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2024-2025学年第二学期六校联合体期中调研高一数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
已知复数z，满足，则的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
已知向量，，若，则=（ ）
A． B． C． D．
若，则（ ）
A． B． C． D．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则角A的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
如图，为了测量河对岸的塔高AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个观测点C和D，测得，，长米，并在C处测得塔顶A的仰角为，则塔高（ ）米

A． B．
C． D．
三棱锥所有棱长都为2，，分别为棱，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
已知G为△ABC的重心，过G的直线分别与边AB，AC交于点P，Q，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
设为复数，下面四个命题中，真命题的是（ ）
A．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数
B．对于复数z1，z2，若，则
C．对于复数z1，z2，若，则
D．复数z满足，则的最大值为
在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且（），定义：，称“”为“关于的弦函数”，对于“关于x的弦函数”，下列说法正确的是（ ）
A．该函数为周期函数，且最小正周期为
B．该函数的图象关于原点对称
C．该函数的图象关于直线对称
D．若，则该函数的值域为
如图，正方体的棱长为1，动点在线段上，分别是棱的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．当为中点时，
C．存在点，使得平面平面
D．三棱锥的体积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
已知、为锐角，，，则 ．
在正方体中，分别是棱的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为 ．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积，若且，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（13分）
如图，在边长为2的等边△ABC中，，点是边的中点，设．
（1）用表示；
（2）求的值．
（15分）
如图，在三棱柱中，底面ABC，，点是棱的中点．
（1）求证：；
（2）求证：平面．
（15分）
“堆云积雪，芳华绝代”，春天的南京，是玉兰花的盛宴．清凉山公园，灵谷寺，朝天宫,总统府……处处繁花似锦，处处风姿卓越，处处雅致茂盛．除白玉兰外，南京还有黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰．已知扇形的半径为米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在线段上，且．
（1）当米时，求的长；
（2）问：点在什么位置时，白玉兰种植区的面积最大，并求出此时的最大值．
（17分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求A；
（2）若△ABC为锐角三角形，求的取值范围；
（3）设点E为边BC上一点，若AE=，且，求的值．
（17分）
如图，在四棱锥中，，，，△MAD是边长为6的等边三角形，平面MAD平面ABCD，点N在棱MD上，直线平面．
（1）求的值；
（2）若AC=CD，求三棱锥的体积；
（3）设二面角的平面角为，直线CN与平面ABCD所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围．
2024-2025学年第二学期六校联合体期中调研（高一数学）
参考答案及评分标准
1、【答案】A 2、【答案】C 3、【答案】C 4、【答案】D
5、【答案】A 6、【答案】C 7、【答案】D 8、【答案】A
9、【答案】AD 10、【答案】ACD 11、【答案】ABD
12、【答案】 13、【答案】 14、【答案】
【答案】
（1）………3分
………………6分
（2） ………………9分
. ………………13分
（向量不加箭头，整体扣一分）
【答案】
（1）证明：由底面，且底面，
所以， ………………3分
又因为，，且平面，
所以平面， ………………6分
因为，所以． ………………8分
（不写扣一分，不写线在面内不扣分）
（2）证明：设与的交点为，连结，
因为是的中点，是的中点，所以， ………………11分
因为平面，且平面，所以平面．……………15分
（不写平面扣两分，不写线在面内不扣分）
【答案】
（1）由，故 ………………1分
在△OPQ中，由余弦定理可得：
即，即 ………………3分
解得，因为，所以
答：长为米． ………………4分
（2）设，（这个范围可以不写）
由，故，又，
在△OPQ中，由正弦定理得，，即， ………6分
则 ………………9分
令
………………12分
当，即时，，
所以 ………………14分
此时位于的中点．
答：当位于的中点时，的面积最大，最大值为平方米． ………15分
（两问都没有答，扣一分）
【答案】
（1）由题和正弦定理得，整理得，…………2分
所以由余弦定理得， ……………3分
又，所以. ………………4分
（2）由（1）知，所以，
因为， ………………6分
又△ABC为锐角三角形，则，得到， ………………8分
所以，则，所以的取值范围为. …………10分
（3）法一：设，则
在△ABE中，
在△ACE中， ………………12分
，即，解得，……14分
，
，
， ………………16分
化简得，即 ………………17分
法二：， ………………13分
化简得， ………………16分
所以 ………………17分
【答案】
（1）连接交于，连接．
因为直线平面，平面，
平面平面，
所以， ……………2分
（缺条件扣一分）
因为，，所以根据相似的性质可得．
则． ……………4分
（2）取的中点，的中点，连接，，．
因为是边长为6的等边三角形，则，．
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面． ……………7分
（缺条件扣一分）
，
……………9分
（3）因为平面，平面，所以，．
又因为，分别为，的中点，所以，
而，所以，又，平面，
则平面，又平面，得，
所以是二面角的平面角，即． ……………11分
设，则，得．
过作交于，连接，由于平面，所以平面，
则为直线与平面所成的角，即． ……………13分
，，．
因为，所以，
则． ……………15分
因为，所以．
故的取值范围为． ……………17分

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