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数学
第6练　二项分布、超几何分布、正态分布（原卷版）
一、单项选择题
1．(2024·河北石家庄模拟)如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则P(X>0)＝(　　)
A． B．
C． D．
2．(2024·湖北孝感模拟)已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为X，则E(X)＝(　　)
A．2 B．1
C． D．
3．(2024·山东济宁三模)若随机变量X～N(3，22)，随机变量Y＝(X－3)，则＝(　　)
A．0 B．
C． D．2
4．(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是(　　)
A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9，10.1)的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10，10.3)的概率相等
5．口袋中有6个球(除颜色外其他属性都相同)，其中3个黑球，2个红球，1个白球，ξ表示有放回地摸球3次，每次摸一个，取出红球的个数，η表示不放回地摸球3次，每次摸一个，取出黑球的个数，则下列结论成立的是(　　)
A．E(ξ)E(η)
C．E(ξ)＝E(η) D．无法判断
6．(2024·辽宁辽阳一模)辽宁的盘锦大米以粒粒饱满、口感香糯而著称．已知某超市销售的盘锦袋装大米的质量M(单位：kg)服从正态分布N(25，σ2)，且P(24.9A．14.4 B．9.6
C．24 D．48
7. 如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行且错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球在下落过程中向左、向右落下的机会均等，设小球最终落入X号球槽，则X的数学期望为(　　)
A．3 B．4
C．3.5 D．2.5
8．(2025·河北石家庄二中模拟)经检测，一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为X，则下列说法正确的是(　　)
A．X的所有可能取值为1，2，3，4，5
B．P(X＝2)＝
C．X服从超几何分布
D．X＝3的概率最大
二、多项选择题
9．(2024·新课标Ⅰ卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z<μ＋σ)≈0.8413)(　　)
A．P(X>2)>0.2 B．P(X>2)<0.5
C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.8
10．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A＝a1a2a3a4a5(例如10100)，其中A的各位数中ak(k＝2，3，4，5)出现0的概率为，出现1的概率为，记X＝a2＋a3＋a4＋a5，则当程序运行一次时，下列结论正确的是(　　)
A．X服从二项分布
B．P(X＝1)＝
C．X的均值E(X)＝
D．X的方差D(X)＝
11．(2025·湖南长沙开学考试)某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记事件A表示“某芯片通过智能检测系统筛选”，事件B表示“某芯片经人工抽检后合格”．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布N(5.40，0.052)，现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标ξ位于区间(5.35，5.55)，则下列说法正确的是(若X～N(μ，σ2)，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973)(　　)
A．P(B|A)>P(B)
B．P(A|B)C．P(5.35≤ξ≤5.55)≈0.84
D．当P(m＝45)取得最大值时，M的估计值为53
三、填空题
12．(2025·福建龙岩上杭一中月考)中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量ξ～B(n，p)，则当np>5且n(1－p)>5时，ξ可以由服从正态分布的随机变量η近似替代，且ξ的期望与方差分别与η的期望与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为________(精确到0.0001)．
附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.9973.
13．某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个．从袋中随机取出3个球，若恰全为黑球的概率为，则黑球的个数为________．若记取出的3个球中黑球的个数为X，则D(X)＝________．
14．已知随机变量X～B(6，0.8)，若P(X＝k)最大，则D(kX＋1)＝________．
四、解答题
15．(2024·黑龙江哈尔滨模拟)某校为了提高教师身心健康，号召教师利用空余时间参加阳光体育活动．现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加．
(1)求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率；
(2)记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望E(X)；
(3)若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的2名教师得分之和为Y，求Y的期望E(Y)．
16．(2025·河北唐山开学考试)某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在[70，80)内的学生获三等奖，得分在[80，90)内的学生获二等奖，得分在[90，100]内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．
若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中σ≈15，μ为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
(1)若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数(结果精确到1)；
(2)若从所有参赛学生中(参赛学生数大于10000)随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.
