，∴ax－by＜1，
∵＝＞0，
∴0＜ax－by＜1，∴N∈Q.
(3)证明：设M(x1，y1)，A(x，y)，＝λ，＝μ，
∵N(x0，y0) l，
∴λ≠－1，则
代入双曲线C：ax2－by2＝1，
由M在l上，即ax0x1－by0y1＝1，
整理得(ax－by－1)λ2＋ax－by－1＝0，
同理得关于μ的方程为(ax－by－1)μ2＋ax－by－1＝0，
即λ，μ是关于t的方程(ax－by－1)t2＋ax－by－1＝0的两根，
∴λ＋μ＝0，λ＝－μ，
∴＝.
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