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数学
第3练　随机事件与概率（原卷版）
一、单项选择题
1．(2024·上海普陀区模拟)从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球，两个红球分别标记为A，B，白球标记为C，则它的一个样本空间可以是(　　)
A．{AB，BC}
B．{AB，AC，BC}
C．{AB，BA，BC，CB}
D．{AB，BA，AC，CA，CB}
2．(2024·陕西榆林榆阳区校级一模)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级)的概率为(　　)
A．0.95 B．0.97
C．0.92 D．0.08
3．(2024·广东汕头二模)袋子中有红、黄、黑、白四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小球都取到才停止，用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率．用1，2，3，4分别代表红、黄、黑、白四个小球，利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
341 332 341 144 221 132 243 331 112
342 241 244 342 142 431 233 214 344
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为(　　)
A． B．
C． D．
4．某家族有X，Y两种遗传性状，该家族某成员出现X性状的概率为，出现Y性状的概率为，X，Y两种性状都不出现的概率为，则该成员X，Y两种性状都出现的概率为(　　)
A． B．
C． D．
5．(2024·湖北武汉汉阳区模拟)随机事件A发生的概率为，随机事件B发生的概率为，则事件A，B同时发生的概率的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
6．(2024·重庆巴蜀中学模拟)故宫的角楼是中国古建筑艺术的巅峰之作，它被誉为故宫最美的建筑，角楼的建造者也将中国古代的阴阳观和吉数的思想融入在角楼的设计之中．中国古代常把奇数称为“阳数”，偶数称为“阴数”，9的整数倍称为“吉数”．若从1，3，5，7，9这五个阳数，2，4，6，8这四个阴数中各取一个数组成两位数，则这个两位数恰好是“吉数”的概率是(　　)
A． B．
C． D．
7．(2025·四川内江开学考试)柜子里有3双不同的鞋，分别用a1，a2，b1，b2，c1，c2表示6只鞋，如果从中随机地取出2只，则取出的鞋一只左脚一只右脚的概率为(　　)
A． B．
C． D．
8．从正方体的8个顶点和中心中任选4个，则这4个点恰好构成三棱锥的概率为(　　)
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．(2024·河北沧州一模)某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件A：只参加科技游艺活动，事件B：至少参加两种科普活动，事件C：只参加一种科普活动，事件D：一种科普活动都不参加，事件E：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是(　　)
A．A与D是互斥事件
B．B与E是对立事件
C．E＝C∪D
D．A＝C∩E
10．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(单位：分钟)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表所示：
所需时间/分钟 30 40 50 60
线路一 0.5 0.2 0.2 0.1
线路二 0.3 0.5 0.1 0.1
则下列说法正确的是(　　)
A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件
B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间
C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该选线路一
D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04
11. 如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中A1，A2，A3，A4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止．则(　　)
A．甲从M到达N处的方法有30种
B．甲从M经过A2到达N处的方法有9种
C．甲、乙两人在A3处相遇的概率为
D．甲、乙两人不相遇的概率为
三、填空题
12．已知点A，B，C，D，E，F均匀分布在圆O上，从这6个点中任取三个点，则以这三个点为顶点的三角形是等腰三角形的概率为________．
13．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．
14. (2024·福建泉州模拟)如图，有一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8.将该八面体连续抛掷三次，按顺序记录它与地面接触的面上的数字，则这三个数恰好构成等差数列的概率为________．
四、解答题
15．(2025·广东汕头模拟)某中学高一年级的同学们学习完《统计与概率》章节后，统一进行了一次测试，并将所有测试成绩(满分100分)按照[50，60)，[60，70)，…，[90，100]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中b＝3a.
(1)求出a，b，估计测试成绩的75%分位数和平均分；
(2)按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在[80，100]内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在[80，90)内的概率．
16．一个袋中有4个大小、质地都相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个，连续取两次．
(1)设(i，j)表示先后两次所取到的球，试写出所有可能抽取的结果；
(2)求连续两次都取到白球的概率；
(3)若取到红球记2分，取到白球记1分，取到黑球记0分，求连续取球两次所得总分数大于2分的概率．
17．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40]
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
第3练　随机事件与概率（解析版）
一、单项选择题
1．(2024·上海普陀区模拟)从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球，两个红球分别标记为A，B，白球标记为C，则它的一个样本空间可以是(　　)
A．{AB，BC}
B．{AB，AC，BC}
C．{AB，BA，BC，CB}
D．{AB，BA，AC，CA，CB}
答案：B
解析：两个红球分别标记为A，B，白球标记为C，则抽取两个球的情况为AB，AC，BC，即它的一个样本空间可以是{AB，AC，BC}．故选B.
