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【真题重组】江苏省2025年高考数学考前冲刺练习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2025·河南·三模）若复数z满足，则的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
2．（2025·河南南阳·模拟预测）已知，，，动点满足，若，则直线（为原点）斜率的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
3．（2025·江西景德镇·三模）设表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．存在一对异面直线，则
4．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·北京·二模）设为双曲线的右焦点．已知成等差数列，那么双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．2
6．（2025·河北·模拟预测）若函数与的图象有且只有一个公共点，则称与互为“粘合函数”.已知曲线关于直线对称的曲线为，且与互为“粘合函数”，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·广东·模拟预测）已知数列是公比为（且）的等比数列，点在圆：上，且满足，若是圆的切线，则（ ）
A． B． C．2 D．3
8．（2025·广东·模拟预测）已知为等腰直角三角形，，D为斜边BC上一动点，将沿AD折起得到三棱锥，C的对应点为，且二面角为，当最小时，三棱锥的外接球半径为（ ）
A． B． C． D．2
二、多选题
9．（2025·河南·模拟预测）在正方体中，下列结论正确的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面平面 D．平面平面
10．（2025·河南·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．存在负数，使得没有零点 B．若恰有个零点，则
C．若恰有个零点，则 D．当时，恰有个零点
11．（2025·全国·一模）将抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得的三条曲线与围成的图形称作花瓣曲线（如图阴影区域），、为与其中两条曲线的交点，若，则（ ）

A．开口向上的抛物线的方程为
B．
C．直线截花瓣曲线第一象限部分的弦长最大值为
D．阴影区域的面积不大于
三、填空题
12．（2025·浙江杭州·模拟预测）有5个集合：，从每个集合中等可能地各取1个数，记5个数之和为，则 ．
13．（2025·重庆·三模） 的展开式的常数项是 (用数字作答)．
14．（2025·河南南阳·模拟预测）已知为椭圆的右焦点，为原点，为上一点，，若，则的离心率为 ．
四、解答题
15．（2025·北京·二模）已知中，．
(1)求的大小；
(2)设为的中点，且，求的面积．
16．（2025·河北·二模）已知数列的前项和为，且．
(1)证明：是等比数列；
(2)设，求数列的前项和．
17．（2025·甘肃白银·二模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，且在上单调递增，求的取值范围；
(3)证明：当时，.
18．（2025·广东·模拟预测）五一期间，某医院进行送医下乡活动，需要派遣医生到11个社区义诊，为了方便统计，现在对这11个社区根据到医院的距离由近到远进行标号分别为0，1，2，…，10.每个社区需要安排4名医生，先从医院选派2名男医生、2名女医生到距离医院最近的0号社区，其它各社区各安排1名男医生，1名女医生，为了节约资源，在0号社区完成义诊后，从4名医生中随机选2名医生到1号社区，待1号社区完成义诊后，再从1号社区随机选2名医生到2号社区，按照这样的方式进行下去，直至最后一个社区义诊完成.记第号社区有1名男医生为事件，有2名男医生为事件，有3名男医生为事件.
(1)求第2号社区有2名男医生的概率；
(2)当时，求与i的关系式；
(3)记在第10号社区有男医生的个数为，求的分布列和期望.
19．（2025·河南·模拟预测）如图，在四面体中，点在平面内的射影恰在棱上，为的中点，，，和的面积均为．
(1)若，且与均为锐角，证明：平面；
(2)若将，，三点在空间中的位置固定，试分析点的轨迹是什么曲线；
(3)求的最小值．
《【真题重组】江苏省2025年高考数学考前冲刺练习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D A B C D B BD AD
题号 11
答案 BCD
1．D
【分析】根据已知有，确定对应点的轨迹，再应用圆上点到定点距离范围的求法得到的范围.
【详解】由，即对应点在以复平面的原点为圆心，1为半径的圆上，
由表示上述圆上点到点的距离，结合圆的性质，易知.
故选：D
2．B
【分析】设，由题分析可知点为的中点，得，根据化简可得，从而可知点在以为圆心，为半径的圆上.根据直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，数形结合即可求解.
【详解】设，由，，得点为的中点，则.
又，，则，，
因此，即，
点在以为圆心，为半径的圆上，
设直线OM（O为原点）斜率为，
由图知当直线OM与圆相切时，直线OM的斜率取得最大值，此时，
则圆心到直线OM的距离等于半径，即，解得或，
所以直线OM（O为原点）斜率的最大值为.
故选：B
3．D
【分析】利用空间线、面平行或垂直的判定与性质，逐项分析推理判断.
【详解】对于A，由，得直线与可能平行、可能相交，也可能在面内，A错误；
对于B，由，得可能平行，也可能相交，B错误；
对于C，要垂直于内的两条相交直线，才能推出，C错误；
对于D，过直线的平面，由，得，而，则，
由是异面直线，得直线相交，又，因此，D正确.
故选D，
4．A
【分析】先求函数的定义域，再求函数在定义域上的增区间即可.
