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沪科版数学八年级下册第19章四边形章节综合测试卷（一）
一、选择题（每题4分，共40分）
1．（浙江省杭州市萧山区文渊实验初级中学2024--2025学年3月份八年级月考数学试卷）在四边形中，与互补，，则的度数（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·来宾期中）如图，机器人从点出发朝正东方向走了，到达点，记为第1次行走；接着，在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达，记为第2次行走；再在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达点，记为第3次行走，……，以此类推，该机器人从出发到第一次回到出发点时所走过的路程为（　　）．
A． B． C． D．
3．（2025八下·萧山期中）如图，在 ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H是对角线BD上的两点，且.对于结论：①；②；③四边形EGFH是平行四边形；④.正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
4．（2024八下·科尔沁左翼中旗期中）下列命题是假命题的是（　　）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
5．（2024八下·渌口月考）正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，点O是正六边形的中心，则的长为（　　）
A．12 B． C． D．
6．（湖南省长沙市望城区长郡双语白石湖实验中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是边的中点，那么添加下列条件一定能判定四边形是正方形的是（　　）
A．且 B．且和互相平分
C．且 D．且
7．（2025八下·白云期中）小雅同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作：第一步，如图1将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平；第二步，如图2，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点，则到的距离为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·永定期中）已知四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，连接AC、BD，E是AC的中点．若AC=10，BD=8，则△BDE的面积是（　　）
A．40 B．48 C．24 D．12
9．（2025八下·安徽期末）如图，在正方形中，G为对角线上一点，连接、，E是边上一点，连接交的延长线上于点F，且满足．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2024八下·龙岗期末）用个如图的全等纸片拼接出如图的正六边形，则图2中的度数是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共25分）
11．（2025八下·成都月考）一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则个多边形的边数是　 　．
12．（2025八下·诸暨期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝4，BD＝6，分别连接AD，BE，点M，N分别是AD，BE的中点，连接MN，则线段MN的长为 　 　．
13．（2024八下·坪山期末）如图所示的地面由正六边形和四边形两种地砖镶嵌而成，则的度数为　 　．
14．（2025八下·宁波期中）如图，在等腰△ABC中，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点达到终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒.过点作于点，若平面内存在一点，使得以、、、为顶点的四边形为菱形，则的值为　 　.
15．（2025八下·惠州期中）如图，在矩形中，，的平分线交于点，，垂足为，连结并延长交于点，连结交于点下列结论：①②③是的中点④；其中正确的是　 　．
三、作图题（共8分）
16．（2025九下·深圳模拟）如图（a），在中，．
（1）【实践与操作】在图（a）的基础上，请利用尺规，用2种方法作四边形ABDC是菱形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）【推理与计算】在（1）的条件下，若，求菱形ABDC的面积．
四、解答题（共5题，共52分）
17．（2025八下·安徽期末）【观察思考】如图，一组正多边形，观察每个正多边形中α的变化情况．
【规律发现】
（1）将表格补充完整．
正多边形的边数n 3 4 5 6
α的度数 ________
（2）观察上面表格中α的变化规律，角α与边数n的关系为________．
【规律应用】
（3）根据规律，当时，求该正多边形的内角和．
18．（2024八下·长垣期中）已知点E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，，且．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，请直接写出的长．
19．（2025八下·萧山期中）如图，在中，于点E，于点F，连结AF，CE.
（1）证明：四边形AECF是平行四边形；
（2）若，，，求BD的长.
20．（2025八下·珠海期中）已知，如图，为坐标原点，在四边形中，，，，，点是的中点，动点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒．
（1）填空：______；______（用含的式子表示）；
（2）当运动______秒，四边形是平行四边形；
（3）在直线上是否存在一点，使得以、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在线段上有一点，且，四边形的最小周长是______．
21．（2025八下·永定期中）综合与探究：
在矩形中，，，点E，F分别在边，上，将沿直线折叠，点C的对应点为点G．
（1）如图1，当点F与点B重合，点G落在上时，求的长；
（2）如图2，当点E是的中点，且时，连接，求的长；
（3）如图3，当，点G恰好落在上时，延长交于点H，直接写出的长．
五、综合题（共2题，共25分）
22．（2025八下·越城期中）类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
（1）如图1，四边形的顶点、、在网格格点上，请你在的网格中分别画出个不同形状的等邻边四边形要求顶点在网格格点上．
（2）如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是“等邻边四边形”；
（3）如图3，在平行四边形中，，平分，交于点，，，是线段上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请直接写出的长度.