17．甲、乙两选手进行一场体育竞技比赛，采用2n－1(n∈N*)局n胜制(当一选手先赢下n局比赛时，该选手获胜，比赛结束)．已知每局比赛甲获胜的概率为p，乙获胜的概率为1－p.
(1)若n＝2，p＝，比赛结束时的局数为X，求X的分布列与数学期望；
(2)若n＝3比n＝2对甲更有利，求p的取值范围．
18．(2024·山东日照二模)某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，并统计分析测试成绩以确定员工绩效等级．
(1)已知该公司甲部门有3名负责人，乙部门有4名负责人，该公司从甲、乙两部门中随机选取3名负责人做测试分析，记负责人来自甲部门的人数为X，求X的最有可能的取值；
(2)该公司统计了七个部门测试的平均成绩x(满分100分)与绩效等级优秀率y，如下表所示：
x 32 41 54 68 74 80 92
y 0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94
根据数据绘制散点图，初步判断选用y＝λecx作为回归方程．令z＝ln y，经计算得＝－0.642，≈0.02.
(ⅰ)已知某部门测试的平均成绩为60分，估计其绩效等级优秀率；
(ⅱ)根据统计分析，大致认为各部门测试的平均成绩Y～N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.经计算s≈20，求某个部门绩效等级优秀率不低于0.78的概率．
参考公式与数据：
①ln 0.15≈－1.9，e1.2≈3.32，ln 5.2≈1.66；
②经验回归方程＝x＋中，
＝，
＝－；
③若随机变量Y～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Y≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤Y≤μ＋3σ)≈0.9973.
19．(2025·辽宁重点高中模拟)某自然保护区经过几十年的发展，某种濒临灭绝动物数量有大幅度的增加．已知这种动物P拥有两个亚种(分别记为A种和B种)．为了调查该区域中这两个亚种的数目，某动物研究小组计划在该区域中捕捉100个动物P，统计其中A种的数目后，将捕获的动物全部放回，作为一次试验结果．重复进行这个试验共20次，记第i次试验中A种的数目为随机变量Xi(i＝1，2，…，20)．设该区域中A种的数目为M，B种的数目为N(M，N均大于100)，每一次试验均相互独立．
(1)求X1的分布列；
(2)记随机变量＝Xi.已知E(Xi＋Xj)＝E(Xi)＋E(Xj)，D(Xi＋Xj)＝D(Xi)＋D(Xj)，
①证明：E()＝E(X1)，D()＝D(X1)；
②该小组完成所有试验后，得到Xi的实际取值分别为xi(i＝1，2，…，20)．数据xi(i＝1，2，…，20)的平均值＝30，方差s2＝1.采用和s2分别代替E()和D()，给出M，N的估计值．
附：已知随机变量Z服从超几何分布，记为Z～H(P，n，Q)(其中P为总数，Q为某类元素的个数，n为抽取的个数)，则D(Z)＝n×.
20．(2025·江苏南通开学考试)已知红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为，红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功的概率分别为，.现红方、蓝方进行模拟对抗训练，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗．经过数轮对抗后，当一方比另一方多击中对方目标两次时，训练结束．假定红方、蓝方互不影响，各轮结果也互不影响．记在1轮对抗中，红方击中蓝方目标为事件A，蓝方击中红方目标为事件B.求：
(1)概率P(A)，P(B)；
(2)经过1轮对抗，红方与蓝方击中对方目标次数之差X的分布列及数学期望；
(3)在4轮对抗后训练结束的条件下，红方比蓝方多击中对方目标两次的概率．
第6练　二项分布、超几何分布、正态分布（解析版）
一、单项选择题
1．(2024·河北石家庄模拟)如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则P(X>0)＝(　　)
A． B．
C． D．
答案：D
解析：依题意，当X>0时，X的可能取值为1，3，5，设质点向右移动的次数为Y，则相应的Y的取值为3，4，5，且Y～B，所以P(X>0)＝P(X＝5)＋P(X＝3)＋P(X＝1)＝P(Y＝5)＋P(Y＝4)＋P(Y＝3)＝＋C××＋C××＝.故选D.
