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数学
第10练　直线与抛物线的位置关系（原卷版）
一、单项选择题
1．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定是(　　)
A．－4 B．4
C．p2 D．－p2
2．已知过抛物线C：y＝的焦点F，且倾斜角为的直线l交抛物线C于A，B两点，则|AB|＝(　　)
A．32 B．
C． D．8
3．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点E(2，0)，线段EF与抛物线C相交于点M，若抛物线C在点M处的切线与直线2x＋y＋2＝0垂直，则抛物线C的方程为(　　)
A．x2＝3y B．x2＝12y
C．x2＝9y D．x2＝6y
4．(2025·安徽江南十校模拟)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，其中点A在第一象限，若弦AB的长为，则＝(　　)
A．2或 B．3或
C．4或 D．5或
5．(2025·安徽阜阳模拟)抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点．已知一条平行于x轴的入射光线与抛物线y2＝2px的交点为A(4，4)，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为(　　)
A． B．
C． D．
6．(2025·重庆巴蜀中学模拟)抛物线C：y＝x2，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若3＝，则直线AB的倾斜角为(　　)
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
7．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)
A．16 B．14
C．12 D．10
8．已知抛物线y2＝2px上三点A(2，2)，B，C，直线AB，AC是圆(x－2)2＋y2＝1的两条切线，则直线BC的方程为(　　)
A．x＋2y＋1＝0 B．3x＋6y＋4＝0
C．2x＋6y＋3＝0 D．x＋3y＋2＝0
二、多项选择题
9．(2025·江苏盐城模拟)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线C：y2＝x上不同于原点O的两点，F是抛物线C的焦点，下列说法正确的是(　　)
A．点F的坐标为
B．|AB|＝x1＋x2＋
C．若OA⊥OB，则直线AB经过定点(1，0)
D．若点P(－2，1)，PA，PB为抛物线C的两条切线，则直线AB的方程为x－2y－2＝0
10．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l绕点P(－2，1)旋转，点Q为C上的动点，则(　　)
A．以Q为圆心，|QF|为半径的圆与直线x＝－1相切
B．若直线l与抛物线有且只有一个公共点，则这样的直线l有两条
C．线段PF的垂直平分线方程为3x－y＋2＝0
D．过点F的直线交C于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线有两条
11．(2022·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C：x2＝2py(p>0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则(　　)
A．C的准线为y＝－1
B．直线AB与C相切
C．|OP|·|OQ|>|OA|2
D．|BP|·|BQ|>|BA|2
三、填空题
12．(2025·云南昆明模拟)过抛物线C：y2＝3x的焦点作直线l交C于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于点M，N，若|AB|＝12，则|MN|＝________．
13．已知抛物线C：x2＝8y，在直线y＝－4上任取一点P，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则原点到直线AB的距离的最大值为________．
14．已知抛物线y2＝2px(p>0)，P(2，1)为抛物线内一点，不经过点P的直线l：y＝2x＋m与抛物线交于A，B两点，连接AP，BP，分别交抛物线于点C，D，若对任意直线l，总存在λ，使得＝λ，＝λ(λ>0，λ≠1)成立，则该抛物线方程为________．
四、解答题
15．(2025·安徽马鞍山模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点F交抛物线于A，B两点(点A在第一象限)．
(1)若＝3，求直线l的方程；
(2)求△OAB面积的最小值．
16．(2025·四川成都七中模拟)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c＞0)到直线l：x－y－2＝0的距离为，设P(x0，y0)为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)当点P为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．
第10练　直线与抛物线的位置关系（解析版）
一、单项选择题
1．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定是(　　)
A．－4 B．4
C．p2 D．－p2
答案：A
解析：①若焦点弦AB⊥x轴，则x1＝x2＝，则x1x2＝，y1y2＝－p2，则＝－4.②若焦点弦AB不垂直于x轴，可设直线AB：y＝k，与y2＝2px联立，得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，则x1x2＝.∵y＝2px1，y＝2px2，∴yy＝4p2x1x2＝p4.又y1y2<0，∴y1y2＝－p2，∴＝－4.综上，＝－4.故选A.
2．已知过抛物线C：y＝的焦点F，且倾斜角为的直线l交抛物线C于A，B两点，则|AB|＝(　　)
A．32 B．
C． D．8
答案：A
解析：因为抛物线C：x2＝8y，所以F(0，2)，p＝4，所以直线l的方程为y＝x＋2，由得x2－8x－16＝0，显然Δ>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，所以y1＋y2＝(x1＋x2)＋4＝28，由抛物线的定义可知|AB|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝28＋4＝32.故选A.
