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浙江省金华市永康市第三中学2024-2025学年七年级下学期数学第一次月考试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025七下·永康月考）下列图形中，∠1与∠2是对顶角的为(　　)
A． B．
C． D．
2．（2025七下·永康月考）下列方程中是二元一次方程的是(　　)
A． B． C． D．
3．（2025七下·永康月考）下列语句中：
①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；④有公共顶点且相等的角是对顶角，其中错误的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2025七下·永康月考）如图，下列推理中，正确的是(　　)
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
5．（2025七下·永康月考）如图，两只手的食指和拇指在同一个平面内，它们构成的一对角可看成是（　　）
A．同位角 B．内错角 C．对顶角 D．同旁内角
6．（2025七下·永康月考）如图， 直线 被直线 所截， 下列条件中能判定 的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025七下·永康月考）下列各组值中，是方程组的解的是(　　)
A． B． C． D．
8．（2025七下·永康月考）用8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，则每块小长方形地砖的面积是（　　）
A．600 B．500 C．300 D．200
9．（2025七下·永康月考）《九章算术》中：“今有三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意为：今有人坐一辆车，有辆车是空的；人坐一辆车，有人需要步行．问人与车各多少？设有人，辆车，则所列方程组正确的是(　　)
A． B．
C． D．
10．（2025七下·永康月考）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：；；平分；平分其中正确结论的个数是(　　)
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2025七下·永康月考）已知方程，用含的式子表示，则　 　．
12．（2025七下·永康月考）如图，与∠1构成同位角的角有　 　个。
13．（2025七下·永康月考）已知是方程的一组解，则的值是　 　．
14．（2025七下·永康月考）若，满足，则　 　．
15．（2025七下·永康月考）如图，一束光线从点C出发，经过平面镜AB反射后，沿与AF平行的线段DE射出（此时∠1＝∠2），若测得∠DCF＝100°，则∠A＝　 　
16．（2025七下·永康月考）已知为任意的两位数，若的各位数字不同且不为，这样的两位数称为“数”把一个“数”的十位和个位数字交换位置，得到一个新的两位数，把这两个数相加的和除以的商记为例如对调后的两位数为，这两个数的和为，，所以计算：　 　若，都是“数”，为整数当时，则　 　．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17．（2025七下·永康月考）解方程组
（1）
（2）
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18．（2025七下·永康月考）阅读下面的推理过程，将空白部分补充完整．
解：因为已知，
所以 ▲ ，
又因为已知，
所以等量代换．
所以(　　)
所以 ▲ (　　)
19．（2025七下·永康月考）已知代数式当x=-1时，它的值为0；当x=2时，它的值为3；当x=5时，它的值为60。求a，b，c的值。
20．（2025七下·永康月考）利用网格画图：
（1）过点C画AB的平行线CD；
（2）过点C画AB的垂线，垂足为E；
（3）线段CE的长度是点C到直线　 　的距离；
（4）连接CA、CB，在线段CA、CB、CE中，线段　 　最短，理由：　 　．
21．（2025七下·永康月考）一根金属棒在时的长度是，在一定温度范围内，温度每升高，它就伸长当温度为时，金属棒的长度可用公式计算．已测得当时，；当时，．
（1）求，的值．
（2）若这根金属棒受热后长度伸长到，则这时金属棒的温度是多少？
22．（2025七下·永康月考）如图，在同一平面内，，判断与是否平行，并说明理由．
23．（2025七下·永康月考）五一假期商场促销，推出赠送“优惠券”活动，其中优惠券分为三种类型．
A型：满298元减100元；B型：满198元减68元；C型：满68元减20元．
（1）顾客甲使用三种不同类型的优惠券消费，共优惠640元，已知该顾客用了2张A型优惠券，5张C型优惠券，则还用了　 　张B型优惠券．
（2）顾客乙用了A，B型优惠券共6张，优惠了536元，求该顾客使用A，B优惠券各几张；
（3）小丽共领到三种不同类型的优惠券各15张，她同时使用A，B，C中两种不同类型的优惠券消费（部分未使用），共优惠了708元，她可能用了哪几种优惠券组合方法？每种方法中不同类型的优惠券各几张？（请写出具体解答过程）
24．（2025七下·永康月考）【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．
（1）【建立模型】如图已知，点在直线、之间，请分别写出与、之间的关系，并对图中的结论进行证明．请用上面的结论解决下面的问题：
（2）【解决问题】如图是一盏可调节台灯，如图为示意图．固定支撑杆底座于点与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，求的度数．
（3）【拓展应用】如图，已知和分别平分和，若，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、∠1和∠2没有公共点，不是对顶角，则本项不符合题意；
B、∠1和∠2有公共点，但两边不互为反向延长线，不是对顶角，则本项不符合题意；
C、∠1和∠2为对顶角，则本项符合题意；
D、∠1和∠2有公共点，但两边不互为反向延长线，不是对顶角，则本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据对顶角的定义：有公共点且两边互为反向延长线，据此逐项分析即可.