2．(2024·湖北孝感模拟)已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为X，则E(X)＝(　　)
A．2 B．1
C． D．
答案：A
解析：∵X服从超几何分布，∴E(X)＝＝2.故选A.
3．(2024·山东济宁三模)若随机变量X～N(3，22)，随机变量Y＝(X－3)，则＝(　　)
A．0 B．
C． D．2
答案：B
解析：由X～N(3，22)可知，E(X)＝3，D(X)＝4，又因为Y＝(X－3)，所以E(Y)＝E＝E(X)－＝－＝0，D(Y)＝D＝D(X)＝1，则＝＝.故选B.
4．(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是(　　)
A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9，10.1)的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10，10.3)的概率相等
答案：D
解析：对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中小于9.99的概率与大于10.01的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量在一次测量中落在(9.9，10)的概率与落在(10.2，10.3)的概率不同，所以在一次测量中落在(9.9，10.2)的概率与落在(10，10.3)的概率不同，故D错误．故选D.
5．口袋中有6个球(除颜色外其他属性都相同)，其中3个黑球，2个红球，1个白球，ξ表示有放回地摸球3次，每次摸一个，取出红球的个数，η表示不放回地摸球3次，每次摸一个，取出黑球的个数，则下列结论成立的是(　　)
A．E(ξ)E(η)
C．E(ξ)＝E(η) D．无法判断
答案：A
解析：ξ表示有放回地摸球3次，每次摸一个，取出红球的个数，ξ的可能取值为0，1，2，3，则ξ～B，则E(ξ)＝3×＝1；η表示不放回地摸球3次，每次摸一个，取出黑球的个数，η的可能取值为0，1，2，3，η服从超几何分布，则E(η)＝3×＝，则E(ξ)6．(2024·辽宁辽阳一模)辽宁的盘锦大米以粒粒饱满、口感香糯而著称．已知某超市销售的盘锦袋装大米的质量M(单位：kg)服从正态分布N(25，σ2)，且P(24.9A．14.4 B．9.6
C．24 D．48
答案：A
解析：由题意知M～N(25，σ2)，且P(24.97. 如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行且错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球在下落过程中向左、向右落下的机会均等，设小球最终落入X号球槽，则X的数学期望为(　　)
A．3 B．4
C．3.5 D．2.5
答案：C
解析：当X＝1时，小球要向左下落5次，则P(X＝1)＝C×＝；当X＝2时，小球要向左下落4次，向右下落1次，则P(X＝2)＝C××＝；当X＝3时，小球要向左下落3次，向右下落2次，则P(X＝3)＝C××＝；当X＝4时，小球要向左下落2次，向右下落3次，则P(X＝4)＝C××＝；当X＝5时，小球要向左下落1次，向右下落4次，则P(X＝5)＝C××＝；当X＝6时，小球要向右下落5次，则P(X＝6)＝C×＝.则X的数学期望为＝3.5.故选C.
8．(2025·河北石家庄二中模拟)经检测，一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为X，则下列说法正确的是(　　)
A．X的所有可能取值为1，2，3，4，5
B．P(X＝2)＝
C．X服从超几何分布
D．X＝3的概率最大
答案：D
解析：对于A，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，故A错误；对于B，P(X＝2)＝C××＝，故B错误；对于C，由题意，随机变量X～B，故C错误；对于D，随机变量X～B，所以P(X＝k)＝C××(k＝0，1，2，3，4，5)，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝C××＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝C××＝，P(X＝4)＝C××＝，P(X＝5)＝＝，所以X＝3的概率最大，故D正确．故选D.