【详解】解：由已知得，解得或，函数的定义域为，
因为总为增函数，要求函数的单调递增区间，
由同增异减可得即求函数在上的增区间
由二次函数的性质可得在上的增区间为，
故函数的单调递增区间是.
故选：A.
5．B
【分析】由等差数列的性质、双曲线的定义即可求解.
【详解】由题意知，，即
，由于，解得.
故选：B.
6．C
【分析】首先通过求曲线关于直线的对称曲线得到的表达式，然后根据 “粘合函数” 的定义，将问题转化为方程有且仅有一个解的问题，构造函数，利用导数研究其单调性，最后结合函数图象通过数形结合的方法确定的取值范围.
【详解】解析：已知曲线关于直线对称的曲线为，所以这两个函数互为反函数，所以，所以，
又因为与函数为“粘合函数”，所以方程有且只有一个解，
当时，显然不成立；
当时，则，记，所以，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
当时，；当时，；当时，；时，，且，则的图象如图所示，
数形结合易知实数的取值范围为，
故选：C.

7．D
【分析】设点分别为圆的圆心，依题意不妨设，根据切线长定理得到，设，利用距离公式得到方程，求出即可.
【详解】如图，设点分别为圆的圆心，依题意不妨设，
由题意知，因为是圆的切线，
根据勾股定理可得，，
所以，因为点在圆上,
故可设点，又，，
代入化简得，
整理得，
则，解得或（舍去）.
故选：D.
8．B
【分析】设，则，过点作于点，过点作于点，作为在平面上的投影，连接，得到，判断为中点时，有最小值，进而可求解.
【详解】
设，则，
过点作于点，过点作于点，
则，，
，，
，
作为在平面上的投影，连接，
由于二面角大小为，
所以，
且，
，
，
所以当时，即为中点时，有最小值，
因为为中点，故，
又为平面内两条相交直线，
所以平面，
由正弦定理可得三角形外接圆半径为，又，
设三棱锥的外接球半径为，
则，
所以，
所以，
故选：B
9．BD
【分析】由线面垂直的性质可直接判断A；由线面平行的判定即可判断B；由直线与直线相交于一点即可判断C；由面面垂直的判定定理即可判断D.
【详解】对于A，若平面，平面，则，明显不符合题意，故A错误；
对于B，由正方体的性质可知，又平面,平面，所以平面，故B正确；
对于C，因为直线与直线相交于一点，显然平面与平面不可能平行，故C错误；
对于D，由正方体的性质可得，平面，平面，所以，
又且都在平面内，所以平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，故D正确；
故选：BD.
10．AD
【分析】根据题意将函数的零点转化为两个函数的交点，即曲线：与直线：的交点，易知直线过定点，求出直线与曲线的切点，结合图象写出在不同值的情况下，直线与曲线的公共点情况，即可得到函数的零点情况，再逐一判断即可.
【详解】由题意，的零点个数，即的根的个数，等价于的解的个数，等价于曲线：与直线：的交点的个数.
曲线：时，，时，.
直线：过定点.
当时，设直线与曲线的切点为，则，得，则切点坐标为，此时.
当时，设直线与曲线的切点为，则，得，则切点坐标为，此时.
当直线绕着定点转动时，直线与曲线的公共点个数即为的零点个数.
如图可知，时，无零点；时，有个零点；
时，有个零点；时，有个零点；
时，有个零点；时，有个零点.
存在负数，使得没有零点，故A正确；
若恰有个零点，或，故B错误；
若恰有个零点，则或，故C错误；
当时，恰有个零点，故D正确.
故选：AD.
11．BCD
【分析】由题意可得，可求得逆时针旋转的抛物线方程判断A；联立交点抛物线方程解出交点坐标再由两点间距离公式可判断B；分别求出抛物线与抛物线斜率为1的切线方程，再求出它们的距离即可判断C；求出抛物线在点处的切线，再求出与平行且与抛物线相切的直线方程，分别求出两三角形的面积，再结合对称性即可推理得到D正确.
【详解】对于A，若，则抛物线，
若抛物线绕其顶点逆时针旋转，可得抛物线方程为，
即，开口向上，故A错误；
对于B，开口向上的抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、所得仍为抛物线，方程分别为、、，
由，解得或，则，由对称性可得，
所以，故B正确；
对于C，设直线与抛物线相切于点，
由，消去得，由，
得，切点，
设直线与抛物线相切于点，
由，消去得，由，
得，切点，
直线的斜率为，即直线与直线平行或重合，
所以直线被第一象限封闭图形截的弦长最大值为，故C正确；
对于D，抛物线，求导得，
则抛物线在点处的切线斜率为，
抛物线在点处的切线方程为，即，
该切线交轴于点，因此，
作且与相切，设切点为，
由切线的斜率为1可得，代入曲线可得，
所以切点为，切线方程为，与横轴的交点为，与交于点，
由面积比为相似比的平方可得小三角形的面积为1，
∴四边形面积为,
所以四叶图的面积小于，故D正确.