2．(2024·陕西榆林榆阳区校级一模)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级)的概率为(　　)
A．0.95 B．0.97
C．0.92 D．0.08
答案：C
解析：记“抽验的产品是甲级品”为事件A，“抽验的产品是乙级品”为事件B，“抽验的产品是丙级品”为事件C，这三个事件彼此互斥，因而抽验一只是正品(甲级)的概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.故选C.
3．(2024·广东汕头二模)袋子中有红、黄、黑、白四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小球都取到才停止，用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率．用1，2，3，4分别代表红、黄、黑、白四个小球，利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
341 332 341 144 221 132 243 331 112
342 241 244 342 142 431 233 214 344
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为(　　)
A． B．
C． D．
答案：D
解析：18组随机数中，满足条件的有221，132，112，241，142，共5组，所以估计恰好抽取三次就停止的概率P＝.故选D.
4．某家族有X，Y两种遗传性状，该家族某成员出现X性状的概率为，出现Y性状的概率为，X，Y两种性状都不出现的概率为，则该成员X，Y两种性状都出现的概率为(　　)
A． B．
C． D．
答案：B
解析：设该家族某成员出现X性状为事件A，出现Y性状为事件B，则X，Y两种性状都不出现为事件∩，两种性状都出现为事件A∩B，所以P(A)＝，P(B)＝，P(∩)＝，所以P(A∪B)＝1－P(∩)＝，又因为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)，所以P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝.故选B.
5．(2024·湖北武汉汉阳区模拟)随机事件A发生的概率为，随机事件B发生的概率为，则事件A，B同时发生的概率的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
答案：C
解析：依题意，P(A)＝，P(B)＝，由P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)≤1，得P(AB)≥P(A)＋P(B)－1＝＋－1＝，又P(A)>P(B)，则当B A时，P(AB)＝P(B)＝，所以事件A，B同时发生的概率的取值范围是.故选C.
6．(2024·重庆巴蜀中学模拟)故宫的角楼是中国古建筑艺术的巅峰之作，它被誉为故宫最美的建筑，角楼的建造者也将中国古代的阴阳观和吉数的思想融入在角楼的设计之中．中国古代常把奇数称为“阳数”，偶数称为“阴数”，9的整数倍称为“吉数”．若从1，3，5，7，9这五个阳数，2，4，6，8这四个阴数中各取一个数组成两位数，则这个两位数恰好是“吉数”的概率是(　　)
A． B．
C． D．
答案：A
解析：从1，3，5，7，9这五个阳数，2，4，6，8这四个阴数中各取一个数组成两位数，则这个两位数恰好是“吉数”的概率为P＝＝.故选A.
7．(2025·四川内江开学考试)柜子里有3双不同的鞋，分别用a1，a2，b1，b2，c1，c2表示6只鞋，如果从中随机地取出2只，则取出的鞋一只左脚一只右脚的概率为(　　)
A． B．
C． D．
答案：C
解析：设a1，b1，c1分别表示三双鞋的左只，a2，b2，c2分别表示三双鞋的右只，则从中随机取出2只的所有可能情况为(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，c2)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c2)，(c1，c2)，共15种，其中满足取出的鞋一只左脚一只右脚的情况有(a1，a2)，(a1，b2)，(a1，c2)，(a2，b1)，(a2，c1)，(b1，b2)，(b1，c2)，(b2，c1)，(c1，c2)，共9种，所以所求概率为＝.故选C.