3．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点E(2，0)，线段EF与抛物线C相交于点M，若抛物线C在点M处的切线与直线2x＋y＋2＝0垂直，则抛物线C的方程为(　　)
A．x2＝3y B．x2＝12y
C．x2＝9y D．x2＝6y
答案：D
解析：抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，设点M的坐标为(x0，y0)，抛物线方程变形为y＝，由y′＝，得抛物线C在点M处的切线斜率为，由抛物线C在点M处的切线与直线2x＋y＋2＝0垂直，得＝，即x0＝，所以y0＝.因为点M在线段EF上，所以＝，所以－＝－，解得p＝3，所以抛物线C的方程为x2＝6y.故选D.
4．(2025·安徽江南十校模拟)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，其中点A在第一象限，若弦AB的长为，则＝(　　)
A．2或 B．3或
C．4或 D．5或
答案：C
解析：设直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝＝＝，所以cos2θ＝，tan2θ＝－1＝，即tanθ＝±，所以直线l的方程为y＝±x＋1，当直线l的方程为y＝x＋1时，联立解得x1＝－1，x2＝4，所以＝＝4，同理，当直线l的方程为y＝－x＋1时，＝，所以＝4或.故选C.
5．(2025·安徽阜阳模拟)抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点．已知一条平行于x轴的入射光线与抛物线y2＝2px的交点为A(4，4)，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为(　　)
A． B．
C． D．
答案：C
解析：因为点A(4，4)在抛物线上，所以16＝8p，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，则焦点为F(1，0)，设反射光线AF与抛物线的另一交点为B，因为反射光线经过点A(4，4)及焦点F(1，0)，kAB＝kAF＝＝，所以反射光线AB的方程为y＝(x－1)，联立解得或所以B，又直线AB过焦点F，所以|AB|＝4＋＋2＝，所以反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为.故选C.
6．(2025·重庆巴蜀中学模拟)抛物线C：y＝x2，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若3＝，则直线AB的倾斜角为(　　)
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
答案：C
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图，分别过A，B两点作准线y＝－1的垂线，垂足分别为A1，B1，过点A作BB1的垂线，垂足为H，由于3＝，不妨设|AF|＝t，则|BF|＝3t，|AB|＝4t，由抛物线的定义可知|AA1|＝t，|BB1|＝3t，|BH|＝2t，则在Rt△ABH中，∠BAH＝30°，此时直线AB的倾斜角为30°.根据抛物线的对称性可知，直线AB的倾斜角为30°或150°.故选C.
7．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)
A．16 B．14
C．12 D．10
答案：A
解析：由题意知，抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为－，故l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－(x－1)．由消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝＝2＋，由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋.同理得|DE|＝4＋4k2，∴|AB|＋|DE|＝8＋4k2＋≥8＋2＝16，当且仅当＝k2，即k＝±1时取等号．故|AB|＋|DE|的最小值为16.故选A.
8．已知抛物线y2＝2px上三点A(2，2)，B，C，直线AB，AC是圆(x－2)2＋y2＝1的两条切线，则直线BC的方程为(　　)
A．x＋2y＋1＝0 B．3x＋6y＋4＝0
C．2x＋6y＋3＝0 D．x＋3y＋2＝0
答案：B
解析：因为点A(2，2)在抛物线y2＝2px上，故22＝2p×2，即p＝1，所以抛物线的方程为y2＝2x.易知直线AB，AC的斜率都存在，设过点A(2，2)与圆(x－2)2＋y2＝1相切的直线的方程为y－2＝k(x－2)，即kx－y＋2－2k＝0，则圆心(2，0)到切线的距离d＝＝1，解得k＝±.如图，直线AB：y－2＝(x－2)，直线AC：y－2＝－(x－2)．联立得3x2＋(4－14)x＋16－8＝0，故xAxB＝，由xA＝2，得xB＝，故yB＝.联立得3x2－(4＋14)x＋16＋8＝0，故xAxC＝，由xA＝2，得xC＝，故yC＝，故yB＋yC＝＋＝－4，又由B，C在抛物线上可知，直线BC的斜率kBC＝＝＝＝＝－，故直线BC的方程为y－＝－，即3x＋6y＋4＝0.故选B.
