第九章 第10练 直线与抛物线的位置关系 同步练习(含详解)2026届高中数学一轮复习

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第九章 第10练 直线与抛物线的位置关系 同步练习(含详解)2026届高中数学一轮复习

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数学
第10练 直线与抛物线的位置关系(原卷版)
一、单项选择题
1.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则的值一定是(  )
A.-4 B.4
C.p2 D.-p2
2.已知过抛物线C:y=的焦点F,且倾斜角为的直线l交抛物线C于A,B两点,则|AB|=(  )
A.32 B.
C. D.8
3.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点E(2,0),线段EF与抛物线C相交于点M,若抛物线C在点M处的切线与直线2x+y+2=0垂直,则抛物线C的方程为(  )
A.x2=3y B.x2=12y
C.x2=9y D.x2=6y
4.(2025·安徽江南十校模拟)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,其中点A在第一象限,若弦AB的长为,则=(  )
A.2或 B.3或
C.4或 D.5或
5.(2025·安徽阜阳模拟)抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面,用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质:一束平行于抛物线对称轴的光线,经过抛物面的反射后,集中于它的焦点.已知一条平行于x轴的入射光线与抛物线y2=2px的交点为A(4,4),则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为(  )
A. B.
C. D.
6.(2025·重庆巴蜀中学模拟)抛物线C:y=x2,过焦点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,若3=,则直线AB的倾斜角为(  )
A.30° B.60°
C.30°或150° D.60°或120°
7.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条相互垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为(  )
A.16 B.14
C.12 D.10
8.已知抛物线y2=2px上三点A(2,2),B,C,直线AB,AC是圆(x-2)2+y2=1的两条切线,则直线BC的方程为(  )
A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0
C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0
二、多项选择题
9.(2025·江苏盐城模拟)已知A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线C:y2=x上不同于原点O的两点,F是抛物线C的焦点,下列说法正确的是(  )
A.点F的坐标为
B.|AB|=x1+x2+
C.若OA⊥OB,则直线AB经过定点(1,0)
D.若点P(-2,1),PA,PB为抛物线C的两条切线,则直线AB的方程为x-2y-2=0
10.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l绕点P(-2,1)旋转,点Q为C上的动点,则(  )
A.以Q为圆心,|QF|为半径的圆与直线x=-1相切
B.若直线l与抛物线有且只有一个公共点,则这样的直线l有两条
C.线段PF的垂直平分线方程为3x-y+2=0
D.过点F的直线交C于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线有两条
11.(2022·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则(  )
A.C的准线为y=-1
B.直线AB与C相切
C.|OP|·|OQ|>|OA|2
D.|BP|·|BQ|>|BA|2
三、填空题
12.(2025·云南昆明模拟)过抛物线C:y2=3x的焦点作直线l交C于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于点M,N,若|AB|=12,则|MN|=________.
13.已知抛物线C:x2=8y,在直线y=-4上任取一点P,过点P作抛物线C的两条切线,切点分别为A,B,则原点到直线AB的距离的最大值为________.
14.已知抛物线y2=2px(p>0),P(2,1)为抛物线内一点,不经过点P的直线l:y=2x+m与抛物线交于A,B两点,连接AP,BP,分别交抛物线于点C,D,若对任意直线l,总存在λ,使得=λ,=λ(λ>0,λ≠1)成立,则该抛物线方程为________.
四、解答题
15.(2025·安徽马鞍山模拟)已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线l过点F交抛物线于A,B两点(点A在第一象限).
(1)若=3,求直线l的方程;
(2)求△OAB面积的最小值.
16.(2025·四川成都七中模拟)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为,设P(x0,y0)为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)当点P为直线l上的定点时,求直线AB的方程;
(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.
第10练 直线与抛物线的位置关系(解析版)
一、单项选择题
1.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则的值一定是(  )
A.-4 B.4
C.p2 D.-p2
答案:A
解析:①若焦点弦AB⊥x轴,则x1=x2=,则x1x2=,y1y2=-p2,则=-4.②若焦点弦AB不垂直于x轴,可设直线AB:y=k,与y2=2px联立,得k2x2-(k2p+2p)x+=0,则x1x2=.∵y=2px1,y=2px2,∴yy=4p2x1x2=p4.又y1y2<0,∴y1y2=-p2,∴=-4.综上,=-4.故选A.
