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第一章 学情评估卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1 在中， ,,,的对边分别为,,。若,,则的值为（ ）
A. 13 B. 17 C. 7 D. 169
2 如图，在中， ，分别以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示。若，，则的值是（ ）
（第2题）
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
3 如果将直角三角形的两直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到原来的（ ）
A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 以上都不对
4 直角三角形的两条直角边的长分别为6，8，则其斜边上的高为（ ）
A. 6 B. 8 C. 12 D.
5 满足下列条件时，不是直角三角形的为（ ）
A. ，， B.
C. D.
6 如图，这是一块铁皮，测得，，，，，则铁皮的面积为（ ）
（第6题）
A. 24 B. 36 C. 48 D. 12
7 如图，某时刻海上点处有一客轮，测得灯塔位于的北偏东 方向上，且相距40海里。客轮以60海里/时的速度沿北偏西 方向航行0.5小时到达处，那么，相距（ ）
（第7题）
A. 40海里 B. 30海里 C. 50海里 D. 60海里
8 “赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的。以直角三角形的斜边长为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次活动中，数学小组制作了一幅“赵爽弦图”，如图，其中 ，，，则阴影部分的面积是（ ）
（第8题）
A. B. C. D.
9 如图，圆柱的底面直径为,高，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点的最短路程为（ ）
（第9题）
A. 10 B. 12 C. 20 D. 14
10 如图，正方形的边长为4，点在边上，且，为对角线上一动点，连接,,则周长的最小值为（ ）
（第10题）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
二、填空题（每题3分，共24分）
11 写出一组勾股数：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。
12 若等腰三角形中两个腰的长为，底边长为，则底边上的高为_ _ _ _ _ _ _ _ 。
13 已知，，是的三边长，且满足关系式，则的形状为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。
14 [［2025淮安月考］]如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯的长至少为米。
（第14题）
15 [［2025成都期末］] 如图，一天傍晚，小方去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面的高度为分米，小狗的高分米，小狗与小方的手的水平距离分米（绳子一直是直的），则牵狗绳分米。
（第15题）
16 对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线,交于点。若,，则。
（第16题）
17 如图，在长方形中，，，点为上一点，将沿折叠，点恰好落在线段上的点处，则的长为_ _ _ _ 。
（第17题）
18 “勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名。假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为_ _ 。
（第18题）
三、解答题（共66分）
19 （9分）在中，,,的对边分别为,,， 。
（1） 若,，求的值；
（2） 若,，求的值；
（3） 若,，求,的值。
20 （9分）如图所示，在每个小正方形的边长均为1的网格中，是格点图形（各顶点都在小正方形的顶点上），求中边上的高。
21 [［2025西安模拟］]（10分） 如图，在中，，，。
（1） 判断的形状，并说明理由；
（2） 若点为线段上一点，连接，且，求的面积。
22 （12分）定义：如图，点,把线段分割成,,,若以,,为边的三角形是一个直角三角形，则称点,是线段的勾股分割点。
（1） 已知点,把线段分割成,,,若,,,则点,是线段的勾股分割点吗？请说明理由。
（2） 已知点,是线段的勾股分割点，且为直角边，若,,求的长。
23 （12分）如图，一工厂位于点，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因从工厂到取水点的路受阻，为了取水更方便，工厂新建一个取水点（点，，在一条直线上），并新修一条路，测得，，。
（1） 是不是从工厂到河边最近的一条路（即 与 是否互相垂直）？请说明理由。
（2） 求的长。
24 [［2025重庆期末］]（14分） 古代护城河上有座吊桥，图①是它的结构原理图，图②是它的示意图。把桥面看成是均匀杆，可以绕转轴点在竖直平面内转动，在点正上方固定一个定滑轮，绳子通过定滑轮与杆的另一端相连，且。人站在点处，拉绳子的手的位置与地面的距离为（绳子一直是直的）。
（1） 若，，求从定滑轮到点的绳长；
（2） 若的长为，比长，求桥面的宽。
第一章 学情评估卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1 在中， ,,,的对边分别为,,。若,,则的值为（ ）