二、多项选择题
9．(2025·江苏盐城模拟)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线C：y2＝x上不同于原点O的两点，F是抛物线C的焦点，下列说法正确的是(　　)
A．点F的坐标为
B．|AB|＝x1＋x2＋
C．若OA⊥OB，则直线AB经过定点(1，0)
D．若点P(－2，1)，PA，PB为抛物线C的两条切线，则直线AB的方程为x－2y－2＝0
答案：ACD
解析：因为拋物线C：y2＝x，所以点F的坐标为，故A正确；当直线AB过焦点时，由抛物线的定义可得|AB|＝x1＋x2＋，但直线AB不一定过焦点，故B错误；若OA⊥OB，则x1x2＋y1y2＝(y1y2)2＋y1y2＝0，即y1y2＝－1或y1y2＝0(舍去)，因为直线AB：y＝(x－x1)＋y1，即y＝(x－y)＋y1＝x＋，得y＝(x－1)，故直线AB经过定点(1，0)，故C正确；设过点P(－2，1)的切线方程为x＝m(y－1)－2，联立消去x，得y2－my＋m＋2＝0，所以Δ＝m2－4m－8＝0，故m＝2＋2或m＝2－2，所以方程的根为y＝，故切线PA，PB方程中m分别为m1＝2＋2和m2＝2－2，故y1＋y2＝＝2，y1y2＝＝－2，可得直线AB：y＝(x－y)＋y1＝x＋＝x－1，即x－2y－2＝0，故D正确．故选ACD.
10．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l绕点P(－2，1)旋转，点Q为C上的动点，则(　　)
A．以Q为圆心，|QF|为半径的圆与直线x＝－1相切
B．若直线l与抛物线有且只有一个公共点，则这样的直线l有两条
C．线段PF的垂直平分线方程为3x－y＋2＝0
D．过点F的直线交C于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线有两条
答案：AC
解析：由抛物线C：y2＝4x可知，C的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.对于A，由抛物线的定义可知，以Q为圆心，|QF|为半径的圆与直线x＝－1相切，故A正确；对于B，当过点P(－2，1)的直线l的斜率不存在时，直线l与抛物线无公共点；当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则过点P(－2，1)的直线l的方程为y＝k(x＋2)＋1，当k＝0时，直线l：y＝1与抛物线有且只有一个公共点，当k≠0时，联立整理可得k2x2＋(4k2＋2k－4)x＋4k2＋4k＋1＝0，所以Δ＝(4k2＋2k－4)2－4k2(4k2＋4k＋1)＝0，化简得2k2＋k－1＝0，解得k＝－1或k＝，所以与抛物线有且只有一个公共点的直线l有三条，故B错误；对于C，线段PF的中点为，又kPF＝＝－，所以线段PF的垂直平分线方程为y－＝3，即3x－y＋2＝0，故C正确；对于D，因为|AB|＝4＝2p，此时线段AB为抛物线的通径，所以这样的直线只有一条，故D错误．故选AC.
11．(2022·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C：x2＝2py(p>0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则(　　)
A．C的准线为y＝－1
B．直线AB与C相切
C．|OP|·|OQ|>|OA|2
D．|BP|·|BQ|>|BA|2
答案：BCD
解析：如图，因为抛物线C过点A(1，1)，所以1＝2p，解得p＝，所以抛物线C：x2＝y的准线为y＝－，所以A错误；因为x2＝y，所以y′＝2x，所以y′|x＝1＝2，所以抛物线C在点A处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，又点B(0，－1)在直线y＝2x－1上，所以直线AB与抛物线C相切，所以B正确；设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为y＝kx－1，由得x2－kx＋1＝0，所以x1＋x2＝k，x1x2＝1，且Δ＝k2－4＞0，得k＞2或k＜－2，所以|OP|·|OQ|＝·＝＝·|x1x2|＝＝|k|＞2＝|OA|2，所以C正确；|BP|·|BQ|＝·|x1－0|··|x2－0|＝(1＋k2)|x1x2|＝1＋k2＞5＝|BA|2，所以D正确．故选BCD.
三、填空题
12．(2025·云南昆明模拟)过抛物线C：y2＝3x的焦点作直线l交C于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于点M，N，若|AB|＝12，则|MN|＝________．
答案：8
解析：抛物线C：y2＝3x的焦点为，根据题意可知直线l的斜率存在且不为0，根据对称性可设直线l的方程为y＝k，联立直线y＝k与y2＝3x可得k2x2－x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，故x1＋x2＝，x1x2＝，故|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12，解得k2＝，直线AM：y＝－(x－x1)＋y1，令y＝0，则xM＝ky1＋x1，同理可得xN＝ky2＋x2，
如图，|MN|＝|xM－xN|＝|ky1＋x1－ky2－x2|＝|k(y1－y2)＋(x1－x2)|＝(k2＋1)|x1－x2|＝(k2＋1)＝×＝8.