故选：BCD.
12．
【分析】设取出的5个数为，则可推得，，即可得出.进而只需要分析出事件以及表示的含义，并求出概率，即可得出答案.
【详解】设从中取出数为，则也在这个集合内；
从中取出数为，则也在这个集合内；
从中取出数为，则也在这个集合内；
从中取出数为，则也在这个集合内；
从中取出数为，则也在这个集合内.
设，
则，
所以，，，
所以，，，.
又表示，共有种可能；
表示中有4个选择1和1个选择2，共有种可能，
且所有的取法种数为，
所以，，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：根据数据的取法规则，得出概率具有对称性.
13．
【分析】根据展开式通项得，再令即可解出.
【详解】设展开式的通项为，
令，解得，，为所求常数项．
故答案为：.
14．/
【分析】由条件可知为直角三角形，结合椭圆定义确定关系，由此可求离心率.
【详解】取椭圆的左焦点，连结，

在中，由，得，
设，由，得，
由为直角三角形，得，则，
所以椭圆的离心率是.
故答案为：
15．(1)
(2)
【分析】（1）由同角三角函数的关系及正弦二倍角公式化简，即可求解；
（2）由正弦定理求得，再结合余弦定理求得，结合三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）由，得．
由，得，故，
所以．
（2）由正弦定理得，，即．
由余弦定理得，，
即，解得或（舍）．
所以，
故．
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由与的关系可得递推公式，根据等比数列的定义，可得答案；
（2）由（1）可得的通项，利用错位相减法，可得答案.
【详解】（1）证明：因为，
所以当时，，解得；
当时，，
所以，即，
所以，又．
所以数列是以4为首项，3为公比的等比数列．
（2）由（1）知，．所以，
则，①
，②
—②有．
所以
17．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；
（2）先确定是上的增函数.再由在上恒成立，得到，即可求解；
（3）由，将问题转化成，构造函数，确定其在上单调递增.进而转化成恒成立，进而可求证.
【详解】（1）当时，，则，
，则，
故曲线在点处的切线方程为，即.
（2）令，
则，
因为，所以，
所以恒成立，
所以是上的增函数.
因为在上单调递增，
所以在上恒成立，
所以只需，又，
故.
（3））因为，所以要证，
只需证，
令，该二次函数的图象的对称轴为直线，
令，则，
令，则，，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以在上单调递增.
问题可转化为证明，即证，
即证.
令，
则，
令，
则，
所以在上单调递减，且，
所以当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，证毕.
18．(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【分析】（1）利用全概率公式计算可得；
（2）当时, ，结合得到，即可得到数列是以为首项，为公比的等比数列，从而得解；
（3）依题意的可能取值为，，，求出相应的概率，即可得到分布列与数学期望.
【详解】（1）依题意第2号社区有2名男医生的概率
；
（2）当时,
，
由 ,
故
，
即有，
又，则，
即数列是以为首项，为公比的等比数列，即，
所以.
（3）依题意的可能取值为，，，
易知10号社区有1名男医生的概率与有3名男医生的概率相同，即，
所以，
，
所以的分布列为：
所以.
19．(1)证明见解析
(2)椭圆（直线与此椭圆的两个交点除外）
(3)
【分析】（1）根据几何知识得，再利用三角形面积公式得，进而利用余弦定理得，则有，最后利用线面垂直的性质定理证明即可；
（2）根据面积得点D到直线AB的距离为1，进而有在以直线为轴，底面半径为1的圆柱的侧面上运动，结合线面角的概念即可求出点的运动轨迹；
（3）建立空间直角坐标系，求出椭圆方程及焦点坐标，设，在中，由余弦定理得，同理可得.方法一：结合，利用基本不等式中常数代换技巧求解最小值；方法二：先求得，令，令，利用导数法求解最小值即可.
【详解】（1）因为点在平面内的射影恰在棱上，所以，
又因为，所以，
因为和的面积均为，所以因为与均为锐角，所以，
再根据余弦定理可知，所以，
又，平面，所以平面；
（2）因为的面积为，，所以点D到直线AB的距离为1，
因此在以直线为轴，底面半径为1的圆柱的侧面上运动.
由题意知平面，，所以直线与平面所成的角为.
如图，平面与圆柱斜交，则平面与圆柱侧面的交线就是点的运动轨迹，
易知该交线为椭圆（直线与此椭圆的两个交点除外）.
（3）以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
下面求椭圆方程：由圆柱的底面半径，可知椭圆的短半轴长为1，
由，可知椭圆的长半轴长，
所以椭圆方程为，记该椭圆为.
又，即，所以为的一个焦点，
设的另一个焦点为，则，
设，在中，由余弦定理知，
解得.
直线与的另一个交点即为，同理可得.
下面求的最值：
方法一：注意到，
所以，
当且仅当时等号成立，
因此.
方法二：，令，令，
则，设，则（另一值舍去）.
当时，，当时，，
因此为的极小值点，也是最小值点，故.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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