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数学
第11练　定点、定值、定直线问题（原卷版）
1. 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，O为坐标原点，焦点在直线2x＋4y－1＝0上．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点(4，0)作动直线l与抛物线C交于M，N两点，直线OM，ON分别与圆(x－1)2＋y2＝1交于点P，Q(异于点O)，设直线OM，ON的斜率分别为k1，k2.
①求证：k1k2为定值；
②求证：直线PQ恒过定点．
2．(2025·广东汕头模拟)设A，B两点的坐标分别为(－，0)，(，0)，直线AH，BH相交于点H，且它们的斜率之积是－.设点H的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)不经过点A的直线l与曲线C相交于E，F两点，且直线AE与直线AF的斜率之积是－，求证：直线l恒过定点．
3．已知圆A1：(x＋1)2＋y2＝16，直线l1过点A2(1，0)且与圆A1交于B，C两点，BC的中点为D，过A2C的中点E且平行于A1D的直线交A1C于点P，记P的轨迹为Γ.
(1)求Γ的方程；
(2)坐标原点O关于A1，A2的对称点分别为B1，B2，点A1，A2关于直线y＝x的对称点分别为C1，C2，过A1的直线l2与Γ交于M，N两点，直线B1M，B2N相交于点Q.请从下列结论中，选择一个正确的结论并给予证明．
①△QB1C1的面积是定值；②△QB1B2的面积是定值；③△QC1C2的面积是定值．
4. (2025·山东济南模拟)如图，已知点T1(3，－)和点T2(－5，)在双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上，双曲线C的左顶点为A，过点L(a2，0)且不与x轴重合的直线l与双曲线C交于P，Q两点，直线AP，AQ与圆O：x2＋y2＝a2分别交于点M，N.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，求k1k2的值；
(3)证明：直线MN过定点．
第11练　定点、定值、定直线问题（解析版）
1. 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，O为坐标原点，焦点在直线2x＋4y－1＝0上．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点(4，0)作动直线l与抛物线C交于M，N两点，直线OM，ON分别与圆(x－1)2＋y2＝1交于点P，Q(异于点O)，设直线OM，ON的斜率分别为k1，k2.
①求证：k1k2为定值；
②求证：直线PQ恒过定点．
解：(1)易知直线2x＋4y－1＝0与x轴交于点，
即焦点坐标为，
所以＝，p＝1，
则抛物线的标准方程为y2＝2x.
(2)证明：①设直线MN的方程为x＝my＋4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立方程得y2－2my－8＝0，
所以y1y2＝－8，又
所以yy＝4x1x2＝64，即x1x2＝16，
则k1k2＝·＝＝－，为定值．
②设直线PQ的方程为x＝ty＋n，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，
联立方程
得(t2＋1)y2＋2t(n－1)y＋n2－2n＝0，
所以y3＋y4＝－，y3y4＝，
k1k2＝·＝
＝＝－.
整理得＝－，n＝，
所以直线PQ过定点.
2．(2025·广东汕头模拟)设A，B两点的坐标分别为(－，0)，(，0)，直线AH，BH相交于点H，且它们的斜率之积是－.设点H的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)不经过点A的直线l与曲线C相交于E，F两点，且直线AE与直线AF的斜率之积是－，求证：直线l恒过定点．
解：(1)设点H的坐标为(x，y)，因为点A的坐标是(－，0)，
所以直线AH的斜率kAH＝(x≠－)，
同理，直线BH的斜率kBH＝(x≠)，
由已知，有·＝－(x≠±)，
化简，得＋y2＝1(x≠±)，
所以曲线C的方程为＋y2＝1(x≠±)．
(2)证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)．
①当直线l的斜率不存在时，
可知x2＝x1，y2＝－y1，
且有
解得x1＝0，y1＝±1，此时直线l为x＝0；
②当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋b，
则此时有kAE·kAF＝·
＝
＝＝－.
