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数学
第9练　抛物线（原卷版）
一、单项选择题
1．(2025·重庆模拟)已知点P(x，y)满足＝|x＋1|，则点P的轨迹为(　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
2．(2024·山东烟台二模)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点到直线x＝－2的距离为4，则p的值为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
3．(2024·四川德阳一模)数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图．若将该大学的校门轮廓(忽略水泥建筑的厚度)近似看成抛物线y＝ax2(a≠0)的一部分，且点A(2，－2)在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是(　　)
A． B．(0，－1)
C． D．
4．(2025·广东潮汕实验中学模拟)记抛物线E：y2＝4x的焦点为F，点A在E上，B(2，1)，则|AF|＋|AB|的最小值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
5．(2025·河南开封模拟)已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF|＋|NF|＝6，则线段MN的中点的横坐标为(　　)
A． B．2
C． D．3
6．(2025·云南昆明五华区校级模拟)已知点F是抛物线y2＝8x的焦点，A，B，C在该抛物线上，若点F恰好是△ABC的重心，则||＋||＋||＝(　　)
A．10 B．11
C．12 D．13
7．(2024·山东泰安二模)设抛物线x2＝4y的焦点为F，过抛物线上点P作准线的垂线，垂足为Q，若∠PQF＝30°，则|PQ|＝(　　)
A． B．
C． D．
8．(2024·天津一模)以双曲线－＝1的右顶点为圆心，焦点到渐近线的距离为半径的圆交抛物线y2＝2px(p＞0)于A，B两点．已知|AB|＝4，则抛物线的焦点到准线的距离为(　　)
A．或4 B．
C．或4 D．4
二、多项选择题
9．(2025·八省联考)已知F(2，0)是抛物线C：y2＝2px的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则(　　)
A．p＝4
B．|MF|≥|OF|
C．以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
D．当∠OFM＝120°时，△OFM的面积为2
10．已知抛物线x2＝y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是(　　)
A．焦点F的坐标为
B．若直线MN过焦点F，则x1x2＝－
C．若＝λ，则|MN|的最小值为
D．若|MF|＋|NF|＝，则线段MN的中点P到x轴的距离为
11．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则(　　)
A．|BF|＝3
B．△ABF是等边三角形
C．焦点F到准线的距离为3
D．抛物线C的方程为y2＝6x
三、填空题
12．(2024·北京高考)抛物线y2＝16x的焦点坐标为________．
13．(2024·湖南长沙二模)已知圆N：x2＋y2－6y＋5＝0，直线y＝－1，圆M与圆N外切，且与直线y＝－1相切，则点M的轨迹方程为________．
14．(2024·辽宁沈阳一模)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，若点Q是抛物线C上到点(4，0)的距离最近的点，则|QF|＝________．
四、解答题
15．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|.
(1)求C1的离心率；
(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程．
16．已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于点A，B，交C的准线于点P，Q.
(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB的中点的轨迹方程．
第9练　抛物线（解析版）
一、单项选择题
1．(2025·重庆模拟)已知点P(x，y)满足＝|x＋1|，则点P的轨迹为(　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
答案：C
解析：表示点P(x，y)到点(1，0)的距离，|x＋1|表示点P(x，y)到直线x＝－1的距离．因为＝|x＋1|，所以点P(x，y)到点(1，0)的距离等于点P(x，y)到直线x＝－1的距离，所以点P的轨迹为抛物线．故选C.
2．(2024·山东烟台二模)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点到直线x＝－2的距离为4，则p的值为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
答案：C
解析：抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为，则有＋2＝4，解得p＝4.故选C.
3．(2024·四川德阳一模)数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图．若将该大学的校门轮廓(忽略水泥建筑的厚度)近似看成抛物线y＝ax2(a≠0)的一部分，且点A(2，－2)在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是(　　)
A． B．(0，－1)
C． D．
答案：A
解析：∵点A(2，－2)在抛物线上，∴－2＝a×22，∴a＝－，∴抛物线方程为y＝－x2，即x2＝－2y，∴2p＝2，＝，∴抛物线的焦点坐标为.故选A.
4．(2025·广东潮汕实验中学模拟)记抛物线E：y2＝4x的焦点为F，点A在E上，B(2，1)，则|AF|＋|AB|的最小值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
答案：B
解析：如图，过点A作直线x＝－1的垂线，垂足为E，过点B作直线x＝－1的垂线，垂足为D，且与抛物线交于点A′，则|AF|＋|AB|＝|AE|＋|AB|≥|BD|＝3，当且仅当点A与点A′重合时取等号．所以|AF|＋|AB|的最小值为3.故选B.