2.已知过抛物线C:y=的焦点F,且倾斜角为的直线l交抛物线C于A,B两点,则|AB|=(  )
A.32 B.
C. D.8
答案:A
解析:因为抛物线C:x2=8y,所以F(0,2),p=4,所以直线l的方程为y=x+2,由得x2-8x-16=0,显然Δ>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8,所以y1+y2=(x1+x2)+4=28,由抛物线的定义可知|AB|=y1++y2+=y1+y2+p=28+4=32.故选A.
3.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点E(2,0),线段EF与抛物线C相交于点M,若抛物线C在点M处的切线与直线2x+y+2=0垂直,则抛物线C的方程为(  )
A.x2=3y B.x2=12y
C.x2=9y D.x2=6y
答案:D
解析:抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,设点M的坐标为(x0,y0),抛物线方程变形为y=,由y′=,得抛物线C在点M处的切线斜率为,由抛物线C在点M处的切线与直线2x+y+2=0垂直,得=,即x0=,所以y0=.因为点M在线段EF上,所以=,所以-=-,解得p=3,所以抛物线C的方程为x2=6y.故选D.
4.(2025·安徽江南十校模拟)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,其中点A在第一象限,若弦AB的长为,则=(  )
A.2或 B.3或
C.4或 D.5或
答案:C
解析:设直线l的倾斜角为θ,则|AB|===,所以cos2θ=,tan2θ=-1=,即tanθ=±,所以直线l的方程为y=±x+1,当直线l的方程为y=x+1时,联立解得x1=-1,x2=4,所以==4,同理,当直线l的方程为y=-x+1时,=,所以=4或.故选C.
5.(2025·安徽阜阳模拟)抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面,用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质:一束平行于抛物线对称轴的光线,经过抛物面的反射后,集中于它的焦点.已知一条平行于x轴的入射光线与抛物线y2=2px的交点为A(4,4),则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为(  )
A. B.
C. D.
答案:C
解析:因为点A(4,4)在抛物线上,所以16=8p,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,则焦点为F(1,0),设反射光线AF与抛物线的另一交点为B,因为反射光线经过点A(4,4)及焦点F(1,0),kAB=kAF==,所以反射光线AB的方程为y=(x-1),联立解得或所以B,又直线AB过焦点F,所以|AB|=4++2=,所以反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为.故选C.
6.(2025·重庆巴蜀中学模拟)抛物线C:y=x2,过焦点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,若3=,则直线AB的倾斜角为(  )
A.30° B.60°
C.30°或150° D.60°或120°
答案:C
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),如图,分别过A,B两点作准线y=-1的垂线,垂足分别为A1,B1,过点A作BB1的垂线,垂足为H,由于3=,不妨设|AF|=t,则|BF|=3t,|AB|=4t,由抛物线的定义可知|AA1|=t,|BB1|=3t,|BH|=2t,则在Rt△ABH中,∠BAH=30°,此时直线AB的倾斜角为30°.根据抛物线的对称性可知,直线AB的倾斜角为30°或150°.故选C.
7.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条相互垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为(  )
A.16 B.14
C.12 D.10
答案:A
解析:由题意知,抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),l1,l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k,则直线l2的斜率为-,故l1:y=k(x-1),l2:y=-(x-1).由消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1+x2==2+,由抛物线的定义可知,|AB|=x1+x2+2=4+.同理得|DE|=4+4k2,∴|AB|+|DE|=8+4k2+≥8+2=16,当且仅当=k2,即k=±1时取等号.故|AB|+|DE|的最小值为16.故选A.
8.已知抛物线y2=2px上三点A(2,2),B,C,直线AB,AC是圆(x-2)2+y2=1的两条切线,则直线BC的方程为(  )
A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0
C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0
答案:B
解析:因为点A(2,2)在抛物线y2=2px上,故22=2p×2,即p=1,所以抛物线的方程为y2=2x.易知直线AB,AC的斜率都存在,设过点A(2,2)与圆(x-2)2+y2=1相切的直线的方程为y-2=k(x-2),即kx-y+2-2k=0,则圆心(2,0)到切线的距离d==1,解得k=±.如图,直线AB:y-2=(x-2),直线AC:y-2=-(x-2).联立得3x2+(4-14)x+16-8=0,故xAxB=,由xA=2,得xB=,故yB=.联立得3x2-(4+14)x+16+8=0,故xAxC=,由xA=2,得xC=,故yC=,故yB+yC=+=-4,又由B,C在抛物线上可知,直线BC的斜率kBC=====-,故直线BC的方程为y-=-,即3x+6y+4=0.故选B.