联立直线方程与椭圆方程消去y可得(3k2＋1)x2＋6kbx＋3b2－3＝0，Δ＝12(3k2－b2＋1)>0，
根据根与系数的关系可得
x1＋x2＝，x1x2＝，
所以＝－，
所以＝－，
所以＝－1，
所以b2－kb＝0，则b＝0或b＝k，
当b＝k时，则直线l：y＝k(x＋)恒过点A，与题意不符，舍去，
故b＝0，直线l恒过定点(0，0)，此时Δ>0恒成立．
结合①②可知，直线l恒过定点(0，0)，原命题得证．
3．已知圆A1：(x＋1)2＋y2＝16，直线l1过点A2(1，0)且与圆A1交于B，C两点，BC的中点为D，过A2C的中点E且平行于A1D的直线交A1C于点P，记P的轨迹为Γ.
(1)求Γ的方程；
(2)坐标原点O关于A1，A2的对称点分别为B1，B2，点A1，A2关于直线y＝x的对称点分别为C1，C2，过A1的直线l2与Γ交于M，N两点，直线B1M，B2N相交于点Q.请从下列结论中，选择一个正确的结论并给予证明．
①△QB1C1的面积是定值；②△QB1B2的面积是定值；③△QC1C2的面积是定值．
解：(1)由题意得，A1(－1，0)，A2(1，0)．
因为D为BC的中点，所以A1D⊥BC，
即A1D⊥A2C，
又PE∥A1D，所以PE⊥A2C，
又E为A2C的中点，所以|PA2|＝|PC|，
所以|PA1|＋|PA2|＝|PA1|＋|PC|＝|A1C|＝4>|A1A2|，
所以点P的轨迹Γ是以A1，A2为焦点的椭圆(左、右顶点除外)．
设Γ的方程为＋＝1(x≠±a)，其中a>b>0，a2－b2＝c2，则2a＝4，a＝2，c＝1，b＝＝.
故Γ的方程为＋＝1(x≠±2)．
(2)解法一：结论③正确．下证：△QC1C2的面积是定值．
由题意得，B1(－2，0)，B2(2，0)，C1(0，－1)，C2(0，1)，且直线l2的斜率不为0，
可设直线l2：x＝my－1，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
且x1≠±2，x2≠±2.
由得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝－，
所以2my1y2＝－3(y1＋y2)．
直线B1M的方程为y＝(x＋2)，
直线B2N的方程为y＝(x－2)，
由得＝
＝＝
＝＝＝，
解得x＝－4.
故点Q在直线x＝－4上，所以Q到C1C2的距离d＝4，
因此△QC1C2的面积是定值，为|C1C2|·d＝×2×4＝4.
解法二：结论③正确．下证：△QC1C2的面积是定值．
由题意得，B1(－2，0)，B2(2，0)，C1(0，－1)，C2(0，1)，且直线l2的斜率不为0，
可设直线l2：x＝my－1，M(x1，y1)，
N(x2，y2)，且x1≠±2，x2≠±2.
由得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝－，所以2my1y2＝－3(y1＋y2)．
直线B1M的方程为y＝(x＋2)，
直线B2N的方程为y＝(x－2)，
由
得x＝2×
＝2×
＝2×
＝2×＝－4，
故点Q在直线x＝－4上，所以Q到C1C2的距离d＝4，
因此△QC1C2的面积是定值，为|C1C2|·d＝×2×4＝4.
解法三：结论③正确．下证：△QC1C2的面积是定值．
由题意得，B1(－2，0)，B2(2，0)，C1(0，－1)，C2(0，1)，且直线l2的斜率不为0.
(ⅰ)当直线l2垂直于x轴时，
l2：x＝－1，由
得或
不妨设M，N，
则直线B1M的方程为y＝(x＋2)，
直线B2N的方程为y＝(x－2)，
由得
所以Q(－4，－3)，
故Q到C1C2的距离d＝4，
此时△QC1C2的面积为|C1C2|·d＝×2×4＝4.
