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【真题重组】广东省2025年高考数学考前冲刺练习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设复数满足，那么（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，则“”是“是奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2025·安徽·模拟预测）某校高三学生的模考数学成绩服从正态分布，按照、、、的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级．若某同学的数学成绩为分，则他的等级是（ ）
附：，，.
A．优秀 B．良好 C．合格 D．基本合格
4．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设等差数列的前项和为，已知，，则下列选项正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆柱的底面半径为，圆台的上、下底面半径分别为，若圆柱和圆台的高和体积都相等，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设.为抛物线的焦点，的准线与轴交于一点，过的直线与交于、两点.若的面积是的面积的3倍，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2025·河北沧州·模拟预测）已知，且为奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025·河北邯郸·二模）已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且的面积为，若的内切圆与轴相切，则双曲线的离心率（ ）
A． B． C．2 D．
二、多选题
9．（2025·陕西渭南·三模）甲 乙两个体育社团小组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下：
甲组：239，241，243，245，245，247，248，249，251，252
乙组：244，245，245，246，248，251，251，253，254，255，257，263
则下列说法正确的是（ ）
A．甲组数据的第80百分位数是249
B．乙组数据的中位数是251
C．从甲 乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在250厘米以上的概率是
D．乙组中存在这样的成员，将他调派到甲组后，甲 乙两组的跳远平均成绩都有提高
10．（2025·福建宁德·三模）设函数，则（ ）
A．当时，没有零点
B．当时，在区间上不存在极值
C．存在实数，使得曲线为轴对称图形
D．存在实数，使得曲线为中心对称图形
11．（2025·广西北海·模拟预测）已知圆，圆，直线，下列结论正确的是（ ）
A．若直线与圆相切，则
B．若，则圆上到直线的距离等于的点恰有3个
C．若圆与圆恰有三条公切线，则
D．若为圆上的点，当时，过点作圆的两条切线，切点分别为，则可能为
三、填空题
12．（2025·广东·模拟预测）已知函数，则的极小值为 .
13．（2025·四川成都·模拟预测）已知，则的值为 ．
14．（2025·河北·三模）已知非负数列满足，其中，则 .
四、解答题
15．（24-25高一下·广东·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

(1)求B；
(2)已知D为边AB上的一点，且.
（ⅰ）若，，求AC的长；
（ⅱ）求的取值范围.
16．（24-25高二下·北京·期中）已知数列的前n项和为，且.
(1)求出，并求出与的递推关系；
(2)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
(3)在与之间插入n个数，使得包括与在内的这个数成等差数列，其公差为，若对任意，有恒成立，求实数的最小值.
17．（2025·安徽·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，，，，．
(1)在线段上找一点，使平面平面，求的长；
(2)若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值．
18．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，由部分抛物线和半圆所组成的曲线称为“黄金抛物线”，若“黄金抛物线”经过点和．
(1)求“黄金抛物线”的方程；
(2)设和，过点作直线与“黄金抛物线”交于三点，问是否存在这样的直线，使得平分？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
19．（2025·新疆·模拟预测）某学校为了解学生的体质健康状况，对高一、高二两个年级的学生进行体质健康测试．现从两个年级学生中各随机抽取20人，他们的测试数据如下：
高一：50，53，58，64，66，67，67，69，71，72，75，78，79，82，83，86，89，93，94，96
高二：40，42，50，52，56，64，65，67，68，72，73，73，79，81，84，85，88，90，96，98
国家学生体质健康标准的等级标准如下表，规定：测试数据，体质健康为合格．
等级 优秀 良好 及格 不及格
测试数据
(1)从该校高二年级学生中随机抽取一名学生，试估计这名学生体质健康不合格的概率；
(2)从两个年级等级为优秀的样本中各随机抽取一名学生，求抽取的两名学生的测试数据平均数不大于95的概率；
(3)设该校高一学生测试数据的平均数和方差分别为，，高二学生测试数据的平均数和方差分别为，，试比较与、与的大小．（只需写出结论）
《【真题重组】广东省2025年高考数学考前冲刺练习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B D B A A D BCD ABC
题号 11
答案 ABD
1．B
【分析】根据复数及其模长的运算公式直接计算即可.
【详解】设，则，
即，
所以，
即，解得，
即，
故选：B.
2．C
【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.
【详解】若，则，
所以，
则，即，
当为奇数时，，为奇函数，
当为偶数时，，为奇函数，
故充分性满足；
若是奇函数，则，即，
即，故必要性也满足；
所以“”是“是奇函数”的充要条件.
故选：C
3．B
【分析】利用正态分布的原则即可求解.