二、多项选择题
9.(2025·江苏盐城模拟)已知A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线C:y2=x上不同于原点O的两点,F是抛物线C的焦点,下列说法正确的是(  )
A.点F的坐标为
B.|AB|=x1+x2+
C.若OA⊥OB,则直线AB经过定点(1,0)
D.若点P(-2,1),PA,PB为抛物线C的两条切线,则直线AB的方程为x-2y-2=0
答案:ACD
解析:因为拋物线C:y2=x,所以点F的坐标为,故A正确;当直线AB过焦点时,由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+,但直线AB不一定过焦点,故B错误;若OA⊥OB,则x1x2+y1y2=(y1y2)2+y1y2=0,即y1y2=-1或y1y2=0(舍去),因为直线AB:y=(x-x1)+y1,即y=(x-y)+y1=x+,得y=(x-1),故直线AB经过定点(1,0),故C正确;设过点P(-2,1)的切线方程为x=m(y-1)-2,联立消去x,得y2-my+m+2=0,所以Δ=m2-4m-8=0,故m=2+2或m=2-2,所以方程的根为y=,故切线PA,PB方程中m分别为m1=2+2和m2=2-2,故y1+y2==2,y1y2==-2,可得直线AB:y=(x-y)+y1=x+=x-1,即x-2y-2=0,故D正确.故选ACD.
10.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l绕点P(-2,1)旋转,点Q为C上的动点,则(  )
A.以Q为圆心,|QF|为半径的圆与直线x=-1相切
B.若直线l与抛物线有且只有一个公共点,则这样的直线l有两条
C.线段PF的垂直平分线方程为3x-y+2=0
D.过点F的直线交C于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线有两条
答案:AC
解析:由抛物线C:y2=4x可知,C的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.对于A,由抛物线的定义可知,以Q为圆心,|QF|为半径的圆与直线x=-1相切,故A正确;对于B,当过点P(-2,1)的直线l的斜率不存在时,直线l与抛物线无公共点;当直线l的斜率存在时,设斜率为k,则过点P(-2,1)的直线l的方程为y=k(x+2)+1,当k=0时,直线l:y=1与抛物线有且只有一个公共点,当k≠0时,联立整理可得k2x2+(4k2+2k-4)x+4k2+4k+1=0,所以Δ=(4k2+2k-4)2-4k2(4k2+4k+1)=0,化简得2k2+k-1=0,解得k=-1或k=,所以与抛物线有且只有一个公共点的直线l有三条,故B错误;对于C,线段PF的中点为,又kPF==-,所以线段PF的垂直平分线方程为y-=3,即3x-y+2=0,故C正确;对于D,因为|AB|=4=2p,此时线段AB为抛物线的通径,所以这样的直线只有一条,故D错误.故选AC.
11.(2022·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则(  )
A.C的准线为y=-1
B.直线AB与C相切
C.|OP|·|OQ|>|OA|2
D.|BP|·|BQ|>|BA|2
答案:BCD
解析:如图,因为抛物线C过点A(1,1),所以1=2p,解得p=,所以抛物线C:x2=y的准线为y=-,所以A错误;因为x2=y,所以y′=2x,所以y′|x=1=2,所以抛物线C在点A处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,又点B(0,-1)在直线y=2x-1上,所以直线AB与抛物线C相切,所以B正确;设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线PQ的方程为y=kx-1,由得x2-kx+1=0,所以x1+x2=k,x1x2=1,且Δ=k2-4>0,得k>2或k<-2,所以|OP|·|OQ|=·==·|x1x2|==|k|>2=|OA|2,所以C正确;|BP|·|BQ|=·|x1-0|··|x2-0|=(1+k2)|x1x2|=1+k2>5=|BA|2,所以D正确.故选BCD.
三、填空题
12.(2025·云南昆明模拟)过抛物线C:y2=3x的焦点作直线l交C于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于点M,N,若|AB|=12,则|MN|=________.
答案:8
解析:抛物线C:y2=3x的焦点为,根据题意可知直线l的斜率存在且不为0,根据对称性可设直线l的方程为y=k,联立直线y=k与y2=3x可得k2x2-x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),故x1+x2=,x1x2=,故|AB|=x1+x2+p=+=12,解得k2=,直线AM:y=-(x-x1)+y1,令y=0,则xM=ky1+x1,同理可得xN=ky2+x2,
如图,|MN|=|xM-xN|=|ky1+x1-ky2-x2|=|k(y1-y2)+(x1-x2)|=(k2+1)|x1-x2|=(k2+1)=×=8.