23．（2025八下·广安期中）如图1，已知矩形ABCD，点是CD上一点，点是CB延长线上一点，且．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）如图2，若点是BC上一点，且，求BP的长；
（3）如图3，若点是AD的中点，连结CG交AE于点，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
2．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵G，H是BD上两动点，只需满足BG=DH
∴GF与BD不一定垂直故①不符合题意；
在中，有AD=BC，ADBC
∴∠ADB=∠CBD
∵ E，F分别是AD，BC的中点∴ED=AD，FB=BC
∴ED=FB
又∵BG=DH
∴△EDH≌△FBG（SAS）
∴故②符合题意；
∵△EDH≌△FBG
∴EH=GF，∠DHE=∠BGF
∵∠DHE+∠EHG=180°，∠BGF+∠FGH=180°
∴∠EHG=∠FGH
∴EH∥GF又
∵EH=GF
∴ 四边形EGFH是平行四边形故③符合题意；
∵G是BD上的动点
∴EG的长度在变化
∴EG不一定等于BD故④不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 由F是BC的中点，G是BD上的动点，可知GF与BD不一定垂直，可判断①错误；由平行四边形的性质及E，F分别是AD，BC的中点，推导出∠EDH=∠FBG，DE=BF，而DH=BG，即可根据“SAS”证明△DEH≌△BFG，得∠DEH=∠BFG，可判断②正确；由等角的补角相等推导出∠EHG=∠FGH，则EH∥FG，因为EH=FG，所以四边形EGFH是平行四边形，可判断③正确；由EG是变量，而BD的值不变，可知EG与BD不一定相等，可判断④错误.
4．【答案】B
【知识点】矩形的判定；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；真命题与假命题
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题知，，
，
，
作于点，
，，
，
，
，
故答案为：C
【分析】根据正多边形性质得到，，利用等腰三角形性质和三角形内角和求得，作于点，利用等腰三角形性质得到，根据30度所对直角边等于斜边一半求得，再利用勾股定理求得，即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】正方形的判定；三角形的中位线定理
7．【答案】C
【知识点】点到直线的距离；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：四边形是矩形，，，
，
由折叠可得：，，，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
设 ，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
则，
则点到的距离为：，
则点到的距离为：．
故答案为：C．
【分析】先利用折叠的性质及平行线的性质和等量代换可得EA=EN，设 ，则，利用勾股定理可得，即，求出x的值，再求出，再求出点到的距离为：，最后利用线段的和差求出点到的距离为：即可．
8．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：过E作EF⊥BD于F．
∵AB⊥BC，AD⊥CD，∴△ADC和△ABC是直角三角形．
∵E是AC的中点，∴DE=AC=5，BE=AC=5，∴DE=BE．
∵EF⊥BD，∴BF=DF=BD=4，∴EF=，∴△BDE的面积=BD EF=×8×3=12．
故答案为：D．
【分析】过E作EF⊥BD于F．由直角三角形斜边上的中线的性质得出BE、DE的长，再由等腰三角形的性质“三线合一”得到BF的长，由勾股定理得出EF的长，从而根据三角形的面积公式计算即可得出结论．
9．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
10．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：正六边形的一个内角为：，
，且正六边形是由个全等纸片拼接得到的，
，
故答案为：C．
【分析】先计算出正六边形一个内角为，再根据全等三角形的性质即可求解．
11．【答案】10
【知识点】多边形内角与外角
12．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取 AB的中点F，连接 NF、ME，
∵∠ACB=90°
∴∠CAB+∠CBA=90°
∵AM=MD，AF=FB，
∴MF是△ABD的中位线，
∴，MF//BC，
∴∠AFM=∠CBA，
同理，，NF//AC
∴∠BFN=∠CAB，
∴∠AFM∠BEN=∠CAB+∠CBA=90°
∴∠MFN=90°，
∴，
故答案为：.
【分析】取AB的中点F，连接 NF、MF，根据直角三角形的性质得到∠CAB+∠CBA=90°，根据三角形中位线定理分别求出ME、NF，以及∠MEN=90°，根据勾股定理计算，得到答案.