A. 13 B. 17 C. 7 D. 169
【答案】B
2 如图，在中， ，分别以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示。若，，则的值是（ ）
（第2题）
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
【答案】B
3 如果将直角三角形的两直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到原来的（ ）
A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 以上都不对
【答案】A
4 直角三角形的两条直角边的长分别为6，8，则其斜边上的高为（ ）
A. 6 B. 8 C. 12 D.
【答案】D
5 满足下列条件时，不是直角三角形的为（ ）
A. ，， B.
C. D.
【答案】B
6 如图，这是一块铁皮，测得，，，，，则铁皮的面积为（ ）
（第6题）
A. 24 B. 36 C. 48 D. 12
【答案】A
7 如图，某时刻海上点处有一客轮，测得灯塔位于的北偏东 方向上，且相距40海里。客轮以60海里/时的速度沿北偏西 方向航行0.5小时到达处，那么，相距（ ）
（第7题）
A. 40海里 B. 30海里 C. 50海里 D. 60海里
【答案】C
8 “赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的。以直角三角形的斜边长为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次活动中，数学小组制作了一幅“赵爽弦图”，如图，其中 ，，，则阴影部分的面积是（ ）
（第8题）
A. B. C. D.
【答案】C
9 如图，圆柱的底面直径为,高，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点的最短路程为（ ）
（第9题）
A. 10 B. 12 C. 20 D. 14
【答案】A
10 如图，正方形的边长为4，点在边上，且，为对角线上一动点，连接,,则周长的最小值为（ ）
（第10题）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】点拨：如图,连接交于点，因为四边形是正方形，所以点与点关于对称，所以。易知此时的周长最小，最小值为，因为,所以,根据勾股定理易知,所以周长的最小值为。
二、填空题（每题3分，共24分）
11 写出一组勾股数：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。
【答案】3,4,5（答案不唯一）
12 若等腰三角形中两个腰的长为，底边长为，则底边上的高为_ _ _ _ _ _ _ _ 。
【答案】
13 已知，，是的三边长，且满足关系式，则的形状为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。
【答案】等腰直角三角形
14 [［2025淮安月考］]如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯的长至少为米。
（第14题）
【答案】17
15 [［2025成都期末］] 如图，一天傍晚，小方去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面的高度为分米，小狗的高分米，小狗与小方的手的水平距离分米（绳子一直是直的），则牵狗绳分米。
（第15题）
【答案】26
16 对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线,交于点。若,，则。
（第16题）
【答案】17
17 如图，在长方形中，，，点为上一点，将沿折叠，点恰好落在线段上的点处，则的长为_ _ _ _ 。
（第17题）
【答案】4
18 “勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名。假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为_ _ 。
（第18题）
【答案】127
三、解答题（共66分）
19 （9分）在中，,,的对边分别为,,， 。
（1） 若,，求的值；
（2） 若,，求的值；
（3） 若,，求,的值。
【答案】（1） 解：因为 ，所以,所以。
（2） 因为 ，所以,所以。
（3） 因为 ，，
所以，
因为，所以，。
20 （9分）如图所示，在每个小正方形的边长均为1的网格中，是格点图形（各顶点都在小正方形的顶点上），求中边上的高。
解：设边上的高为，
因为,所以，
所以，
解得，即边上的高是。
21 [［2025西安模拟］]（10分） 如图，在中，，，。
（1） 判断的形状，并说明理由；
（2） 若点为线段上一点，连接，且，求的面积。
【答案】
（1） 解：是直角三角形，理由如下：
因为，，，，所以，
所以是直角三角形。
（2） 因为，，，，所以设，则，，
由（1）知，是直角三角形，且 ，
所以，即，解得，所以，
所以。
22 （12分）定义：如图，点,把线段分割成,,,若以,,为边的三角形是一个直角三角形，则称点,是线段的勾股分割点。
（1） 已知点,把线段分割成,,,若,,,则点,是线段的勾股分割点吗？请说明理由。
（2） 已知点,是线段的勾股分割点，且为直角边，若,,求的长。
【答案】
（1） 解：是。理由如下：因为,,所以。
所以以，，为边的三角形是一个直角三角形。
故点，是线段的勾股分割点。
（2） 设,则，
①当为最长线段时，,
即,解得；
②当为最长线段时，,即,解得。综上所述，的长为或。
23 （12分）如图，一工厂位于点，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因从工厂到取水点的路受阻，为了取水更方便，工厂新建一个取水点（点，，在一条直线上），并新修一条路，测得，，。
（1） 是不是从工厂到河边最近的一条路（即 与 是否互相垂直）？请说明理由。
（2） 求的长。
【答案】
（1） 解：是从工厂到河边最近的一条路。
理由如下：在中，
因为，，
所以，
所以是直角三角形，且 ，所以与互相垂直，即是从工厂到河边最近的一条路。
（2） 设，
则。
因为 ,所以 。
在中，，，
由勾股定理得，
所以，解得。所以的长为。
24 [［2025重庆期末］]（14分） 古代护城河上有座吊桥，图①是它的结构原理图，图②是它的示意图。把桥面看成是均匀杆，可以绕转轴点在竖直平面内转动，在点正上方固定一个定滑轮，绳子通过定滑轮与杆的另一端相连，且。人站在点处，拉绳子的手的位置与地面的距离为（绳子一直是直的）。
（1） 若，，求从定滑轮到点的绳长；
（2） 若的长为，比长，求桥面的宽。
【答案】
（1） 解：过点作于点，则易得四边形是长方形，
所以，，
因为，，
所以，，所以，
在中，，
所以易得，所以从定滑轮到点的绳长为。
（2） 由题意得，
设，则，
因为，所以，
在中，，
所以，解得，
所以，
所以。
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