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数学
第2练　二项式定理（原卷版）
一、单项选择题
1.的展开式中x的系数为(　　)
A．－80 B．－40
C．40 D．80
2．(2025·山东济南市中区模拟)若的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则n＝(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
3．(2024·辽宁大连一模)－＋－＋－＋＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
4．(2024·福建福州模拟)(1－x)5(1＋2x)4的展开式中x2的系数为(　　)
A．－14 B．－6
C．34 D．74
5．(2024·湖南长沙三模)在(3x＋y－1)8的展开式中，x2y的系数是(　　)
A．168 B．－168
C．1512 D．－1512
6．(2024·安徽皖江名校联考)已知的展开式的二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为(　　)
A．第5项 B．第6项
C．第7项 D．第8项
7．若7n＋C7n－1＋…＋C7＋C是9的倍数，则自然数n为(　　)
A．4的倍数 B．3的倍数
C．奇数 D．偶数
8. (2024·重庆模拟)已知(x2＋x＋a)(2x－1)6的展开式中各项系数之和为3，则展开式中x的系数为(　　)
A．－10 B．－11
C．－13 D．－15
二、多项选择题
9．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，下列关于杨辉三角的猜想中正确的是(　　)
A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：C＝C
B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：C＝C＋C
C．由“第n行所有数之和为2n”猜想：C＋C＋C＋…＋C＝2n
D．由“111＝11，112＝121，113＝1331”猜想：115＝15101051
10．(2024·福建泉州一模)已知(n∈N*)的展开式中共有8项，则下列结论正确的是(　　)
A．所有项的二项式系数和为128
B．所有项的系数和为
C．系数最大的项为第2项
D．有理项共有4项
11．(2024·江苏镇江模拟)下列说法正确的是(　　)
A．若(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝310－1
B．1.0510精确到0.1的近似数为1.6
C．5555被8除的余数为1
D．C29＋C28＋…＋C＝39
三、填空题
12．已知多项式(x＋2)(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝______，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________．
13．(2024·天津模拟)已知的展开式中的常数项为19，则a＝________．
14．(2024·重庆模拟)使用二项式定理，可以解决很多数学问题．已知1.820可以写成(1＋0.8)20，令展开式的第k＋1项为f(k)＝C×0.8k，k∈N，0≤k≤20，则f(k)取最大值时，k＝________．
四、解答题
15．在①只有第8项的二项式系数最大；②奇数项二项式系数之和为47；③各项系数之和为414这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
设二项式，若其展开式中________，是否存在整数k，使得Tk是展开式中的常数项？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
16．已知m，n是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为7.
(1)求出f(x)中的x2的系数的最小值及此时x3的系数；
(2)利用上述结果，求f(0.003)的近似值(精确到0.01)．
第2练　二项式定理（解析版）
一、单项选择题
1.的展开式中x的系数为(　　)
A．－80 B．－40
C．40 D．80
答案：D
解析：的展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)5－r＝(－1)r25－rCx5－2r，令5－2r＝1，得r＝2，所以的展开式中x的系数为(－1)2×25－2×C＝80.故选D.
2．(2025·山东济南市中区模拟)若的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则n＝(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
答案：B
解析：若的展开式中只有第4项的二项式系数最大，即C最大，则n＝6.故选B.
3．(2024·辽宁大连一模)－＋－＋－＋＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
答案：B
解析：易知－＋－＋－＋＝C(－1)6＋C(－1)5＋C(－1)4·＋C(－1)3＋C(－1)2＋C(－1)1＋C(－1)0＝＝＝.故选B.
4．(2024·福建福州模拟)(1－x)5(1＋2x)4的展开式中x2的系数为(　　)
A．－14 B．－6
C．34 D．74
答案：B
解析：(1－x)5的展开式的通项为Tr＋1＝C·(－1)r·xr(r＝0，1，2，3，4，5)，(1＋2x)4的展开式为Tk＋1＝C·2k·xk(k＝0，1，2，3，4)，当r＝0，k＝2时，x2的系数为C×22＝24；当r＝1，k＝1时，x2的系数为－5×4×2＝－40；当r＝2，k＝0时，x2的系数为C＝10，故x2的系数为24－40＋10＝－6.故选B.