13．【答案】
【知识点】平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质
【解析】【解答】解：正六边形内角和，
所以每个内角度数，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，先根据正六边形内角和定理，求出每个内角度数为120°，然后根据周角求出答案．
14．【答案】或或5
【知识点】勾股定理；菱形的性质；等腰直角三角形；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：过点E作AB的垂线，垂足为M，如图所示，
是等腰直角三角形， 且
∵点E的运动速度为 点D的速度为
是等腰直角三角形，
在 中，
，
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
∵以H、E、F、D为顶点的四边形为菱形，
∴当 为等腰三角形时满足要求.
当 时， 即.
解得
又
当 时， 即
解得
当 时，点E，F与点C重合，故此情况不存在，
当 时， 即
解得
当 时，点D，F与点B重合，故此情况不存在，
综上所述，t的值为 或 或5.
故答案为： 或 或5.
【分析】用含t的代数式分别表示出. 及 再由 是等腰三角形时，平面内存在一点H，可使得以H、E、F、D为顶点的四边形为菱形，最后利用分类讨论的数学思想即可解决问题.
15．【答案】①②③④
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
16．【答案】（1）解：如图所示，四边形ABDC即为所要作的菱形
（2）解：如图，连接AD交BC于点，
四边形ABDC是菱形，
，
，
，
.
【知识点】勾股定理；菱形的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质作图即可求出答案.
（2）连接AD交BC于点，根据菱形的性质可得，再根据勾股定理可得AE，可求出AD，再根据菱形性质即可求出答案.
17．【答案】（1）；（2）；（3）
【知识点】多边形内角与外角
18．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，
∴，
∵为的中点，
∴，
在和中，
，
，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
（2）解：由题意可知，，∵四边形是矩形，
∴，
．
答：
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】
（1）先根据平行四边形的对边平行结合并结合线段中点的概念可利用“”证明，再根据全等三角形的性质可得，从而利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，再根据对角线相等即可判定这个平行四边形是矩形；
（2）由平行四边形的对边相等可知AB等于CD等于3，由中点的概念可得AD等于ED的2倍等于6，又因为矩形的每一个内角都是直角，可在Rt中应用勾股定理即可．
19．【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
于点E，于点F，
，
，
在和中，
，
，
四边形AECF是平行四边形
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴BD的长为13
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】 （1）由平行四边形的性质得AD∥CB，AD=CB，则∠ADE=∠CBF，由AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，得AE∥CF，∠AED=∠CFB=90°，即可根据“AAS”证明△ADE≌△CBF，得AE=CF，即可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AECF是平行四边形；
（2）由AF=DF，，得EF=AF=DF，利用比例关系和勾股定理，可以求得ED=8，而BF=ED，故BE=FD，从而求得BD=ED+BE.
20．【答案】（1），
（2）
（3）时，；时，；时，
（4）
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的性质；轴对称的性质
21．【答案】（1）解：∵四边形是矩形，
，，
由折叠的性质，得，
在中，由勾股定理，得．
（2）解：四边形是矩形，，，，
点是的中点，
，
由折叠的性质，得，．
，
，
四边形是矩形．
又∵，
四边形是正方形．
，
，
在中，由勾股定理，得．
（3）解：如图，连接，，
四边形是矩形，
，，．
，
在中，由勾股定理，得，
由折叠的性质，得，，
，，
．
在和中，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
，解得：，
的长为．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【改正】【分析】
（1）由矩形的性质及折叠的性质，得，在中，运用勾股定理求解即可；
（2）由矩形的性质可得、，，由点是的中点可得，结合折叠的性质可推出是正方形，得到，推出，然后根据勾股定理求解即可；
（3）如图，连接，，根据题意可求出，在中，由勾股定理得到，由折叠的性质得、，推出、，进而得到，可证明，由全等三角形的性质得到，设，则，然后在在和中，分别利用勾股定理表示，列出方程求解即可．
（1）解：∵四边形是矩形，
，，
由折叠的性质，得，
在中，由勾股定理，得．
（2）解：四边形是矩形，
，，，
点是的中点，
，
由折叠的性质，得，．
，
，
四边形是矩形．
又∵，
四边形是正方形．
，
，
在中，由勾股定理，得．
（3）解：如图，连接，，
四边形是矩形，
，，．
，
在中，由勾股定理，得，
由折叠的性质，得，，
，，
．
在和中，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
，解得：，
的长为．
22．【答案】（1）解：如图，四边形即为所求；（答案不唯一）
（2）连接，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，，
)，
，
四边形是“等邻边四边形”；
（3）作于，
四边形平行四边形，
，，，
平分，
，
，
，
四边形是“等邻边四边形”，
当时，；
当时，作于，
，
在中，由勾股定理得，，
；
当时，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上：或或．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)利用格点，画出邻边相等的四边形；
(2)根据题意证△ABE≌△AFE得BE=EF，即得ABEF为等邻边四边形；
(3)分别讨论EB=EF，AF=AB和AF=EF进行讨论，求出DF的长.