【详解】由题意可知，，所以，，
因为，
所以，根据比例成绩大于分为优秀，
因为，根据比例成绩在到之间的为良好，
，根据比例成绩在到之间的为合格，
，根据比例成绩小于分为基本合格，
因为小张的数学成绩为分，则他的等级是良好.
故选：B.
4．D
【分析】根据立方和公式与立方差公式化简，结合等差数列求和公式可得解.
【详解】由已知，，
则，
即，
即，
又恒成立，
所以，即，；
又由，，
可知，
即，
又恒成立，
所以，即，
故选：D.
5．B
【分析】根据圆台和圆柱的体积公式，得出，做差可判断，再结合基本不等式，可得.即可得到答案.
【详解】不妨设圆柱和圆台的高为，由体积公式可知，即；
.
圆台中，故，即，，选项A错误，选项B正确.
由基本不等式，结合，得，平方后得到，选项CD错误.
故选：B
6．A
【分析】根据题给条件设出直线方程和，又因为的面积是的面积的3倍，可得.联立直线与抛物线方程根据韦达定理可得的值，再根据抛物线定义即可求出的值，即可求得.
【详解】
由题意不妨设分别在第一、四象限，，其中.
由题意，直线斜率存在且不为，所以设直线的方程为，易知.
联立直线与抛物线方程，得，则.
因为，则，即.
所以，
得则，且.
，得，则.
故选：A.
7．A
【分析】根据奇函数的性质结合函数的定义域，可得，进而利用复合函数的单调性即可求解.
【详解】因为的定义域为为奇函数，所以，则，
由于为减函数且值恒为正数，则为单调递增函数，因此为增函数.
因为，所以，所以，故.
故选：A
8．D
【分析】设内切圆圆心为，三个切点分别为，由切线长定理可得，进而可得，设，利用余弦定理可得，利用三角形面积公式可得，进而得，利用勾股定理可求离心率.
【详解】设内切圆圆心为，三个切点分别为，
如图，由切线长定理可得，
即
，圆与轴切于左端点．内切圆半径．
设，，
，
，
，，，
由勾股定理，整理得，
所以，解得，即或（舍去），
所以.
故选：D.
9．BCD
【分析】利用百分位数计算公式即可判断选项A；根据中位数定义即可判断选项B；根据古典概型概率公式和独立事件的乘法公式即可判断选项C；求出两者平均数并比较即可判断选项D.
【详解】由题意得甲组数据共有10个数字，而，
则甲组数据的第80百分位数是第8个数和第9个数的平均数，
即甲组数据的第80百分位数是，故选项A错误；
乙组数据共有12个数字，故乙组数据的中位数是第6个数和第7个数的平均数，
即乙组数据的中位数是，故选项B正确；
设“从甲组抽取的人跳远成绩在250厘米以上”为事件，
∵甲组中跳远成绩在250厘米以上的有2人，∴；
设“从乙组抽取的人跳远成绩在250厘米以上”为事件，
∵乙组中跳远成绩在250厘米以上的有7人，∴，
而从甲，乙两组各随机选取一个成员，则事件，事件相互独立，
所以由独立事件的概率乘法公式可知：“两人跳远成绩均在250厘米以上”概率为
，故选项C正确；
甲组的跳远平均成绩为，
乙组的跳远平均成绩为，
则将乙组中跳远成绩为248厘米的成员调派到甲组后，甲，乙两组的跳远平均成绩都有提高，故选项D正确.
故选：BCD.
10．ABC
【分析】对选项逐一判断，分别利用图象研究零点，用导数研究极值，用对称性的定义研究对称性即可.
【详解】解法一：对A，函数的定义域为且，由得且.
作出与的图像，二者有唯一交点，不合题意，故没有零点，故A正确.
对B，由题，
令，，
因为，所以，
又，所以，所以，
则在上无极值，故B正确.
对CD，令，
因为，所以或，由对称性可知，故若存在对称轴或对称中心，必在直线上.
考虑
，
当时，，所以关于对称，故C正确.
考虑，
所以不存在符合题意的常数，故D错误.
故选：ABC.
11．ABD
【分析】根据直线与圆相切可求得A正确，再根据点的个数计算可求得B正确，利用圆与圆的公切线条数，可解得，即C错误，由可求得两圆关系可知D正确.
【详解】易知圆的圆心的坐标为，半径为1，圆心到直线的距离，
对于A，因为直线与圆相切，所以，解得，A正确；
对于B，当时，圆心到直线的距离，
故圆上到直线的距离为的点恰有3个，B正确；
对于C，圆与圆恰有三条公切线，
则两圆外切，即，解得，C错误；
对于D，如图，

点在位置时，，此时，点在位置时，此时，
所以中间必然有位置使得，故D正确．
故选：ABD
12．
【分析】求出函数的导函数，分析可得在区间上单调递增，又，即可得到在区间 上单调递减，从而求出函数的极值.