5．(2024·湖南长沙三模)在(3x＋y－1)8的展开式中，x2y的系数是(　　)
A．168 B．－168
C．1512 D．－1512
答案：D
解析：原问题可以理解为8个(3x＋y－1)相乘，要想得到x2y，需要8个因式中有2个取x项，1个取y项，还剩5个取常数项，由题意，知x2y的系数为C×32×C×1×C×(－1)5＝－1512.故选D.
6．(2024·安徽皖江名校联考)已知的展开式的二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为(　　)
A．第5项 B．第6项
C．第7项 D．第8项
答案：C
解析：由题意，得2n＝256，故n＝8，故的展开式的通项为Tk＋1＝Cx8－k＝(－1)kC2kx8－2k(k＝0，1，…，8)，故奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数，又C20＝1，C22＝112，C24＝1120，C26＝1792，C28＝256，故C26最大，因此第7项的系数最大．故选C.
7．若7n＋C7n－1＋…＋C7＋C是9的倍数，则自然数n为(　　)
A．4的倍数 B．3的倍数
C．奇数 D．偶数
答案：C
解析：因为7n＋C7n－1＋…＋C7＋C＝(7n＋1＋C7n＋…＋C72＋C7＋C)－＝(7＋1)n＋1－＝(8n＋1－1)＝[9n＋1－C9n＋…＋(－1)nC9＋(－1)n＋1－1]，又7n＋C7n－1＋…＋C7＋C是9的倍数，所以n＋1为偶数，即n为奇数．故选C.
8. (2024·重庆模拟)已知(x2＋x＋a)(2x－1)6的展开式中各项系数之和为3，则展开式中x的系数为(　　)
A．－10 B．－11
C．－13 D．－15
答案：B
解析：∵(x2＋x＋a)(2x－1)6的展开式中各项系数之和为3，所以令x＝1，可得2＋a＝3，解得a＝1，∴(x2＋x＋a)(2x－1)6＝(x2＋x＋1)·(2x－1)6，(2x－1)6的展开式的通项为Tk＋1＝C·(2x)6－k·(－1)k＝C·26－k·(－1)k·x6－k，令6－k＝0，得k＝6，此时x的系数为C·20·(－1)6＝1；令6－k＝1，得k＝5，此时x的系数为C·21·(－1)5＝－12.综上，(x2＋x＋a)(2x－1)6的展开式中x的系数为1＋(－12)＝－11.故选B.
二、多项选择题
9．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，下列关于杨辉三角的猜想中正确的是(　　)
A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：C＝C
B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：C＝C＋C
C．由“第n行所有数之和为2n”猜想：C＋C＋C＋…＋C＝2n
D．由“111＝11，112＝121，113＝1331”猜想：115＝15101051
答案：ABC
解析：由杨辉三角的性质以及二项式定理可知A，B，C正确；115＝(10＋1)5＝C×105＋C×104＋C×103＋C×102＋C×101＋C＝161051，故D错误．故选ABC.
10．(2024·福建泉州一模)已知(n∈N*)的展开式中共有8项，则下列结论正确的是(　　)
A．所有项的二项式系数和为128
B．所有项的系数和为
C．系数最大的项为第2项
D．有理项共有4项
答案：AD
解析：对于A，因为的展开式中共有8项，所以n＝7，故所有项的二项式系数和为27＝128，故A正确．对于B，令x＝1，可得所有项的系数和为＝，故B错误．对于C，因为二项展开式的通项为Tk＋1＝C·x7－k·＝C··x，k＝0，1，2，…，7.当k＝1，2，…，6时，设第k＋1项的系数最大，
由
解得则k＝2.当k＝2时，T3＝Cx4＝x4，第3项的系数为；当k＝0时，T1＝x7，系数为1；当k＝7时，T8＝Cx＝x，系数为.又<，1<，故第3项的系数最大，故C错误．对于D，由7－为整数，且k＝0，1，2，…，7可知，k的值可以为0，2，4，6，所以二项展开式中，有理项共有4项，故D正确．故选AD.