13.已知抛物线C:x2=8y,在直线y=-4上任取一点P,过点P作抛物线C的两条切线,切点分别为A,B,则原点到直线AB的距离的最大值为________.
答案:4
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则x=8y1,x=8y2,由x2=8y得y=,y′=,在A处的切线方程为y-y1=(x-x1),即y=x-y1,在B处的切线方程为y-y2=(x-x2),即y=x-y2,设P(t,-4),则-4=t-y1,-4=t-y2,则直线AB的方程为-4=t-y,即y=x+4,直线AB恒过定点(0,4),所以原点到直线AB的距离的最大值为4.
14.已知抛物线y2=2px(p>0),P(2,1)为抛物线内一点,不经过点P的直线l:y=2x+m与抛物线交于A,B两点,连接AP,BP,分别交抛物线于点C,D,若对任意直线l,总存在λ,使得=λ,=λ(λ>0,λ≠1)成立,则该抛物线方程为________.
答案:y2=4x
解析:由=λ,=λ,得△PAB∽△PCD,所以∠PAB=∠PCD,所以AB∥CD,所以kCD=kAB=2.设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),C(x3,y3),D(x4,y4)(x3≠x4),由=λ可得(2-x1,1-y1)=λ(x3-2,y3-1),可得
同理可得
则 (*)将A,B两点的坐标代入抛物线方程得y=2px1,y=2px2,作差可得(y1+y2)=2p,而=2,即y1+y2=p,同理可得y3+y4=p,代入(*),可得p=2,所以抛物线方程为y2=4x.
四、解答题
15.(2025·安徽马鞍山模拟)已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线l过点F交抛物线于A,B两点(点A在第一象限).
(1)若=3,求直线l的方程;
(2)求△OAB面积的最小值.
解:(1)解法一:抛物线的焦点为F(1,0),
设直线l的方程为x=ty+1,
A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2<0,
由得y2-4ty-4=0,
显然Δ>0,∴y1+y2=4t,y1y2=-4,
由=3可得,
y1=-3y2,则
由于y2<0,∴t>0,∴t=,
∴直线l的方程为x=y+1,
即x-y-=0.
解法二:作出抛物线的准线l′:x=-1,设A,B在l′上的射影分别是C,D,连接AC,BD,
过B作BE⊥AC于点E.
∵=3,
∴设||=3m,||=m,
由A,B两点在抛物线上,结合抛物线的定义,
得|AC|=3m,|BD|=m.
因此在Rt△ABE中,
cos∠BAE===,
∴tan∠BAE=,则直线l的方程为x-y-=0.
(2)S△OAB=·|OF|·|y1-y2|
=|y1-y2|=
=≥2,
当且仅当t=0,即直线l的方程为x=1时,△OAB的面积取得最小值2.
16.(2025·四川成都七中模拟)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为,设P(x0,y0)为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)当点P为直线l上的定点时,求直线AB的方程;
(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.
解:(1)焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离d===,解得c=1,
所以抛物线C的方程为x2=4y.
(2)设A,B,
由(1)得抛物线C的方程为y=x2,y′=x,
所以切线PA,PB的斜率分别为x1,x2,
所以直线PA:y-x=x1(x-x1), ①
直线PB:y-x=x2(x-x2), ②
联立①②可得点P的坐标为,
即x0=,y0=,
又因为切线PA的斜率为x1=,
整理得y0=x1x0-x,
直线AB的斜率k===,
所以直线AB的方程为y-x=x0(x-x1),
整理得y=x0x-x1x0+x,
即y=x0x-y0,
所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.
(3)根据抛物线的定义,有|AF|=x+1,|BF|=x+1,
所以|AF|·|BF|==xx+(x+x)+1=xx+[(x1+x2)2-2x1x2]+1,
由(2)得x1+x2=2x0,x1x2=4y0,又因为点P(x0,y0)在直线l上,所以x0=y0+2,
所以|AF|·|BF|=y+(4x-8y0)+1=x+y-2y0+1=(y0+2)2+y-2y0+1=2y+2y0+5=2+.
所以当y0=-时,|AF|·|BF|取得最小值,为.
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