13．已知抛物线C：x2＝8y，在直线y＝－4上任取一点P，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则原点到直线AB的距离的最大值为________．
答案：4
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x＝8y1，x＝8y2，由x2＝8y得y＝，y′＝，在A处的切线方程为y－y1＝(x－x1)，即y＝x－y1，在B处的切线方程为y－y2＝(x－x2)，即y＝x－y2，设P(t，－4)，则－4＝t－y1，－4＝t－y2，则直线AB的方程为－4＝t－y，即y＝x＋4，直线AB恒过定点(0，4)，所以原点到直线AB的距离的最大值为4.
14．已知抛物线y2＝2px(p>0)，P(2，1)为抛物线内一点，不经过点P的直线l：y＝2x＋m与抛物线交于A，B两点，连接AP，BP，分别交抛物线于点C，D，若对任意直线l，总存在λ，使得＝λ，＝λ(λ>0，λ≠1)成立，则该抛物线方程为________．
答案：y2＝4x
解析：由＝λ，＝λ，得△PAB∽△PCD，所以∠PAB＝∠PCD，所以AB∥CD，所以kCD＝kAB＝2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)(x3≠x4)，由＝λ可得(2－x1，1－y1)＝λ(x3－2，y3－1)，可得
同理可得
则　(*)将A，B两点的坐标代入抛物线方程得y＝2px1，y＝2px2，作差可得(y1＋y2)＝2p，而＝2，即y1＋y2＝p，同理可得y3＋y4＝p，代入(*)，可得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.
四、解答题
15．(2025·安徽马鞍山模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点F交抛物线于A，B两点(点A在第一象限)．
(1)若＝3，求直线l的方程；
(2)求△OAB面积的最小值．
解：(1)解法一：抛物线的焦点为F(1，0)，
设直线l的方程为x＝ty＋1，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1＞0，y2＜0，
由得y2－4ty－4＝0，
显然Δ＞0，∴y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，
由＝3可得，
y1＝－3y2，则
由于y2＜0，∴t＞0，∴t＝，
∴直线l的方程为x＝y＋1，
即x－y－＝0.
解法二：作出抛物线的准线l′：x＝－1，设A，B在l′上的射影分别是C，D，连接AC，BD，
过B作BE⊥AC于点E.
∵＝3，
∴设||＝3m，||＝m，
由A，B两点在抛物线上，结合抛物线的定义，
得|AC|＝3m，|BD|＝m.
因此在Rt△ABE中，
cos∠BAE＝＝＝，
∴tan∠BAE＝，则直线l的方程为x－y－＝0.
(2)S△OAB＝·|OF|·|y1－y2|
＝|y1－y2|＝
＝≥2，
当且仅当t＝0，即直线l的方程为x＝1时，△OAB的面积取得最小值2.
16．(2025·四川成都七中模拟)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c＞0)到直线l：x－y－2＝0的距离为，设P(x0，y0)为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)当点P为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．
解：(1)焦点F(0，c)(c＞0)到直线l：x－y－2＝0的距离d＝＝＝，解得c＝1，
所以抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)设A，B，
由(1)得抛物线C的方程为y＝x2，y′＝x，
所以切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，
所以直线PA：y－x＝x1(x－x1)，　①
直线PB：y－x＝x2(x－x2)，　②
联立①②可得点P的坐标为，
即x0＝，y0＝，
又因为切线PA的斜率为x1＝，
整理得y0＝x1x0－x，
直线AB的斜率k＝＝＝，
所以直线AB的方程为y－x＝x0(x－x1)，
整理得y＝x0x－x1x0＋x，
即y＝x0x－y0，
所以直线AB的方程为x0x－2y－2y0＝0.
(3)根据抛物线的定义，有|AF|＝x＋1，|BF|＝x＋1，
所以|AF|·|BF|＝＝xx＋(x＋x)＋1＝xx＋[(x1＋x2)2－2x1x2]＋1，
由(2)得x1＋x2＝2x0，x1x2＝4y0，又因为点P(x0，y0)在直线l上，所以x0＝y0＋2，
所以|AF|·|BF|＝y＋(4x－8y0)＋1＝x＋y－2y0＋1＝(y0＋2)2＋y－2y0＋1＝2y＋2y0＋5＝2＋.
所以当y0＝－时，|AF|·|BF|取得最小值，为.
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