23．【答案】（1）证明：∵ABCD是矩形，
∴∠ABF=∠D=∠BAD=90°，
又∵∠FAE=90°，
∴∠BAF=∠DAE，
又∵BF=DE，
∴△ABF≌△ADE，
∴AB=AD，
∴矩形ABCD是正方形；
（2）解：连接EP，设BP=x，
∵DC=3DE=6，
∴DE=BF=2，CE=CD-DE=6-2=4，PC=6-x，
∵△ABF≌△ADE，
∴AF=AE，
又∵∠EAP=45°，
∴∠PAF=∠PAE=45°，
又∵AP=AP，
∴△PAF≌△PAE，
∴PF=PE=2+x，
在Rt△CPE中，，即，
解得x=3，
∴BP=2；
（3）解：如图，取BC的中点P，连接AP，连接EP，
∵G是AD的中点，
∴AG=CP=BP=3，
∴PF=5，
又∵ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴APCG是平行四边形，
∴AP∥CG，
∴∠PAE=∠AHG，
∵CE=4，
∴，
又∵AF=AE，AP=AP，
∴△APF≌△APE，
∴∠PAE=∠PAF=45°，
∴∠AHG=∠PAE=45°.
【知识点】勾股定理；正方形的判定；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，根据AAS证明△ABF≌△ADE，可以得到AB=AD，即可得到ABCD是正方形；
（2）连接EP，设BP=x，根据全等得到AF=AE，然后根据SAS证明△PAF≌△PAE，然后在Rt△CPE中，利用勾股定理求出BP长即可；
（3）取BC的中点P，连接AP，连接EP，即可得到APCG是平行四边形，进而得到AP∥CG，然后得到∠PAE=∠AHG，再根据勾股定理求出EP=5=FP，利用SSS证明△APF≌△APE，得到∠PAE=∠PAF=45°，解题即可.
1 / 1沪科版数学八年级下册第19章四边形章节综合测试卷（一）
一、选择题（每题4分，共40分）
1．（浙江省杭州市萧山区文渊实验初级中学2024--2025学年3月份八年级月考数学试卷）在四边形中，与互补，，则的度数（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
2．（2025八下·来宾期中）如图，机器人从点出发朝正东方向走了，到达点，记为第1次行走；接着，在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达，记为第2次行走；再在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达点，记为第3次行走，……，以此类推，该机器人从出发到第一次回到出发点时所走过的路程为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
3．（2025八下·萧山期中）如图，在 ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H是对角线BD上的两点，且.对于结论：①；②；③四边形EGFH是平行四边形；④.正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵G，H是BD上两动点，只需满足BG=DH
∴GF与BD不一定垂直故①不符合题意；
在中，有AD=BC，ADBC
∴∠ADB=∠CBD
∵ E，F分别是AD，BC的中点∴ED=AD，FB=BC
∴ED=FB
又∵BG=DH
∴△EDH≌△FBG（SAS）
∴故②符合题意；
∵△EDH≌△FBG
∴EH=GF，∠DHE=∠BGF
∵∠DHE+∠EHG=180°，∠BGF+∠FGH=180°
∴∠EHG=∠FGH
∴EH∥GF又
∵EH=GF
∴ 四边形EGFH是平行四边形故③符合题意；
∵G是BD上的动点
∴EG的长度在变化
∴EG不一定等于BD故④不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 由F是BC的中点，G是BD上的动点，可知GF与BD不一定垂直，可判断①错误；由平行四边形的性质及E，F分别是AD，BC的中点，推导出∠EDH=∠FBG，DE=BF，而DH=BG，即可根据“SAS”证明△DEH≌△BFG，得∠DEH=∠BFG，可判断②正确；由等角的补角相等推导出∠EHG=∠FGH，则EH∥FG，因为EH=FG，所以四边形EGFH是平行四边形，可判断③正确；由EG是变量，而BD的值不变，可知EG与BD不一定相等，可判断④错误.