8．从正方体的8个顶点和中心中任选4个，则这4个点恰好构成三棱锥的概率为(　　)
A． B．
C． D．
答案：D
解析：从正方体的8个顶点和中心中任取4个，有C＝126个结果，4个点恰好构成三棱锥分两种情况：①从正方体的8个顶点中取4个点，共有C＝70个结果，其中四点共面有两种情况：一是四点构成侧面或底面，有6种情况，二是四点构成对角面(如平面AA1C1C)，有6种情况．在同一个平面的有6＋6＝12个，构成的三棱锥有70－12＝58个；②从正方体的8个顶点中任取3个，共有C＝56个结果，其中所取3点与中心共面，则这4个点在同一对角面上，共有6C＝24个结果，因此，所选3点与中心构成三棱锥有56－24＝32个．故从正方体的8个顶点和中心中任选4个，则这4个点恰好构成三棱锥的个数为58＋32＝90，故所求概率P＝＝.故选D.
二、多项选择题
9．(2024·河北沧州一模)某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件A：只参加科技游艺活动，事件B：至少参加两种科普活动，事件C：只参加一种科普活动，事件D：一种科普活动都不参加，事件E：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是(　　)
A．A与D是互斥事件
B．B与E是对立事件
C．E＝C∪D
D．A＝C∩E
答案：ABC
解析：对于A，事件A与事件D不会同时发生，A与D是互斥事件，A正确；对于B，事件B：至少参加两种科普活动，其对立事件为至多参加一种科普活动，B正确；对于C，事件C：只参加一种科普活动，事件D：一种科普活动都不参加，事件E：至多参加一种科普活动，E＝C∪D，C正确；对于D，C∩E＝C，D错误．故选ABC.
10．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(单位：分钟)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表所示：
所需时间/分钟 30 40 50 60
线路一 0.5 0.2 0.2 0.1
线路二 0.3 0.5 0.1 0.1
则下列说法正确的是(　　)
A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件
B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间
C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该选线路一
D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04
答案：BD
解析：“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，A错误；线路一所需的平均时间为30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39分钟，线路二所需的平均时间为30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40分钟，所以线路一比线路二更节省时间，B正确；线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，C错误；所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为(50，60)，(60，50)和(60，60)三种情况，概率为0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，D正确．故选BD.
11. 如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中A1，A2，A3，A4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止．则(　　)
A．甲从M到达N处的方法有30种
B．甲从M经过A2到达N处的方法有9种
C．甲、乙两人在A3处相遇的概率为
D．甲、乙两人不相遇的概率为
答案：BC
解析：对于A，甲从M到达N处，需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，则甲从M到达N处的方法有C＝20种，A错误．对于B，甲经过A2到达N处，可分为两步：第1步，甲从M经过A2需要走3步，其中1步向右走，2步向上走，有C种方法；第2步，甲从A2到达N处需要走3步，其中1步向上走，2步向右走，有C种方法．所以甲从M经过A2到达N处的方法有CC＝9种，B正确．对于C，类似B，甲经过A3的方法有CC＝9种，乙经过A3的方法也有CC＝9种，所以甲、乙两人在A3处相遇的方法有9×9＝81种，则甲、乙两人在A3处相遇的概率为＝，C正确．对于D，甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在A1，A2，A3，A4处相遇，若甲、乙两人在A1处相遇，甲经过A1处，则甲的前3步必须向上走，乙经过A1处，则乙的前3步必须向左走，两人在A1处相遇的走法有1种；若甲、乙两人在A2处相遇，甲到A2处，前3步有1步向右走，后3步只有2步向右走，乙到A2处，前3步有1步向下走，后3步只有2步向下走，所以两人在A2处相遇的走法有CCCC＝81种；若甲、乙两人在A3处相遇，由C项分析可知，走法有81种；若甲、乙两人在A4处相遇，甲经过A4处，则甲的前3步必须向右走，乙经过A4处，则乙的前3步必须向下走，两人在A4处相遇的走法有1种，故甲、乙两人相遇的概率为＝，由对立事件的概率知，甲、乙两人不相遇的概率为1－＝，D错误．故选BC.
三、填空题
12．已知点A，B，C，D，E，F均匀分布在圆O上，从这6个点中任取三个点，则以这三个点为顶点的三角形是等腰三角形的概率为________．
答案：
解析：由题意得所有的情况有ABC，ABD，ABE，ABF，ACD，ACE，ACF，ADE，ADF，AEF，BCD，BCE，BCF，BDE，BDF，BEF，CDE，CDF，CEF，DEF，共20种，由图知其中满足题意的有ABC，BCD，CDE，DEF，AEF，ABF，ACE，BDF，共8种，故所求概率为＝.