5．(2025·河南开封模拟)已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF|＋|NF|＝6，则线段MN的中点的横坐标为(　　)
A． B．2
C． D．3
答案：B
解析：∵F是抛物线y2＝4x的焦点，∴F(1，0)，准线方程为x＝－1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴|MF|＋|NF|＝x1＋1＋x2＋1＝6，解得x1＋x2＝4，∴线段MN的中点的横坐标为2.故选B.
6．(2025·云南昆明五华区校级模拟)已知点F是抛物线y2＝8x的焦点，A，B，C在该抛物线上，若点F恰好是△ABC的重心，则||＋||＋||＝(　　)
A．10 B．11
C．12 D．13
答案：C
解析：由题意可知，点F的坐标为(2，0)，又F为△ABC的重心，故＝2，即xA＋xB＋xC＝6.由抛物线的定义可知，||＋||＋||＝xA＋xB＋xC＋6＝6＋6＝12.故选C.
7．(2024·山东泰安二模)设抛物线x2＝4y的焦点为F，过抛物线上点P作准线的垂线，垂足为Q，若∠PQF＝30°，则|PQ|＝(　　)
A． B．
C． D．
答案：A
解析：抛物线x2＝4y的焦点为F(0，1)，准线方程为y＝－1，设P(m，n)，n＞0，则Q(m，－1)，m2＝4n，由抛物线的定义可得|PF|＝|PQ|＝n＋1，在△PQF中，∠PFQ＝∠PQF＝30°，∠FPQ＝120°，可得|FQ|＝|PQ|＝(n＋1)，即有＝＝(n＋1)，解得n＝(负值舍去)，则|PQ|＝n＋1＝.故选A.
8．(2024·天津一模)以双曲线－＝1的右顶点为圆心，焦点到渐近线的距离为半径的圆交抛物线y2＝2px(p＞0)于A，B两点．已知|AB|＝4，则抛物线的焦点到准线的距离为(　　)
A．或4 B．
C．或4 D．4
答案：A
解析：双曲线－＝1的右顶点坐标为(2，0)，焦点为(±，0)，渐近线方程为y＝±x，即3x±2y＝0，焦点(，0)到渐近线3x＋2y＝0的距离为＝3，所以题中圆的方程为(x－2)2＋y2＝9，因为圆(x－2)2＋y2＝9和抛物线y2＝2px(p＞0)都关于x轴对称，所以A，B两点关于x轴对称，不妨设A(x1，y1)(x1＞0，y1＞0)，则B(x1，－y1)，则|AB|＝2y1＝4，所以y1＝2，因为点A在圆(x－2)2＋y2＝9上，所以(x1－2)2＋8＝9，解得x1＝1或x1＝3，所以A(1，2)或A(3，2)，当A(1，2)时，8＝2p，解得p＝4；当A(3，2)时，8＝6p，解得p＝.综上所述，抛物线的焦点到准线的距离为或4.故选A.
二、多项选择题
9．(2025·八省联考)已知F(2，0)是抛物线C：y2＝2px的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则(　　)
A．p＝4
B．|MF|≥|OF|
C．以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
D．当∠OFM＝120°时，△OFM的面积为2
答案：ABC
解析：因为F(2，0)是抛物线C：y2＝2px的焦点，所以＝2，即得p＝4，A正确；设M(x0，y0)在y2＝8x上，所以x0≥0，所以|MF|＝x0＋≥＝|OF|，B正确；因为以M为圆心且过F的圆半径为|MF|＝x0＋2，等于M到C的准线的距离，所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切，C正确；当∠OFM＝120°时，x0>2，不妨设点M在第一象限，则y0>0，＝tan60°＝，又y＝8x0，所以y－8y0－16＝0，y0＝4或y0＝－(舍去)，所以S△OFM＝|OF|×|y0|＝4，D错误．故选ABC.