2．【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、一元一次方程，不符合题意；
B、是代数式，不符合题意；
C、是二元二次方程，不符合题意；
D、二元一次方程，符合题意.
故答案为：D.
【分析】把只含有两个未知数，且未知数的最高次数都为1次的整式方程叫二元一次方程.
3．【答案】C
【知识点】垂线的概念；平行公理及推论；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：①在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；故①错误；
②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故②错误；
③∵互为邻补角的两个角的度数之和为，
∴互为邻补角的两个角的平分线组成的夹角等于的邻补角的和为，
∴互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；故③正确；
④有公共顶点且相等的角不一定是对顶角，对顶角是有公共顶点，且角的两边互为反向延长线，故④错误；
故答案为：C．
【分析】利用垂线的性质，平行公理，邻补角和角平分线的定义，对顶角的定义逐项判断解题．
4．【答案】C
【知识点】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：A、若，则，结论错误；
B、若，则，结论错误；
C、若，则，结论正确；
D、若，则，结论错误.
故答案为：C.
【分析】A、内错角相等，两直线平行；
B、内错角相等，两直线平行；
C、同旁内角互补，两直线平行；
D、同旁内角互补，两直线平行.
5．【答案】B
【知识点】内错角的概念
【解析】【解答】解：两只手的食指和拇指在同一个平面内，它们构成的一对角可看成是内错角．
故答案为：B．
【【分析】两条直线被第三条直线所截形成的在截线两旁，被截线之内的两角，叫做内错角，内错角的边构成“Z” 形；图中两只手的食指和拇指构成的一对角在食指的两侧，在两拇指之间，构成“Z” 形，据此可得答案.
6．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A、∵∠1与∠4是同旁内角，且∠1+∠4不一定等于180°，∴不能判断a//b，∴A不符合题意；
B、∵∠2与∠3是邻补角，无法判断a//b，∴B不符合题意；
C、∵∠2与∠5是对顶角，无法判断a//b，∴C不符合题意；
D、∵∠4与∠5是内错角，且∠4=∠5，∴a//b，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用平行线的判定方法逐项分析判断即可.
7．【答案】A
【知识点】判断是否为二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：
A、把代入到方程组中得：、，所以是方程组的解；
B、把代入到方程组中得：、，所以不是方程组的解；
C、把代入到方程组中得：、，所以不是方程组的解；
D、把代入到方程组中得：、，所以不是方程组的解；
故答案为：A.
【分析】利用方程组解的概念把给定的未知数的值代入到方程组中检验即可.
8．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长、宽分别为a，b．
由题意可列方程组：，
解得：，
∴每块小长方形地砖的面积为．
故选：C．
【分析】本题考查二元一次方程组在几何问题中的应用，假设小长方形的长、宽分别为a，b，通过图形中大长方形的边长关系，列出二元一次方程组，求得a、b的值，进而求得面积，得到答案．
9．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有x人，y辆车，由题意列方程组得：
故答案为：D.
【分析】设有x人，y辆车，则由等量关系“若每辆车乘坐3人，则剩余车2辆；若每辆车乘坐2人，则剩余9人”列方程组即可.