4．（2024八下·科尔沁左翼中旗期中）下列命题是假命题的是（　　）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
【答案】B
【知识点】矩形的判定；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；真命题与假命题
5．（2024八下·渌口月考）正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，点O是正六边形的中心，则的长为（　　）
A．12 B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题知，，
，
，
作于点，
，，
，
，
，
故答案为：C
【分析】根据正多边形性质得到，，利用等腰三角形性质和三角形内角和求得，作于点，利用等腰三角形性质得到，根据30度所对直角边等于斜边一半求得，再利用勾股定理求得，即可求出答案.
6．（湖南省长沙市望城区长郡双语白石湖实验中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是边的中点，那么添加下列条件一定能判定四边形是正方形的是（　　）
A．且 B．且和互相平分
C．且 D．且
【答案】D
【知识点】正方形的判定；三角形的中位线定理
7．（2025八下·白云期中）小雅同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作：第一步，如图1将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平；第二步，如图2，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点，则到的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点到直线的距离；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：四边形是矩形，，，
，
由折叠可得：，，，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
设 ，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
则，
则点到的距离为：，
则点到的距离为：．
故答案为：C．
【分析】先利用折叠的性质及平行线的性质和等量代换可得EA=EN，设 ，则，利用勾股定理可得，即，求出x的值，再求出，再求出点到的距离为：，最后利用线段的和差求出点到的距离为：即可．
8．（2025八下·永定期中）已知四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，连接AC、BD，E是AC的中点．若AC=10，BD=8，则△BDE的面积是（　　）
A．40 B．48 C．24 D．12
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：过E作EF⊥BD于F．
∵AB⊥BC，AD⊥CD，∴△ADC和△ABC是直角三角形．
∵E是AC的中点，∴DE=AC=5，BE=AC=5，∴DE=BE．
∵EF⊥BD，∴BF=DF=BD=4，∴EF=，∴△BDE的面积=BD EF=×8×3=12．
故答案为：D．
【分析】过E作EF⊥BD于F．由直角三角形斜边上的中线的性质得出BE、DE的长，再由等腰三角形的性质“三线合一”得到BF的长，由勾股定理得出EF的长，从而根据三角形的面积公式计算即可得出结论．
9．（2025八下·安徽期末）如图，在正方形中，G为对角线上一点，连接、，E是边上一点，连接交的延长线上于点F，且满足．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
10．（2024八下·龙岗期末）用个如图的全等纸片拼接出如图的正六边形，则图2中的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：正六边形的一个内角为：，
，且正六边形是由个全等纸片拼接得到的，
，
故答案为：C．
【分析】先计算出正六边形一个内角为，再根据全等三角形的性质即可求解．
二、填空题（每题5分，共25分）
11．（2025八下·成都月考）一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则个多边形的边数是　 　．
【答案】10
【知识点】多边形内角与外角
12．（2025八下·诸暨期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝4，BD＝6，分别连接AD，BE，点M，N分别是AD，BE的中点，连接MN，则线段MN的长为 　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取 AB的中点F，连接 NF、ME，
∵∠ACB=90°
∴∠CAB+∠CBA=90°
∵AM=MD，AF=FB，
∴MF是△ABD的中位线，
∴，MF//BC，
∴∠AFM=∠CBA，
同理，，NF//AC
∴∠BFN=∠CAB，
∴∠AFM∠BEN=∠CAB+∠CBA=90°
∴∠MFN=90°，
∴，
故答案为：.
【分析】取AB的中点F，连接 NF、MF，根据直角三角形的性质得到∠CAB+∠CBA=90°，根据三角形中位线定理分别求出ME、NF，以及∠MEN=90°，根据勾股定理计算，得到答案.
13．（2024八下·坪山期末）如图所示的地面由正六边形和四边形两种地砖镶嵌而成，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质
【解析】【解答】解：正六边形内角和，
所以每个内角度数，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，先根据正六边形内角和定理，求出每个内角度数为120°，然后根据周角求出答案．
14．（2025八下·宁波期中）如图，在等腰△ABC中，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点达到终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒.过点作于点，若平面内存在一点，使得以、、、为顶点的四边形为菱形，则的值为　 　.
【答案】或或5
【知识点】勾股定理；菱形的性质；等腰直角三角形；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：过点E作AB的垂线，垂足为M，如图所示，
是等腰直角三角形， 且
∵点E的运动速度为 点D的速度为
是等腰直角三角形，
在 中，
，
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
∵以H、E、F、D为顶点的四边形为菱形，
∴当 为等腰三角形时满足要求.