(ⅱ)当直线l2不垂直于x轴时，设直线l2：y＝k(x＋1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，且x1≠±2，x2≠±2.
由得(4k2＋3)x2＋8k2x＋(4k2－12)＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
直线B1M的方程为y＝(x＋2)，
直线B2N的方程为y＝(x－2)，
由
得x＝2×
＝2×
＝.
下证：＝－4.
即证4x1x2－2x1＋6x2＝－4(3x1＋x2＋4)，
即证4x1x2＝－10(x1＋x2)－16，
即证4×＝－10×－16，
即证4(4k2－12)＝－10(－8k2)－16(4k2＋3)，
上式显然成立，
故点Q在直线x＝－4上，所以Q到C1C2的距离d＝4，
此时△QC1C2的面积是定值，为|C1C2|·d＝×2×4＝4.
由(ⅰ)(ⅱ)可知，△QC1C2的面积为定值．
解法四：结论③正确．下证：△QC1C2的面积是定值．
由题意得，B1(－2，0)，B2(2，0)，C1(0，－1)，C2(0，1)，且直线l2的斜率不为0，
可设直线l2：x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
且x1≠±2，x2≠±2.
由得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝－.
直线B1M的方程为y＝(x＋2)，
直线B2N的方程为y＝(x－2)，
因为＋＝1，所以＝－×，
故直线B2N的方程为y＝－×(x－2)．
由
得＝－
＝－
＝－×
＝－×＝3，
解得x＝－4.
故点Q在直线x＝－4上，所以Q到C1C2的距离d＝4，
因此△QC1C2的面积是定值，为|C1C2|·d＝×2×4＝4.
4. (2025·山东济南模拟)如图，已知点T1(3，－)和点T2(－5，)在双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上，双曲线C的左顶点为A，过点L(a2，0)且不与x轴重合的直线l与双曲线C交于P，Q两点，直线AP，AQ与圆O：x2＋y2＝a2分别交于点M，N.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，求k1k2的值；
(3)证明：直线MN过定点．
解：(1)因为点T1(3，－)和T2(－5，)在双曲线上，所以解得
所以双曲线C的标准方程为－＝1.
(2)由题意可知，直线l的斜率不等于零，故可设直线l的方程为x＝my＋4，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立
整理得(m2－1)y2＋8my＋12＝0，
若m2＝1，即m＝±1，直线l的斜率为±1，与渐近线y＝±x平行，
此时直线l与双曲线有且仅有一个交点，不满足题意，所以m2≠1，
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
x1＋x2＝m(y1＋y2)＋8
＝＋＝，
x1x2＝m2y1y2＋4m(y1＋y2)＋16
＝＋＋＝，
因为A(－2，0)，所以k1k2＝×
＝
＝
＝＝－，所以k1k2＝－.
(3)证明：①当MN⊥x轴时，k1＝－k2且k1k2＝－，
所以k1＝，k2＝－，则AP：y＝(x＋2)，
联立整理得x2＋(x＋2)2＝4，
即x2＋x－2＝0，解得x＝－2或x＝1，
当x＝1时，y＝，所以M(1，)，
由于对称性，N(1，－)，此时直线MN过点(1，0)；
②当MN不垂直于x轴时，设B(1，0)，下面证明直线MN仍过定点B.
因为AP：y＝k1(x＋2)，
所以联立
即x2＋k(x＋2)2＝4，
所以(k＋1)x2＋4kx＋4k－4＝0，
解得x＝－2或x＝，
当x＝时，
y＝k1＝，
所以M，
同理，N，
所以kBM＝＝，
kBN＝＝，
因为k1k2＝－，所以k2＝－，
所以kBN＝＝
＝＝＝kBM，
所以M，N，B三点共线，即此时直线MN恒过定点(1，0)．
综上，直线MN过定点(1，0)．
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