二、多项选择题
9．(2024·新课标Ⅰ卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z<μ＋σ)≈0.8413)(　　)
A．P(X>2)>0.2 B．P(X>2)<0.5
C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.8
答案：BC
解析：依题意可知，＝2.1，s2＝0.01，所以Y～N(2.1，0.12)，故P(Y>2)＝P(Y>2.1－0.1)＝P(Y<2.1＋0.1)≈0.8413>0.5，C正确，D错误；因为X～N(1.8，0.12)，所以P(X>2)＝P(X>1.8＋2×0.1)，因为P(X<1.8＋0.1)≈0.8413，所以P(X>1.8＋0.1)≈1－0.8413＝0.1587<0.2，而P(X>2)＝P(X>1.8＋2×0.1)1.8＋0.1)<0.2，B正确，A错误．故选BC.
10．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A＝a1a2a3a4a5(例如10100)，其中A的各位数中ak(k＝2，3，4，5)出现0的概率为，出现1的概率为，记X＝a2＋a3＋a4＋a5，则当程序运行一次时，下列结论正确的是(　　)
A．X服从二项分布
B．P(X＝1)＝
C．X的均值E(X)＝
D．X的方差D(X)＝
答案：ABC
解析：由二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0，1，且每个数位上的数字在填时互不影响，故以后的5位数中后4位的所有结果有5类：①后4个数都出现0，X＝0，记其概率为P(X＝0)＝＝；②后4个数只出现1个1，X＝1，记其概率为P(X＝1)＝C××＝；③后4个数出现2个1，X＝2，记其概率为P(X＝2)＝C××＝，④后4个数出现3个1，X＝3，记其概率为P(X＝3)＝C××＝；⑤后4个数都出现1，X＝4，记其概率为P(X＝4)＝＝，故X～B，故A，B正确；∵X～B，∴E(X)＝4×＝，D(X)＝4××＝，故C正确，D错误．故选ABC.
11．(2025·湖南长沙开学考试)某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记事件A表示“某芯片通过智能检测系统筛选”，事件B表示“某芯片经人工抽检后合格”．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布N(5.40，0.052)，现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标ξ位于区间(5.35，5.55)，则下列说法正确的是(若X～N(μ，σ2)，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973)(　　)
A．P(B|A)>P(B)
B．P(A|B)C．P(5.35≤ξ≤5.55)≈0.84
D．当P(m＝45)取得最大值时，M的估计值为53
答案：ACD
解析：对于A，由题意P(B|A)>P(B)，故A正确；对于B，由P(A)P(B|A)>P(A)P(B)，则P(AB)>P(A)P(B)，又P(AB)＋P(A)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(|A)＝P(A)，于是P(AB)>P(B)[P(AB)＋P(A)]，即P(AB)－P(AB)P(B)>P(B)P(A)，因此>，即>，则P(A|B)>P(A|)，故B错误；对于C，P(5.35≤ξ≤5.55)＝P(5.40－0.05≤ξ≤5.40＋3×0.05)＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋3σ)＝≈＝0.84，故C正确；对于D，m～B(M，0.84)，P(m＝45)＝C×0.8445×0.16M－45，因为P(m＝45)最大，所以
解得52≤M≤53，又M∈N*，且M≥45，所以M＝53，所以当P(m＝45)取得最大值时，M的估计值为53，故D正确．故选ACD.
三、填空题
12．(2025·福建龙岩上杭一中月考)中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量ξ～B(n，p)，则当np>5且n(1－p)>5时，ξ可以由服从正态分布的随机变量η近似替代，且ξ的期望与方差分别与η的期望与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为________(精确到0.0001)．
附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.9973.
答案：0.9773
解析：由题意，随机变量ξ～B(n，p)，其中n＝2500，p＝，所以E(ξ)＝np＝2500×＝1250，D(ξ)＝np(1－p)＝2500××＝252，又因为np＝1250>5且n(1－p)>5，由中心极限定理可知η服从正态分布N(1250，252)，P(η<1300)＝P(η≤1250)＋P(1250<η<1300)≈0.5＋＝0.97725≈0.9773.