当 时， 即.
解得
又
当 时， 即
解得
当 时，点E，F与点C重合，故此情况不存在，
当 时， 即
解得
当 时，点D，F与点B重合，故此情况不存在，
综上所述，t的值为 或 或5.
故答案为： 或 或5.
【分析】用含t的代数式分别表示出. 及 再由 是等腰三角形时，平面内存在一点H，可使得以H、E、F、D为顶点的四边形为菱形，最后利用分类讨论的数学思想即可解决问题.
15．（2025八下·惠州期中）如图，在矩形中，，的平分线交于点，，垂足为，连结并延长交于点，连结交于点下列结论：①②③是的中点④；其中正确的是　 　．
【答案】①②③④
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
三、作图题（共8分）
16．（2025九下·深圳模拟）如图（a），在中，．
（1）【实践与操作】在图（a）的基础上，请利用尺规，用2种方法作四边形ABDC是菱形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）【推理与计算】在（1）的条件下，若，求菱形ABDC的面积．
【答案】（1）解：如图所示，四边形ABDC即为所要作的菱形
（2）解：如图，连接AD交BC于点，
四边形ABDC是菱形，
，
，
，
.
【知识点】勾股定理；菱形的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质作图即可求出答案.
（2）连接AD交BC于点，根据菱形的性质可得，再根据勾股定理可得AE，可求出AD，再根据菱形性质即可求出答案.
四、解答题（共5题，共52分）
17．（2025八下·安徽期末）【观察思考】如图，一组正多边形，观察每个正多边形中α的变化情况．
【规律发现】
（1）将表格补充完整．
正多边形的边数n 3 4 5 6
α的度数 ________
（2）观察上面表格中α的变化规律，角α与边数n的关系为________．
【规律应用】
（3）根据规律，当时，求该正多边形的内角和．
【答案】（1）；（2）；（3）
【知识点】多边形内角与外角
18．（2024八下·长垣期中）已知点E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，，且．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，请直接写出的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，
∴，
∵为的中点，
∴，
在和中，
，
，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
（2）解：由题意可知，，∵四边形是矩形，
∴，
．
答：
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】
（1）先根据平行四边形的对边平行结合并结合线段中点的概念可利用“”证明，再根据全等三角形的性质可得，从而利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，再根据对角线相等即可判定这个平行四边形是矩形；
（2）由平行四边形的对边相等可知AB等于CD等于3，由中点的概念可得AD等于ED的2倍等于6，又因为矩形的每一个内角都是直角，可在Rt中应用勾股定理即可．
19．（2025八下·萧山期中）如图，在中，于点E，于点F，连结AF，CE.
（1）证明：四边形AECF是平行四边形；
（2）若，，，求BD的长.
【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
于点E，于点F，
，
，
在和中，
，
，
四边形AECF是平行四边形
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴BD的长为13
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】 （1）由平行四边形的性质得AD∥CB，AD=CB，则∠ADE=∠CBF，由AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，得AE∥CF，∠AED=∠CFB=90°，即可根据“AAS”证明△ADE≌△CBF，得AE=CF，即可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AECF是平行四边形；
（2）由AF=DF，，得EF=AF=DF，利用比例关系和勾股定理，可以求得ED=8，而BF=ED，故BE=FD，从而求得BD=ED+BE.