10．【答案】A
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；平行公理
11．【答案】
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：移项得：
故答案为：.
【分析】把y当作常数，解关于x的一元一次方程即可.
12．【答案】3
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：如图，
∠1构成同位角的角有∠2，∠3，∠4，共3个，
故答案为：3.
【分析】根据同位角的定义 ：两条直线被第三条直线所截，如果两个角分别在两条直线的同侧，且在第三条直线的同旁，那么这两个角叫做同位角，据此即可求解.
13．【答案】
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入到方程中得：
解得：
故答案为：2.
【分析】把方程的解代入到二元一次方程中可得到关于m的一元一次方程并解方程即可.
14．【答案】
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性
15．【答案】50°
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵DE∥AF，
∴∠2＝∠A，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝∠A，
∵∠DCF＝∠A+∠1＝2∠A＝100°，
∴∠A＝50°，
故答案为：50°．
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠2＝∠A，再根据外角的性质解答即可．
16．【答案】6；7
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：（一）
（二）
故答案分别为：6和7.
【分析】第一空：直接利用“SZ数”的概念求解即可；
第二空：关键是确定a和b的“十位数字”和“个位数字”，观察a可发现其是x的10倍与24的和，由于24是2的10倍与4的和，因此a的十位数字应该是，个位数字应该是；同理b的十位数字是，而个位数字是，此时可利用“SZ数”的概念分别求出和，再结合已知即可求出.
17．【答案】（1）解：
将代入可得：，解得：，
将代入可得：．
所以该方程组的解为：．
（2）解：
得：，解得：，
将代入得：，解得：．
所以该方程组的解集为：．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】
（1）解二元一次方程组时，若其中一个方程中某一未知数恰好用另一个未知数的代数式表示时，可直接利用代入消元法求解；
（2）解二元一次方程组时，若两个方程中某一未知数的系数恰好相等或互为相反数时，可直接利用加减代入消元法求解.
18．【答案】解：因为已知，
所以
又因为已知，
所以等量代换，
所以内错角相等，两直线平行，
所以两直线平行，同旁内角互补．
【知识点】内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】第一空：两直线平行，同位角相等；
第二空：内错角相等，两直线平行；
第三空：两直线平行，同旁内角互补.
19．【答案】解：由题意，得
由②-①，得3a+3b=3，即a+b=1④，
由③-①，得24a+6b=60，即4a+b=10⑤，
由⑤-④，得a=3，
将a=3代入④，得b=-2，
再将a=3与b=-2同时代入①，得c=-5，
∴方程组的解为
故的值分別为.
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】由题意可得关于字母a、b、c的三元一次方程组，然后由②-①与③-①可将方程组转化为关于字母a、b的二元一次方程组，利用加减消元法解二元一次方程组可求出a、b的值，最后将a、b的值同时代入①方程可算出c的值，从而得出答案.
20．【答案】（1）解：如图所示：
如图，CD∥AB
（2）解：如图所示：
如图DE⊥AB；
（3）AB
（4）CE；垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用；点到直线的距离；作图-平行线；尺规作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与AB平行的各点做出即可；
(2)根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与AB垂直的格点做出即可；
（3）根据点到直线的距离回答；
（4）根据垂线段最短直接回答即可。
21．【答案】（1）解：由题意列二元一次方程组：
，
解得：
所以，．
（2）解：，
当时，有，解得：．
答：这时金属棒的温度是．
【知识点】解一元一次方程；二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）代入金属棒的长度L，即可得到关于温度的一元一次方程并解方程即可.
22．【答案】解：理由如下：
如图：过、作直线，
，
两直线平行、同位角相等．
，
，即，
同位角相等，两直线平行．
【知识点】同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】由于两直线平行同位角相等，反过来，同位角相等两直线平行，因此可作直线BE，则由AB平行DE可得到等于，则由等式的基本性质结合已知等于中得到等于，则可得平行.