13．某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个．从袋中随机取出3个球，若恰全为黑球的概率为，则黑球的个数为________．若记取出的3个球中黑球的个数为X，则D(X)＝________．
答案：3　
解析：设袋中黑球有n个，则从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为P＝＝，可得n＝3，X服从超几何分布，由题意可知，取出的3个球中黑球的个数X的可能取值为1，2，3，且P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
故X的分布列为
X 1 2 3
P
则E(X)＝1×＋2×＋3×＝，D(X)＝×＋×＋×＝.
14．已知随机变量X～B(6，0.8)，若P(X＝k)最大，则D(kX＋1)＝________．
答案：24
解析：由题意知，P(X＝k)＝C×0.8k×0.26－k，要使P(X＝k)最大，当k取1，2，3，4，5时，有
解得≤k≤，故k＝5，又P(X＝5)＝C×0.85×0.21＝1.2×0.85，P(X＝0)＝0.26，P(X＝6)＝0.86，则P(X＝0)＜P(X＝5)，P(X＝6)＜P(X＝5)，故P(X＝5)最大，又D(X)＝6×0.8×0.2＝0.96，故D(kX＋1)＝D(5X＋1)＝52D(X)＝24.
四、解答题
15．(2024·黑龙江哈尔滨模拟)某校为了提高教师身心健康，号召教师利用空余时间参加阳光体育活动．现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加．
(1)求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率；
(2)记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望E(X)；
(3)若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的2名教师得分之和为Y，求Y的期望E(Y)．
解：(1)设“有女教师参加活动”为事件A，“恰有一名女教师参加活动”为事件B，
则P(AB)＝＝，
P(A)＝＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
(2)依题意知，X服从超几何分布，且
P(X＝k)＝(k＝0，1，2)，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
(3)设一名女教师参加活动可获得分数为X1，一名男教师参加活动可获得分数为X2，则X1的所有可能取值为3，6，X2的所有可能取值为6，9，
P(X1＝3)＝P(X1＝6)＝，E(X1)＝3×＋6×＝，
P(X2＝6)＝P(X2＝9)＝，E(X2)＝6×＋9×＝，
有X名女教师参加活动，则男教师有2－X名参加活动，Y＝X＋(2－X)＝15－3X，所以E(Y)＝E(15－3X)＝15－3E(X)＝15－3×＝13，
即随机选取的2名教师得分之和的期望为13分．
16．(2025·河北唐山开学考试)某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在[70，80)内的学生获三等奖，得分在[80，90)内的学生获二等奖，得分在[90，100]内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．
若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中σ≈15，μ为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
(1)若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数(结果精确到1)；
(2)若从所有参赛学生中(参赛学生数大于10000)随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.
解：(1)由频率分布直方图知，各小矩形的面积从左到右依次为0.06，0.12，0.18，0.34，0.16，0.08，0.06，
样本平均数的估计值μ＝0.06×35＋0.12×45＋0.18×55＋0.34×65＋0.16×75＋0.08×85＋0.06×95＝64，
则所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布N(64，152)，而μ＋σ＝79，
因此P(X>79)＝P(X>μ＋σ)≈＝0.15865，
所以估计参赛学生中成绩超过79分的学生数为0.15865×10000≈1587.
(2)由(1)知，μ＝64，且P(X>64)＝，
即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该学生竞赛成绩在64分以上的概率为，
因此随机变量ξ服从二项分布ξ～B，ξ的可能取值为0，1，2，3，
则P(ξ＝0)＝C＝，
P(ξ＝1)＝C＝，
P(ξ＝2)＝C＝，
P(ξ＝3)＝C＝，
所以随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
17．甲、乙两选手进行一场体育竞技比赛，采用2n－1(n∈N*)局n胜制(当一选手先赢下n局比赛时，该选手获胜，比赛结束)．已知每局比赛甲获胜的概率为p，乙获胜的概率为1－p.
(1)若n＝2，p＝，比赛结束时的局数为X，求X的分布列与数学期望；
(2)若n＝3比n＝2对甲更有利，求p的取值范围．
解：(1)依题意得，X的所有可能取值为2，3，
则P(X＝2)＝＋＝，
P(X＝3)＝C××＋C××＝，
所以X的分布列为
X 2 3
P
数学期望E(X)＝2×＋3×＝.