10．已知抛物线x2＝y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是(　　)
A．焦点F的坐标为
B．若直线MN过焦点F，则x1x2＝－
C．若＝λ，则|MN|的最小值为
D．若|MF|＋|NF|＝，则线段MN的中点P到x轴的距离为
答案：BCD
解析：易知焦点F的坐标为，A错误；根据抛物线的性质知，当MN过焦点F时，x1x2＝－p2＝－，B正确；若＝λ，则MN过焦点F，则|MN|的最小值即抛物线通径的长，为2p，即，C正确；抛物线x2＝y的焦点为F，准线方程为y＝－，过点M，N，P分别作准线的垂线MM′，NN′，PP′，垂足分别为M′，N′，P′，所以|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|.所以|MM′|＋|NN′|＝|MF|＋|NF|＝，所以|PP′|＝＝，所以线段MN的中点P到x轴的距离为|PP′|－＝－＝，D正确．故选BCD.
11．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则(　　)
A．|BF|＝3
B．△ABF是等边三角形
C．焦点F到准线的距离为3
D．抛物线C的方程为y2＝6x
答案：BCD
解析：根据题意，作出图形如图所示．因为以|FA|为半径的圆交l于B，D两点，所以|FA|＝|FB|，又|FA|＝|AB|，所以△ABF为等边三角形，所以B正确；因为∠ABD＝90°，所以AB∥x轴，所以∠BFO＝60°，所以|BF|＝2p，S△ABF＝|BF|2＝·4p2＝9，解得p＝3，所以|BF|＝6，所以A不正确；焦点F到准线的距离为p＝3，所以C正确；抛物线C的方程为y2＝6x，所以D正确．故选BCD.
三、填空题
12．(2024·北京高考)抛物线y2＝16x的焦点坐标为________．
答案：(4，0)
解析：抛物线的标准方程为y2＝16x，所以其焦点坐标为(4，0)．
13．(2024·湖南长沙二模)已知圆N：x2＋y2－6y＋5＝0，直线y＝－1，圆M与圆N外切，且与直线y＝－1相切，则点M的轨迹方程为________．
答案：x2＝12y
解析：圆N的标准方程为x2＋(y－3)2＝4，设圆M的半径为r，则点M到直线l′：y＝－3的距离与点M到点N的距离相等，都是r＋2，故点M的轨迹是以N为焦点，l′为准线的抛物线，故点M的轨迹方程为x2＝12y.
14．(2024·辽宁沈阳一模)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，若点Q是抛物线C上到点(4，0)的距离最近的点，则|QF|＝________．
答案：3
解析：由题意知F(1，0)，设Q(x0，y0)，A(4，0)，其中x0≥0，则|QA|＝＝＝，∵点Q是抛物线C上到点(4，0)的距离最近的点，∴x0＝2，∴|QF|＝x0＋1＝3.
四、解答题
15．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|.
(1)求C1的离心率；
(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程．
解：(1)∵F(c，0)，AB⊥x轴且与椭圆C1相交于A，B两点，
则直线AB的方程为x＝c，
联立
解得
则|AB|＝.
抛物线C2的方程为y2＝4cx，
把x＝c代入y2＝4cx，得y＝±2c，
∴|CD|＝4c.
∵|CD|＝|AB|，即4c＝，∴2b2＝3ac.
又b2＝a2－c2，∴2c2＋3ac－2a2＝0，
即2e2＋3e－2＝0，解得e＝或e＝－2，
∵0＜e＜1，∴e＝，∴椭圆C1的离心率为.
(2)由(1)知a＝2c，b＝c，椭圆C1的方程为＋＝1，
联立消去y并整理，得3x2＋16cx－12c2＝0，
解得x＝c或x＝－6c(舍去)，
由抛物线的定义可得|MF|＝c＋c＝＝5，
解得c＝3.
∴椭圆C1的标准方程为＋＝1，
抛物线C2的标准方程为y2＝12x.
16．已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于点A，B，交C的准线于点P，Q.
(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB的中点的轨迹方程．
解：(1)证明：由题意知F.设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，且A，B，P，Q，R，.
记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.
由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.
记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则
k1＝＝＝＝＝－b＝k2.
所以AR∥FQ.
(2)设直线AB与x轴的交点为D(x1，0)，则S△ABF＝|b－a|·|FD|＝|b－a|，S△PQF＝.
由题设可得2×|b－a|＝，
所以x1＝0(舍去)或x1＝1.
设满足条件的AB的中点为E(x，y)．
当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得＝(x≠1)．
而＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．
当AB与x轴垂直时，E与D重合．
所以所求轨迹方程为y2＝x－1.
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