23．【答案】（1）5
（2）解：设顾客乙用了x张A型，y张B型优惠券．根据题意列方程组，得：
解得：
答：顾客乙用了4张A型，2张B型优惠券．
（3）解：设小丽使用A型a张，B型b张，C型c张．
①若小丽使用A型，B型优惠券，
100a+68b=708．
化简，得，25a+17b=177．
∵a，b都为整数，且，，
∴a=3，b=6
②若小丽使用B型，C型优惠券，则．
化简得，．
∵b，c都为整数，且，，
∴，．
③若小丽使用A型，C型优惠券，则．
化简得，．
∵a，c都为整数，且，，
∴无解．
答：小丽可能用了两种优惠券组合方法，
方法1：A型3张，B型6张；
方法2：B型6张，C型15张．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）（640-2×100-5×20）÷68=5，
∴还用了5张B型优惠券，
故答案为：5；
【分析】（1）用优惠的总额减去使用A、C优惠券的金额，再除以68，据此求解；
（2）基本关系：A型数量+B型数量=6，A型 优惠 金额+B型 优惠金额=536，据此列方程组求解即可；
（3）分①若小丽使用A型，B型优惠券；②若小丽使用B型，C型优惠券；③若小丽使用A型，C型优惠券三种情况讨论即可．
24．【答案】（1）证明：如图，过作直线，
而，
，
，，
，
即；
如图，过作直线，
而，
，
，，
；
（2）解：如图，延长，交于点，过作，
而，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，
由的结论可得：，，
和分别平分和，
，，
，
，
，
.
【知识点】猪蹄模型；铅笔头模型；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【分析】（1）由于两直线平行，同旁内角互补，因此可过点E作EF//AB，则EF//CD，此时被EF分为两个角和，且与互补，与互补，显然可得、和的和为；
由于两直线平行，内错角相等，因此可过点E作EF//AB，则EF//CD，此时被EF分为两个角和，且与相等，与相等，显然可得等于和的和；
（2）借鉴（1）的作法，可过点A作AF//MN，则AF//CD，再延长AB交DC的延长线于点Q，则被AF分为两个角和，且与互补即，等于等于即，则可求；
（3）由（1）结论知，等于与的和，且等于与的和，由已知和的数量关系可得到关于的一元一次方程并解方程即可.
1 / 1浙江省金华市永康市第三中学2024-2025学年七年级下学期数学第一次月考试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025七下·永康月考）下列图形中，∠1与∠2是对顶角的为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、∠1和∠2没有公共点，不是对顶角，则本项不符合题意；
B、∠1和∠2有公共点，但两边不互为反向延长线，不是对顶角，则本项不符合题意；
C、∠1和∠2为对顶角，则本项符合题意；
D、∠1和∠2有公共点，但两边不互为反向延长线，不是对顶角，则本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据对顶角的定义：有公共点且两边互为反向延长线，据此逐项分析即可.
2．（2025七下·永康月考）下列方程中是二元一次方程的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、一元一次方程，不符合题意；
B、是代数式，不符合题意；
C、是二元二次方程，不符合题意；
D、二元一次方程，符合题意.
故答案为：D.
【分析】把只含有两个未知数，且未知数的最高次数都为1次的整式方程叫二元一次方程.
3．（2025七下·永康月考）下列语句中：
①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；④有公共顶点且相等的角是对顶角，其中错误的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】垂线的概念；平行公理及推论；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：①在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；故①错误；
②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故②错误；
③∵互为邻补角的两个角的度数之和为，
∴互为邻补角的两个角的平分线组成的夹角等于的邻补角的和为，
∴互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；故③正确；
④有公共顶点且相等的角不一定是对顶角，对顶角是有公共顶点，且角的两边互为反向延长线，故④错误；
故答案为：C．
【分析】利用垂线的性质，平行公理，邻补角和角平分线的定义，对顶角的定义逐项判断解题．
4．（2025七下·永康月考）如图，下列推理中，正确的是(　　)
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【知识点】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：A、若，则，结论错误；
B、若，则，结论错误；
C、若，则，结论正确；
D、若，则，结论错误.
故答案为：C.