(2)解法一：若采用3局2胜制，甲最终获胜的概率为
P1＝p2＋Cp2(1－p)＝p2(3－2p)，
若采用5局3胜制，甲最终获胜的概率为
P2＝p3＋Cp3(1－p)＋Cp3(1－p)2
＝p3(6p2－15p＋10)．
若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，
则P2－P1>0，
即p3(6p2－15p＋10)－p2(3－2p)＝p2(6p3－15p2＋10p－3＋2p)＝3p2(2p3－5p2＋4p－1)＝3p2(p－1)(2p2－3p＋1)＝3p2(p－1)2(2p－1)>0，
解得解法二：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用ξ表示3局比赛中甲获胜的局数，
则ξ～B(3，p)，
甲最终获胜的概率为P1＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝Cp2(1－p)＋Cp3＝p2[C(1－p)＋Cp]＝p2(3－2p)，
采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用η表示5局比赛中甲获胜的局数，
则η～B(5，p)，
甲最终获胜的概率为P2＝P(η＝3)＋P(η＝4)＋P(η＝5)＝Cp3(1－p)2＋Cp4(1－p)＋Cp5＝p3(6p2－15p＋10)．
以下同解法一．
18．(2024·山东日照二模)某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，并统计分析测试成绩以确定员工绩效等级．
(1)已知该公司甲部门有3名负责人，乙部门有4名负责人，该公司从甲、乙两部门中随机选取3名负责人做测试分析，记负责人来自甲部门的人数为X，求X的最有可能的取值；
(2)该公司统计了七个部门测试的平均成绩x(满分100分)与绩效等级优秀率y，如下表所示：
x 32 41 54 68 74 80 92
y 0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94
根据数据绘制散点图，初步判断选用y＝λecx作为回归方程．令z＝ln y，经计算得＝－0.642，≈0.02.
(ⅰ)已知某部门测试的平均成绩为60分，估计其绩效等级优秀率；
(ⅱ)根据统计分析，大致认为各部门测试的平均成绩Y～N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.经计算s≈20，求某个部门绩效等级优秀率不低于0.78的概率．
参考公式与数据：
①ln 0.15≈－1.9，e1.2≈3.32，ln 5.2≈1.66；
②经验回归方程＝x＋中，
＝，
＝－；
③若随机变量Y～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Y≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤Y≤μ＋3σ)≈0.9973.
解：(1)依题意，随机变量X服从超几何分布，且X的可能取值为0，1，2，3，
则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
由此可得P(X＝1)＝最大，即X＝1的可能性最大，故X最有可能的取值为1.
(2)(ⅰ)依题意，y＝λecx两边取对数，得ln y＝cx＋ln λ，
即z＝cx＋ln λ，
其中＝＝63，
由提供的参考数据，可知c＝0.02，又－0.642＝0.02×63＋ln λ，故ln λ≈－1.9，
所以λ≈e－1.9，
由提供的参考数据，可得λ≈0.15，故＝0.15×e0.02x，
当x＝60时，＝0.15×e0.02×60≈0.498，即估计其绩效等级优秀率为0.498.
(ⅱ)由(ⅰ)及提供的参考数据可知，μ≈＝63，σ≈s≈20，
又≥0.78，即0.15×e0.02x≥0.78，
可得0.02x≥ln 5.2，即x≥83.
又μ＋σ＝83，
且P(μ－σ≤Y≤μ＋σ)≈0.6827，
由正态分布的性质，得P(Y≥83)＝[1－P(μ－σ≤Y≤μ＋σ)]≈0.15865，
记“绩效等级优秀率不低于0.78”为事件A，则P(A)＝P(Y≥83)≈0.15865，
所以绩效等级优秀率不低于0.78的概率约为0.15865.
