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数学
第12练　最值、范围问题（原卷版）
1. 如图，已知椭圆＋y2＝1，设A，B是椭圆上异于P(0，1)的两点，且点Q在线段AB上，直线PA，PB分别交直线y＝－x＋3于点C，D.
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求|CD|的最小值．
2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，点Q在C上．
(1)若P是C上一动点，求·的取值范围；
(2)过C的右焦点F2，且斜率不为零的直线l交C于M，N两点，求△F1MN的内切圆面积的最大值．
3．(2025·湖北重点中学联考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线上一点与右焦点F(2，0)的最短距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)O为坐标原点，直线x＝ty＋2与双曲线的右支交于A，B两点，与渐近线交于C，D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方．
①求实数t的取值范围；
②设S1，S2分别为△AOC的面积和△BOD的面积，求S1＋S2的最大值．
4．(2024·湖南长沙一模)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，其准线l与x轴交于点P，过点P的直线与C交于A，B两点(点A在点B的左侧)．
(1)若A是线段PB的中点，求点A的坐标；
(2)若直线AF与C的另一交点为D，记△BDP内切圆的半径为r，求r的取值范围．
第12练　最值、范围问题（解析版）
1. 如图，已知椭圆＋y2＝1，设A，B是椭圆上异于P(0，1)的两点，且点Q在线段AB上，直线PA，PB分别交直线y＝－x＋3于点C，D.
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求|CD|的最小值．
解：(1)设椭圆上任意一点M(x，y)，
则|PM|2＝x2＋(y－1)2＝12－12y2＋y2－2y＋1＝－11y2－2y＋13，y∈[－1，1]，
而函数z＝－11y2－2y＋13的图象的对称轴为y＝－∈[－1，1]，
则其最大值为－11×＋2×＋13＝，
∴|PM|max＝＝，
即点P到椭圆上点的距离的最大值为.
(2)设直线AB的方程为y＝kx＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，1)，联立消去y，整理得(1＋12k2)x2＋12kx－9＝0，Δ＝144k2＋36(1＋12k2)＝36(1＋16k2)>0，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，
直线PA的方程为y＝x＋1，
联立
整理得xC＝＝，
同理，xD＝，
∴|CD|＝·
＝
＝
＝·＝，
令3k＋1＝m(m≠0)，
∴|CD|＝·
＝·，
∴当m＝，即k＝时，|CD|取得最小值，为.
2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，点Q在C上．
(1)若P是C上一动点，求·的取值范围；
(2)过C的右焦点F2，且斜率不为零的直线l交C于M，N两点，求△F1MN的内切圆面积的最大值．
解：(1)由题意知c＝，所以a2＝b2＋3.
将点Q代入＋＝1，解得b＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
设点P(x，y)，则·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2－3＋y2＝x2－2.
又因为x∈[－2，2]，
所以·的取值范围是[－2，1]．
(2)依题意，可设直线l的方程为x＝my＋，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立
得(m2＋4)y2＋2my－1＝0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝－，
所以S△F MN＝×2×|y1－y2|
＝×
＝4×，
又因为＝＝≤，
当且仅当m＝±时，等号成立．
所以S△F1MN≤4×＝2.
设△F1MN的周长为L△F1MN，
又因为三角形内切圆的半径r满足
r＝＝≤＝.
所以△F1MN的内切圆面积的最大值为.
3．(2025·湖北重点中学联考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线上一点与右焦点F(2，0)的最短距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)O为坐标原点，直线x＝ty＋2与双曲线的右支交于A，B两点，与渐近线交于C，D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方．
①求实数t的取值范围；
②设S1，S2分别为△AOC的面积和△BOD的面积，求S1＋S2的最大值．
解：(1)设双曲线－＝1的焦距为2c，且c＝2，
因为F(2，0)到直线bx－ay＝0的距离为＝，
故b＝，则a＝＝，
故双曲线的方程为－＝1.
(2)如图，①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立直线与双曲线的方程
消元得(t2－1)y2＋4ty＋2＝0，
则
因为直线与双曲线的右支交于A，B两点，故y1y2＝＜0，则－1＜t＜1，故实数t的取值范围为(－1，1)．
②由①知，|AB|＝|y1－y2|
＝·
＝，
原点O到直线AB的距离d＝，
设C(x3，y3)，D(x4，y4)，联立
则(t2－1)y2＋4ty＋4＝0，
y3＋y4＝，y3y4＝，Δ＝16＞0，
则|CD|＝|y3－y4|
＝·＝，
而S1＋S2＝S△COD－S△AOB
＝||CD|－|AB||d＝，
令m＝∈[，2)，
则S1＋S2＝＝
＝≤＝4－2，
当且仅当m＝，即t＝0时取等号．
综上所述，S1＋S2的最大值为4－2.
4．(2024·湖南长沙一模)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，其准线l与x轴交于点P，过点P的直线与C交于A，B两点(点A在点B的左侧)．
(1)若A是线段PB的中点，求点A的坐标；
(2)若直线AF与C的另一交点为D，记△BDP内切圆的半径为r，求r的取值范围．
解：(1)由题意知P，设点A(x0，y0)，
因为A是线段PB的中点，
所以B，
又点A，B都在抛物线C上，
所以
解得x0＝，y0＝±，
所以点A的坐标为或.
(2)由题意可知，直线AB的斜率存在且不为0，
设直线AB的方程为y＝k，k≠0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由点A在点B的左侧，则0＜x1＜x2，
设D(x3，y3)，直线BD与x轴交于点E，
联立
得k2x2＋(k2－2)x＋＝0，
由Δ＝(k2－2)2－k4＝4－4k2＞0，
得－1＜k＜1，k≠0，
x1＋x2＝，x1x2＝，
所以0＜x1＜＜x2，
而F，所以直线AF的斜率存在，所以直线AF的方程为y＝，
与y2＝2x联立，得yx2－x＋y＝0，
化简得2x1x2－x＋x1＝0，解得x＝或x＝x1，
因为直线AF的斜率存在，所以x3＝＝x2，
所以BD⊥x轴．
所以S△BDP＝·2|y2|，
△BDP的周长为2＋2|y2|，
所以r＝|2y2|，
所以r＝
＝
＝.
令t＝x2＋，则r＝，t＞1，
因为y＝＝x－2，y＝，y＝在(1，＋∞)上均单调递减，
则y＝＋在(1，＋∞)上单调递减，
所以r＝在(1，＋∞)上单调递增，
所以r＞＝－1，
所以r的取值范围为(－1，＋∞)．
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