【分析】A、内错角相等，两直线平行；
B、内错角相等，两直线平行；
C、同旁内角互补，两直线平行；
D、同旁内角互补，两直线平行.
5．（2025七下·永康月考）如图，两只手的食指和拇指在同一个平面内，它们构成的一对角可看成是（　　）
A．同位角 B．内错角 C．对顶角 D．同旁内角
【答案】B
【知识点】内错角的概念
【解析】【解答】解：两只手的食指和拇指在同一个平面内，它们构成的一对角可看成是内错角．
故答案为：B．
【【分析】两条直线被第三条直线所截形成的在截线两旁，被截线之内的两角，叫做内错角，内错角的边构成“Z” 形；图中两只手的食指和拇指构成的一对角在食指的两侧，在两拇指之间，构成“Z” 形，据此可得答案.
6．（2025七下·永康月考）如图， 直线 被直线 所截， 下列条件中能判定 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A、∵∠1与∠4是同旁内角，且∠1+∠4不一定等于180°，∴不能判断a//b，∴A不符合题意；
B、∵∠2与∠3是邻补角，无法判断a//b，∴B不符合题意；
C、∵∠2与∠5是对顶角，无法判断a//b，∴C不符合题意；
D、∵∠4与∠5是内错角，且∠4=∠5，∴a//b，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用平行线的判定方法逐项分析判断即可.
7．（2025七下·永康月考）下列各组值中，是方程组的解的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】判断是否为二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：
A、把代入到方程组中得：、，所以是方程组的解；
B、把代入到方程组中得：、，所以不是方程组的解；
C、把代入到方程组中得：、，所以不是方程组的解；
D、把代入到方程组中得：、，所以不是方程组的解；
故答案为：A.
【分析】利用方程组解的概念把给定的未知数的值代入到方程组中检验即可.
8．（2025七下·永康月考）用8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，则每块小长方形地砖的面积是（　　）
A．600 B．500 C．300 D．200
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长、宽分别为a，b．
由题意可列方程组：，
解得：，
∴每块小长方形地砖的面积为．
故选：C．
【分析】本题考查二元一次方程组在几何问题中的应用，假设小长方形的长、宽分别为a，b，通过图形中大长方形的边长关系，列出二元一次方程组，求得a、b的值，进而求得面积，得到答案．
9．（2025七下·永康月考）《九章算术》中：“今有三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意为：今有人坐一辆车，有辆车是空的；人坐一辆车，有人需要步行．问人与车各多少？设有人，辆车，则所列方程组正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有x人，y辆车，由题意列方程组得：
故答案为：D.
【分析】设有x人，y辆车，则由等量关系“若每辆车乘坐3人，则剩余车2辆；若每辆车乘坐2人，则剩余9人”列方程组即可.
10．（2025七下·永康月考）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：；；平分；平分其中正确结论的个数是(　　)
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；平行公理
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2025七下·永康月考）已知方程，用含的式子表示，则　 　．
【答案】
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：移项得：
故答案为：.
【分析】把y当作常数，解关于x的一元一次方程即可.
12．（2025七下·永康月考）如图，与∠1构成同位角的角有　 　个。
【答案】3
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：如图，
∠1构成同位角的角有∠2，∠3，∠4，共3个，
故答案为：3.
【分析】根据同位角的定义 ：两条直线被第三条直线所截，如果两个角分别在两条直线的同侧，且在第三条直线的同旁，那么这两个角叫做同位角，据此即可求解.
13．（2025七下·永康月考）已知是方程的一组解，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入到方程中得：
解得：
故答案为：2.
【分析】把方程的解代入到二元一次方程中可得到关于m的一元一次方程并解方程即可.