11．(2024·江苏镇江模拟)下列说法正确的是(　　)
A．若(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝310－1
B．1.0510精确到0.1的近似数为1.6
C．5555被8除的余数为1
D．C29＋C28＋…＋C＝39
答案：ABD
解析：对于A，(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝0，则a0＝1，a1，a3，a5，a7，a9为负数，a2，a4，a6，a8，a10为正数，令x＝－1，则310＝a0－a1＋a2＋…－a9＋a10，故|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝－a1＋a2＋…－a9＋a10＝310－1，A正确；对于B，1.0510＝(1＋0.05)10＝C×0.050＋C×0.051＋C×0.052＋…＋C×0.0510＝1＋0.5＋0.1125＋…＝1.5＋0.1125＋…，故1.0510精确到0.1的近似数为1.6，B正确；对于C，5555＝(56－1)55＝C×5655－C×5654＋C×5653－…＋C×561－C×560，由此可得5555被8除的余数为8－1＝7，C错误；对于D，C29＋C28＋…＋C＝(2＋1)9＝39，D正确．故选ABD.
三、填空题
12．已知多项式(x＋2)(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝______，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________．
答案：8　－2
解析：含x2的项为x·C·x·(－1)3＋2·C·x2·(－1)2＝－4x2＋12x2＝8x2，故a2＝8.令x＝0，得2＝a0，令x＝1，得0＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2.
13．(2024·天津模拟)已知的展开式中的常数项为19，则a＝________．
答案：±
解析：的展开式中的常数项为CC(2x)a2·＋CC(2x)2＋a4＝－12a2＋6＋a4，则－12a2＋6＋a4＝19，解得a2＝13或a2＝－1(舍去)，所以a＝±.
14．(2024·重庆模拟)使用二项式定理，可以解决很多数学问题．已知1.820可以写成(1＋0.8)20，令展开式的第k＋1项为f(k)＝C×0.8k，k∈N，0≤k≤20，则f(k)取最大值时，k＝________．
答案：9
解析：因为f(k)＝C×0.8k＝×0.8k，f(k－1)＝C×0.8k－1＝×0.8k－1，f(k＋1)＝C×0.8k＋1＝×0.8k＋1，所以令≥1，得×0.8≥1，解得k≤.令≥1，得≥1，解得k≥，所以≤k≤，又k∈N，故k＝9，又易知f(0)＝1＜16＝f(1)＜f(9)，f(20)＝0.820＜1＜f(9)，因此，当k＝9时，f(k)取最大值．
四、解答题
15．在①只有第8项的二项式系数最大；②奇数项二项式系数之和为47；③各项系数之和为414这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
设二项式，若其展开式中________，是否存在整数k，使得Tk是展开式中的常数项？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：若选条件①，即只有第8项的二项式系数最大，则n＝14；
若选条件③，即各项系数之和为414，
则4n＝414，即n＝14.
二项式的展开式的通项为Tk＝C()15－k·＝3k－1Cx.
由21－7k＝0，得k＝3.
即存在整数k＝3，使得T3是展开式中的常数项．
若选条件②，即奇数项二项式系数之和为47，则2n－1＝47＝214，所以n＝15.
二项式的展开式的通项为Tk＝C()16－k·＝3k－1Cx.
由22－7k＝0，得k＝ Z，即不存在整数k，使得Tk是展开式中的常数项．
16．已知m，n是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为7.
(1)求出f(x)中的x2的系数的最小值及此时x3的系数；
(2)利用上述结果，求f(0.003)的近似值(精确到0.01)．
解：(1)根据题意得C＋C＝7，即m＋n＝7，①
f(x)中的x2的系数为C＋C＝＋＝.
将①变形为n＝7－m，代入上式得x2的系数为m2－7m＋21＝＋，
故当m＝3或m＝4时，x2的系数最小，为9.
当m＝3，n＝4时，x3的系数为C＋C＝5；
当m＝4，n＝3时，x3的系数为C＋C＝5.
(2)f(0.003)＝(1＋0.003)4＋(1＋0.003)3≈C＋C×0.003＋C＋C×0.003≈2.02.
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