19．(2025·辽宁重点高中模拟)某自然保护区经过几十年的发展，某种濒临灭绝动物数量有大幅度的增加．已知这种动物P拥有两个亚种(分别记为A种和B种)．为了调查该区域中这两个亚种的数目，某动物研究小组计划在该区域中捕捉100个动物P，统计其中A种的数目后，将捕获的动物全部放回，作为一次试验结果．重复进行这个试验共20次，记第i次试验中A种的数目为随机变量Xi(i＝1，2，…，20)．设该区域中A种的数目为M，B种的数目为N(M，N均大于100)，每一次试验均相互独立．
(1)求X1的分布列；
(2)记随机变量＝Xi.已知E(Xi＋Xj)＝E(Xi)＋E(Xj)，D(Xi＋Xj)＝D(Xi)＋D(Xj)，
①证明：E()＝E(X1)，D()＝D(X1)；
②该小组完成所有试验后，得到Xi的实际取值分别为xi(i＝1，2，…，20)．数据xi(i＝1，2，…，20)的平均值＝30，方差s2＝1.采用和s2分别代替E()和D()，给出M，N的估计值．
附：已知随机变量Z服从超几何分布，记为Z～H(P，n，Q)(其中P为总数，Q为某类元素的个数，n为抽取的个数)，则D(Z)＝n×.
解：(1)依题意，Xi(i＝1，2，…，20)均服从完全相同的超几何分布，且M，N均大于100，故P(X1＝k)＝(k∈N，0≤k≤100)．
X1的分布列为
X1 0 1 … 99 100
P …
(2)①证明：Xi(i＝1，2，…，20)均服从完全相同的超几何分布，故E(Xi)＝E(X1)，
E()＝E＝E＝E(Xi)＝×20E(X1)＝E(X1)，
D()＝D＝D＝D(Xi)＝×20D(X1)＝D(X1)，
故E()＝E(X1)，D()＝D(X1)．
②由①可知的均值
E()＝E(X1)＝.
利用公式D(Z)＝n×计算X1的方差，
D(X1)＝，
所以D()＝D(X1)
＝.
依题意，有
解得M＝624，N＝1456.
20．(2025·江苏南通开学考试)已知红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为，红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功的概率分别为，.现红方、蓝方进行模拟对抗训练，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗．经过数轮对抗后，当一方比另一方多击中对方目标两次时，训练结束．假定红方、蓝方互不影响，各轮结果也互不影响．记在1轮对抗中，红方击中蓝方目标为事件A，蓝方击中红方目标为事件B.求：
(1)概率P(A)，P(B)；
(2)经过1轮对抗，红方与蓝方击中对方目标次数之差X的分布列及数学期望；
(3)在4轮对抗后训练结束的条件下，红方比蓝方多击中对方目标两次的概率．
解：(1)P(A)＝×＝，
P(B)＝×＝.
(2)X的可能取值为－1，0，1，
因为P(X＝－1)＝×＝，
P(X＝0)＝×＋×＝，
P(X＝1)＝×＝，
所以X的分布列为
X －1 0 1
P
数学期望E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝.
(3)先考虑4轮对抗后训练结束的概率：
若红方多击中两次，则分为①若蓝方击中0次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为×C××＝；
②若蓝方击中1次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为2×××C××＋××C××＝；
③若蓝方击中2次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为C×××＝，
所以4轮对抗后训练结束且红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为P1＝＋＋＝.
若蓝方多击中两次，则分为①若红方击中0次，则蓝方比红方多击中对方目标两次的概率为×C××＝；
②若红方击中1次，则蓝方比红方多击中对方目标两次的概率为2×××C××＋××C××＝；
③若红方击中2次，则蓝方比红方多击中对方目标两次的概率为C××＝，
所以4轮对抗后训练结束且蓝方比红方多击中对方目标两次的概率为＋＋＝，
所以4轮对抗后训练结束的概率为P＝＋＝，
所以在4轮对抗后训练结束的条件下，红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为＝＝.
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