14．（2025七下·永康月考）若，满足，则　 　．
【答案】
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性
15．（2025七下·永康月考）如图，一束光线从点C出发，经过平面镜AB反射后，沿与AF平行的线段DE射出（此时∠1＝∠2），若测得∠DCF＝100°，则∠A＝　 　
【答案】50°
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵DE∥AF，
∴∠2＝∠A，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝∠A，
∵∠DCF＝∠A+∠1＝2∠A＝100°，
∴∠A＝50°，
故答案为：50°．
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠2＝∠A，再根据外角的性质解答即可．
16．（2025七下·永康月考）已知为任意的两位数，若的各位数字不同且不为，这样的两位数称为“数”把一个“数”的十位和个位数字交换位置，得到一个新的两位数，把这两个数相加的和除以的商记为例如对调后的两位数为，这两个数的和为，，所以计算：　 　若，都是“数”，为整数当时，则　 　．
【答案】6；7
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：（一）
（二）
故答案分别为：6和7.
【分析】第一空：直接利用“SZ数”的概念求解即可；
第二空：关键是确定a和b的“十位数字”和“个位数字”，观察a可发现其是x的10倍与24的和，由于24是2的10倍与4的和，因此a的十位数字应该是，个位数字应该是；同理b的十位数字是，而个位数字是，此时可利用“SZ数”的概念分别求出和，再结合已知即可求出.
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17．（2025七下·永康月考）解方程组
（1）
（2）
【答案】（1）解：
将代入可得：，解得：，
将代入可得：．
所以该方程组的解为：．
（2）解：
得：，解得：，
将代入得：，解得：．
所以该方程组的解集为：．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】
（1）解二元一次方程组时，若其中一个方程中某一未知数恰好用另一个未知数的代数式表示时，可直接利用代入消元法求解；
（2）解二元一次方程组时，若两个方程中某一未知数的系数恰好相等或互为相反数时，可直接利用加减代入消元法求解.
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18．（2025七下·永康月考）阅读下面的推理过程，将空白部分补充完整．
解：因为已知，
所以 ▲ ，
又因为已知，
所以等量代换．
所以(　　)
所以 ▲ (　　)
【答案】解：因为已知，
所以
又因为已知，
所以等量代换，
所以内错角相等，两直线平行，
所以两直线平行，同旁内角互补．
【知识点】内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】第一空：两直线平行，同位角相等；
第二空：内错角相等，两直线平行；
第三空：两直线平行，同旁内角互补.
19．（2025七下·永康月考）已知代数式当x=-1时，它的值为0；当x=2时，它的值为3；当x=5时，它的值为60。求a，b，c的值。
【答案】解：由题意，得
由②-①，得3a+3b=3，即a+b=1④，
由③-①，得24a+6b=60，即4a+b=10⑤，
由⑤-④，得a=3，
将a=3代入④，得b=-2，
再将a=3与b=-2同时代入①，得c=-5，
∴方程组的解为
故的值分別为.
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】由题意可得关于字母a、b、c的三元一次方程组，然后由②-①与③-①可将方程组转化为关于字母a、b的二元一次方程组，利用加减消元法解二元一次方程组可求出a、b的值，最后将a、b的值同时代入①方程可算出c的值，从而得出答案.
20．（2025七下·永康月考）利用网格画图：
（1）过点C画AB的平行线CD；
（2）过点C画AB的垂线，垂足为E；
（3）线段CE的长度是点C到直线　 　的距离；
（4）连接CA、CB，在线段CA、CB、CE中，线段　 　最短，理由：　 　．
【答案】（1）解：如图所示：
如图，CD∥AB
（2）解：如图所示：
如图DE⊥AB；
（3）AB
（4）CE；垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用；点到直线的距离；作图-平行线；尺规作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与AB平行的各点做出即可；
(2)根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与AB垂直的格点做出即可；
（3）根据点到直线的距离回答；
（4）根据垂线段最短直接回答即可。
21．（2025七下·永康月考）一根金属棒在时的长度是，在一定温度范围内，温度每升高，它就伸长当温度为时，金属棒的长度可用公式计算．已测得当时，；当时，．
（1）求，的值．
（2）若这根金属棒受热后长度伸长到，则这时金属棒的温度是多少？
【答案】（1）解：由题意列二元一次方程组：
，
解得：
所以，．
（2）解：，
当时，有，解得：．
答：这时金属棒的温度是．
【知识点】解一元一次方程；二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）代入金属棒的长度L，即可得到关于温度的一元一次方程并解方程即可.