13．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．
答案：　
解析：由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同颜色的球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同颜色的球的概率为P＝＋＝.记事件A为“至少取得一个红球”，事件B为“取得两个绿球”，则事件A与B是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－＝.
14. (2024·福建泉州模拟)如图，有一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8.将该八面体连续抛掷三次，按顺序记录它与地面接触的面上的数字，则这三个数恰好构成等差数列的概率为________．
答案：
解析：由题意可知，所有可能的情况共有8×8×8种，按顺序记录的三个数恰好构成等差数列，可以按照公差为－3，－2，－1，0，1，2，3分类，其中公差为－3，－2，－1和3，2，1的情况数对应相等．公差为0的有(1，1，1)，(2，2，2)，…，(8，8，8)，共8种；公差为1的有(1，2，3)，(2，3，4)，…，(6，7，8)，共6种，公差为－1的也有6种；公差为2的有(1，3，5)，(2，4，6)，(3，5，7)，(4，6，8)，共4种，公差为－2的也有4种；公差为3的有(1，4，7)，(2，5，8)，共2种，公差为－3的也有2种．所以这三个数恰好构成等差数列的概率P＝＝.
四、解答题
15．(2025·广东汕头模拟)某中学高一年级的同学们学习完《统计与概率》章节后，统一进行了一次测试，并将所有测试成绩(满分100分)按照[50，60)，[60，70)，…，[90，100]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中b＝3a.
(1)求出a，b，估计测试成绩的75%分位数和平均分；
(2)按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在[80，100]内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在[80，90)内的概率．
解：(1)由频率分布直方图可知(a＋0.015＋0.035＋b＋a)×10＝1，即b＋2a＝0.05，
又b＝3a，所以a＝0.01，b＝0.03，
前三组的频率之和为0.1＋0.15＋0.35＝0.6<0.75，
前四组的频率之和为0.6＋0.3＝0.9>0.75，
则测试成绩的75%分位数m∈[80，90)，且m＝80＋×10＝85.
测试成绩的平均分为＝55×0.1＋65×0.15＋75×0.35＋85×0.3＋95×0.1＝76.5.
(2)成绩在[80，90)和[90，100]内的人数之比为3∶1，
故抽取的4人中成绩在[80，90)内的有3人，设为a，b，c，
成绩在[90，100]内的有1人，设为D，
再从这4人中选2人，
则这2人的所有可能情况有(a，b)，(a，c)，(a，D)，(b，c)，(b，D)，(c，D)，共6种，
这2人成绩都在[80，90)内的情况有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3种，
故这2人成绩都在[80，90)内的概率为P＝＝.
16．一个袋中有4个大小、质地都相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个，连续取两次．
(1)设(i，j)表示先后两次所取到的球，试写出所有可能抽取的结果；
(2)求连续两次都取到白球的概率；
(3)若取到红球记2分，取到白球记1分，取到黑球记0分，求连续取球两次所得总分数大于2分的概率．
解：(1)将2个白球分别记作白1，白2，则连续取两次所包含的样本点有(红，红)，(红，白1)，(红，白2)，(红，黑)，(白1，红)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白1，黑)，(白2，红)，(白2，白1)，(白2，白2)，(白2，黑)，(黑，红)，(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，黑)，所以样本点的总数为16.
(2)设事件A：“连续取两次都是白球”，则事件A所包含的样本点有(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，共4个，所以P(A)＝＝.
(3)设事件B：“连续取球两次分数之和为3”，
事件C：“连续取球两次分数之和为4”，
事件D：“连续取球两次分数之和大于2”，
则事件B与事件C互斥，
则事件B所包含的样本点有(红，白1)，(红，白2)，(白1，红)，(白2，红)，共4个，
事件C所包含的样本点有(红，红)，共1个，
所以P(B)＝，P(C)＝，
所以P(D)＝P(B)＋P(C)＝＋＝.
17．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40]
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
解：(1)当且仅当最高气温低于25时，这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为＝0.6.
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温低于20，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；
若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；
若最高气温不低于25，则Y＝450×(6－4)＝900，
所以利润Y的所有可能值为－100，300，900.
当且仅当最高气温不低于20时Y大于零，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8.
因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
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