20．（2025八下·珠海期中）已知，如图，为坐标原点，在四边形中，，，，，点是的中点，动点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒．
（1）填空：______；______（用含的式子表示）；
（2）当运动______秒，四边形是平行四边形；
（3）在直线上是否存在一点，使得以、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在线段上有一点，且，四边形的最小周长是______．
【答案】（1），
（2）
（3）时，；时，；时，
（4）
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的性质；轴对称的性质
21．（2025八下·永定期中）综合与探究：
在矩形中，，，点E，F分别在边，上，将沿直线折叠，点C的对应点为点G．
（1）如图1，当点F与点B重合，点G落在上时，求的长；
（2）如图2，当点E是的中点，且时，连接，求的长；
（3）如图3，当，点G恰好落在上时，延长交于点H，直接写出的长．
【答案】（1）解：∵四边形是矩形，
，，
由折叠的性质，得，
在中，由勾股定理，得．
（2）解：四边形是矩形，，，，
点是的中点，
，
由折叠的性质，得，．
，
，
四边形是矩形．
又∵，
四边形是正方形．
，
，
在中，由勾股定理，得．
（3）解：如图，连接，，
四边形是矩形，
，，．
，
在中，由勾股定理，得，
由折叠的性质，得，，
，，
．
在和中，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
，解得：，
的长为．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【改正】【分析】
（1）由矩形的性质及折叠的性质，得，在中，运用勾股定理求解即可；
（2）由矩形的性质可得、，，由点是的中点可得，结合折叠的性质可推出是正方形，得到，推出，然后根据勾股定理求解即可；
（3）如图，连接，，根据题意可求出，在中，由勾股定理得到，由折叠的性质得、，推出、，进而得到，可证明，由全等三角形的性质得到，设，则，然后在在和中，分别利用勾股定理表示，列出方程求解即可．
（1）解：∵四边形是矩形，
，，
由折叠的性质，得，
在中，由勾股定理，得．
（2）解：四边形是矩形，
，，，
点是的中点，
，
由折叠的性质，得，．
，
，
四边形是矩形．
又∵，
四边形是正方形．
，
，
在中，由勾股定理，得．
（3）解：如图，连接，，
四边形是矩形，
，，．
，
在中，由勾股定理，得，
由折叠的性质，得，，
，，
．
在和中，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
，解得：，
的长为．
五、综合题（共2题，共25分）
22．（2025八下·越城期中）类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
（1）如图1，四边形的顶点、、在网格格点上，请你在的网格中分别画出个不同形状的等邻边四边形要求顶点在网格格点上．
（2）如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是“等邻边四边形”；
（3）如图3，在平行四边形中，，平分，交于点，，，是线段上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请直接写出的长度.
【答案】（1）解：如图，四边形即为所求；（答案不唯一）
（2）连接，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，，
)，
，
四边形是“等邻边四边形”；
（3）作于，
四边形平行四边形，
，，，
平分，
，
，
，
四边形是“等邻边四边形”，
当时，；
当时，作于，
，
在中，由勾股定理得，，
；
当时，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上：或或．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)利用格点，画出邻边相等的四边形；
(2)根据题意证△ABE≌△AFE得BE=EF，即得ABEF为等邻边四边形；
(3)分别讨论EB=EF，AF=AB和AF=EF进行讨论，求出DF的长.
23．（2025八下·广安期中）如图1，已知矩形ABCD，点是CD上一点，点是CB延长线上一点，且．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）如图2，若点是BC上一点，且，求BP的长；
（3）如图3，若点是AD的中点，连结CG交AE于点，求的度数．
【答案】（1）证明：∵ABCD是矩形，
∴∠ABF=∠D=∠BAD=90°，
又∵∠FAE=90°，
∴∠BAF=∠DAE，
又∵BF=DE，
∴△ABF≌△ADE，
∴AB=AD，
∴矩形ABCD是正方形；
（2）解：连接EP，设BP=x，
∵DC=3DE=6，
∴DE=BF=2，CE=CD-DE=6-2=4，PC=6-x，
∵△ABF≌△ADE，
∴AF=AE，
又∵∠EAP=45°，
∴∠PAF=∠PAE=45°，
又∵AP=AP，
∴△PAF≌△PAE，
∴PF=PE=2+x，
在Rt△CPE中，，即，
解得x=3，
∴BP=2；
（3）解：如图，取BC的中点P，连接AP，连接EP，
∵G是AD的中点，
∴AG=CP=BP=3，
∴PF=5，
又∵ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴APCG是平行四边形，
∴AP∥CG，
∴∠PAE=∠AHG，
∵CE=4，
∴，
又∵AF=AE，AP=AP，
∴△APF≌△APE，
∴∠PAE=∠PAF=45°，
∴∠AHG=∠PAE=45°.
【知识点】勾股定理；正方形的判定；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，根据AAS证明△ABF≌△ADE，可以得到AB=AD，即可得到ABCD是正方形；
（2）连接EP，设BP=x，根据全等得到AF=AE，然后根据SAS证明△PAF≌△PAE，然后在Rt△CPE中，利用勾股定理求出BP长即可；
（3）取BC的中点P，连接AP，连接EP，即可得到APCG是平行四边形，进而得到AP∥CG，然后得到∠PAE=∠AHG，再根据勾股定理求出EP=5=FP，利用SSS证明△APF≌△APE，得到∠PAE=∠PAF=45°，解题即可.
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