22．（2025七下·永康月考）如图，在同一平面内，，判断与是否平行，并说明理由．
【答案】解：理由如下：
如图：过、作直线，
，
两直线平行、同位角相等．
，
，即，
同位角相等，两直线平行．
【知识点】同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】由于两直线平行同位角相等，反过来，同位角相等两直线平行，因此可作直线BE，则由AB平行DE可得到等于，则由等式的基本性质结合已知等于中得到等于，则可得平行.
23．（2025七下·永康月考）五一假期商场促销，推出赠送“优惠券”活动，其中优惠券分为三种类型．
A型：满298元减100元；B型：满198元减68元；C型：满68元减20元．
（1）顾客甲使用三种不同类型的优惠券消费，共优惠640元，已知该顾客用了2张A型优惠券，5张C型优惠券，则还用了　 　张B型优惠券．
（2）顾客乙用了A，B型优惠券共6张，优惠了536元，求该顾客使用A，B优惠券各几张；
（3）小丽共领到三种不同类型的优惠券各15张，她同时使用A，B，C中两种不同类型的优惠券消费（部分未使用），共优惠了708元，她可能用了哪几种优惠券组合方法？每种方法中不同类型的优惠券各几张？（请写出具体解答过程）
【答案】（1）5
（2）解：设顾客乙用了x张A型，y张B型优惠券．根据题意列方程组，得：
解得：
答：顾客乙用了4张A型，2张B型优惠券．
（3）解：设小丽使用A型a张，B型b张，C型c张．
①若小丽使用A型，B型优惠券，
100a+68b=708．
化简，得，25a+17b=177．
∵a，b都为整数，且，，
∴a=3，b=6
②若小丽使用B型，C型优惠券，则．
化简得，．
∵b，c都为整数，且，，
∴，．
③若小丽使用A型，C型优惠券，则．
化简得，．
∵a，c都为整数，且，，
∴无解．
答：小丽可能用了两种优惠券组合方法，
方法1：A型3张，B型6张；
方法2：B型6张，C型15张．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）（640-2×100-5×20）÷68=5，
∴还用了5张B型优惠券，
故答案为：5；
【分析】（1）用优惠的总额减去使用A、C优惠券的金额，再除以68，据此求解；
（2）基本关系：A型数量+B型数量=6，A型 优惠 金额+B型 优惠金额=536，据此列方程组求解即可；
（3）分①若小丽使用A型，B型优惠券；②若小丽使用B型，C型优惠券；③若小丽使用A型，C型优惠券三种情况讨论即可．
24．（2025七下·永康月考）【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．
（1）【建立模型】如图已知，点在直线、之间，请分别写出与、之间的关系，并对图中的结论进行证明．请用上面的结论解决下面的问题：
（2）【解决问题】如图是一盏可调节台灯，如图为示意图．固定支撑杆底座于点与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，求的度数．
（3）【拓展应用】如图，已知和分别平分和，若，求的度数．
【答案】（1）证明：如图，过作直线，
而，
，
，，
，
即；
如图，过作直线，
而，
，
，，
；
（2）解：如图，延长，交于点，过作，
而，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，
由的结论可得：，，
和分别平分和，
，，
，
，
，
.
【知识点】猪蹄模型；铅笔头模型；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【分析】（1）由于两直线平行，同旁内角互补，因此可过点E作EF//AB，则EF//CD，此时被EF分为两个角和，且与互补，与互补，显然可得、和的和为；
由于两直线平行，内错角相等，因此可过点E作EF//AB，则EF//CD，此时被EF分为两个角和，且与相等，与相等，显然可得等于和的和；
（2）借鉴（1）的作法，可过点A作AF//MN，则AF//CD，再延长AB交DC的延长线于点Q，则被AF分为两个角和，且与互补即，等于等于即，则可求；
（3）由（1）结论知，等于与的和，且等于与的和，由已知和的数量关系可得到关于的一元一次方程并解方程即可.
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