【详解】因为，所以，
当 时，，故 ，
所以，
当 时，，故 ，
所以，
综上，当时，恒成立，故在区间上单调递增，
又因为，，
即，所以的图象关于直线对称，
故在区间 上单调递减，故为的极小值点，的极小值为 .
故答案为：
13．
【分析】根据两角和差公式及二倍角余弦公式计算求解.
【详解】因为，
则．
故答案为：.
14．
【分析】根据题意，分别求得，，，，归纳得到，由此化简得到，结合裂项法求和，即可得到答案.
【详解】由非负数列满足，其中
将代入得，解得或（舍去），
将代入得，解得；
将代入得，解得；
归纳得，
当时，显然成立；
假设时成立，即，
因为，可得，
整理得，解得，
即时，也成立，
所以对于
则
.
故答案为：
15．(1)
(2)（1）；（2）
【分析】（1）根据正弦定理边角化，结合正弦和角公式可得,根据，化简可得，即可求解，
（2）（ⅰ）在中，由余弦定理求解，进而根据诱导公式以及正弦定理得，解得，进而根据同角关系以及锐角三角函数求解，
（ⅱ）在中由正弦定理，得，在中，由锐角三角函数得，进而可得，利用二倍角公式化简得，即可根据余弦函数的性质求解.
【详解】（1）由题意知，
又由正弦定理得，所以.
又，所以，所以，
所以，
因为，所以，所以，

又因为，所以.
（2）（ⅰ）因为，
根据余弦定理得，所以，
因为，所以，
在中，由正弦定理知，，即，所以，
进而,所以故，
（ⅱ）因为，所以，
在中，由正弦定理得，所以；
又在中，；
所以，
因为，所以，所以，
所以的取值范围是.
16．(1)，
(2)证明见解析，
(3)
【分析】（1）令代入已知可求得9，由与的关系可得；
（2）由可得，结合等比数列的定义证明即可，求出的通项，即可得到的通项公式；
（3）根据（2）的通项公式得，则恒成立，再根据作差法分析的单调性求得最大值即可.
【详解】（1）当时，，而，
所以，解得9，
当时，，，
得：，整理得：，
经检验，，满足上式，
所以；
（2）由得，
又，
所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以.
（3）由题意，
由（2）可知：，
所以，所以，令，
则，而，
所以，即数列单调递减，
故，所以，所以的最小值为.
17．(1)
(2)
【分析】（1）取中点为，连接，可得，又可得，进而可得平面，可得平面平面，可求得的长；
（2）取中点为，连接，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.
【详解】（1）取中点为，连接，因为，所以，
又平面，平面，，
因为平面，平面，，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
此时.
（2）取中点为，连接，在平面内过点作的平行线为轴，以为坐标原点，
、所在直线分别为、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则,,,,，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
所以平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，，
所以平面的一个法向量为，
所以，
因此，平面与平面夹角的余弦值为.
18．(1)和．
(2)存在，
【分析】(1))(3，2)代入抛物线，可得，代入，可得，即可求“黄金抛物线C”的方程；
(2)假设存在这样的直线，使得平分，则，求出的坐标，即可得出结论．
【详解】（1）因为“黄金抛物线”过点和，
所以，解得．
所以“黄金抛物线”的方程为和．
（2）假设存在这样的直线，使得平分．
显然直线的斜率存在且不为0，
结合题意可设直线的方程为，不妨令．
由消去并整理，得，
所以，即，由知，所以直线的斜率为．
由
消去并整理，得，
所以，
即，由知，所以直线的斜率为．
因为平分，且直线的斜率不存在，所以，
即，由，
可得．
所以存在直线，使得平分．
19．(1)
(2)．
(3)，．
【分析】（1）根据概率计算方法即可求得结果.
（2）利用列举法求得总情况和符合题意的情况即可求得概率.
（3）分别计算出平均数和方差即可比较大小.
【详解】（1）由样本中测试数据可知高二学生样本中体质健康不合格的人数为5，
故样本中学生体质健康不合格的频率为，
故从该校高二年级学生中随机抽取一名学生，估计这名学生体质健康不合格的概率为．
（2）设高一年级样本中测试数据为93，94，96的三名学生分别为，，，
高二年级样本中测试数据为90，96，98的三名学生分别为，，，
选取的2名学生构成的基本事件为：，，，
，，，，，，共9个，
其中两名学生的测试数据平均数大于95的有，，，，共4个，
所以选取的两名学生的测试数据平均数大于95的概率为，
故选取的两名学生的测试数据平均数不大于95的概率为．
（3）
故，．
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