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17.2 用公式法分解因式
第十七章 因式分解
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
用平方差公式分解因式
用完全平方公式分解因式
因式分解的一般方法
知识点
用平方差公式分解因式
知1－讲
1
1. 用平方差公式分解因式
符号表示 a2－b2＝(a＋b)(a－b)
文字叙述 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积
注意 上面式子中的a，b可以是单项式，也可以是多项式
把整式乘法的平方差公式的等号两边互换位置就得到此式子
知1－讲
2. 运用平方差公式分解因式的步骤
一判：判断是不是平方差，若负平方项在前面，则利用加法的交换律把负平方项交换放在后面；
二定：确定公式中的a和b，除a和b是单独一个数或字母外，其余情况都必须用括号括起来，表示一个整体；
三套：套用平方差公式进行分解；
四整理：将每个因式去括号，合并同类项化成最简形式.
知1－讲
特别解读
1. 因式分解中的平方差公式是乘法公式中的平方差公式逆用的形式.
2. 能用平方差公式分解因式的多项式的特点：系数是某个数的平方，指数要成双，减号在中央.
知1－练
例 1
分解因式：
(1)4x2－25y2； (2)－＋x4；
(2)(a＋2)2－1；(4)16(a－b)2－25(a＋b)2.
解题秘方：先确定平方差公式中的“a”和“b”，再运用平方差公式分解因式.
知1－练
(1)4x2－25y2；
(2)－＋x4；
(3)(a＋2)2－1；
解：4x2－25y2＝(2x)2－(5y)2＝(2x＋5y)(2x－5y)；
(a＋2)2－1＝(a＋2＋1)(a＋2－1)＝(a＋3)(a＋1)；
－＋x4 ＝x4－＝；
看成一个整体
知1－练
解：16(a－b)2－25(a＋b)2
＝[4(a－b)＋5(a＋b)][4(a－b)－5(a＋b)]
＝(4a－4b＋5a＋5b)(4a－4b－5a－5b)
＝(9a＋b)(－a－9b)
＝－(9a＋b)(a＋9b).
(4)16(a－b)2－25(a＋b)2.
分别看成一个整体
知1－练
1－1.下列多项式中， 能运用平方差公式分解因式的是(　　)
A. a2＋b2 B. 2a－b2
C. a2－b2 D. －a2－b2
C
知1－练
1－2. [期末·重庆合川区]因式分解：4(m－n)2－(m＋n)2＝_______________.
(3m－n)(m－3n)
知1－练
1－3. 分解因式：
(1)a2b2－16；
(2)100x2－9y2；
解：原式＝(ab＋4)(ab－4)；
原式＝(10x＋3y)(10x－3y)；
知1－练
(3)a4－1；
(4)49x2－(5x－1)2.
解：原式＝(a2＋1)(a2－1)；
原式＝[7x＋(5x－1)][7x－(5x－1)]
＝(12x－1)(2x＋1)．
知2－讲
知识点
用完全平方公式分解因式
2
1. 完全平方式：形如a2±2ab＋b2的式子叫作完全平方式.
能用完全平方公式分解因式的多项式的特点：首平方，尾平方，积的2倍在中央
知2－讲
完全平方式的条件：(1)多项式是二次三项式；(2)首末两项是两个数(或式子)的平方且符号相同，中间项是这两个数(或式子)的积的2倍，符号可以是“＋”，也可以是“－”.
知2－讲
2. 用完全平方公式分解因式
符号 表示 a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2
文字 叙述 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2 倍，等于这两个数的和(或差)的平方
注意 上面式子中的a，b可以是单项式，也可以是多项式
把整式乘法的完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2的等号两边互换位置，就得到此式
知2－讲
3. 公式法：把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式，运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法.
包括用a2－b2＝(a＋b)(a－b)和a2±2ab＋b2＝(a±b)2分解因式
知2－讲
特别解读
1. 因式分解中的完全平方公式是整式乘法中的完全平方公式逆用的形式.
2. 结果是和的平方还是差的平方由乘积项的符号确定，乘积项的符号可以是“+”，也可以是“-”，而两个平方项的符号必须相同，否则就不是完全平方式，也就不能用完全平方公式进行因式分解.
知2－练
例 2
已知9a2＋ka＋16是一个完全平方式，则k的值是__________.
解题秘方：根据平方项确定乘积项，进而确定字母的值.
解：因为9a2＝(±3a)2，16＝(±4)2，9a2＋ka＋16是一个完全平方式，
所以ka＝±2×3a·4＝±24a.
所以k＝±24.
有和的完全平方式和差的完全平方式两种形式
±24
知2－练
2－1. 若x2＋2(m－3)x＋16是关于x的完全平方式，则m＝________．
－1或7
知2－练
分解因式：
(1)x2－14x＋49； (2)－6ab－9a2－b2；
(3)a2－ab＋b2； (4)(x2＋5x)2＋18(x2＋5x)＋81.
解题秘方：先确定完全平方公式中的“a”和“b”，再运用完全平方公式分解因式.
例 3
(1)x2－14x＋49；
(2)－6ab－9a2－b2；
知2－练
解：x2－14x＋49＝x2－2·x·7＋72＝(x－7)2；
－6ab－9a2－b2 ＝－(9a2＋6ab＋b2)
＝－[(3a)2＋2·3a·b＋b2]
＝－(3a＋b)2；
当首项系数为负数时，一般要提出负号，这时括号内多项式的各项都要变号
(x2＋5x)2＋18(x2＋5x)＋81
＝(x2＋5x)2＋2·(x2＋5x)·9＋92
＝(x2＋6x＋9)2.
(3)a2－ab＋b2；
(4)(x2＋5x)2＋18(x2＋5x)＋81.
知2－练
看作一个整体
解：a2－ab＋b2＝－2a·b＋b2＝；
知2－练
3－1. 下列多项式不能运用完全平方公式分解因式的是(　　)
A. x2－2x＋4 B. x2－x＋1
C.16x2＋8x＋1 D. x2－6x＋9
A
知2－练
3－2.多项式x2－4x＋4 因式分解的结果是(　　)
A. x(x－4)＋4
B. (x＋2)(x－2)
C. (x＋2)2
D. (x－2)2
D
知2－练
3－3. 分解因式：
(1)4x2＋y2－4xy；
(2)9－12a＋4a2；
(3)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.
解：原式＝4x2－4xy＋y2＝(2x－y)2；
原式＝4a2－12a＋9＝(2a－3)2；
原式＝[(m＋n)－3]2＝(m＋n－3)2.
知3－讲
知识点
因式分解的一般方法
3
对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用提公因式法和公式法，其一般步骤如下：
知3－讲
知3－讲
特别提醒
当乘积中每一个因式都不能再分解时，因式分解就结束了.
知3－练
分解因式：
(1)－3a3b＋48ab3；
(2)x4－8x2＋16；
(3)25x2(a－b)＋36y2(b－a).
解题秘方：先观察有没有公因式，若有，要先提取公因式，然后通过观察项数确定能用哪个公式分解因式.
例 4
知3－练
(1)－3a3b＋48ab3；
(2)x4－8x2＋16；
解： －3a3b＋48ab3＝－3ab(a2－16b2)
＝－3ab(a＋4b)(a－4b)；
x4－8x2＋16＝(x2－4)2＝[(x＋2)(x－2)]2
＝(x＋2)2(x－2)2；
知3－练
(3)25x2(a－b)＋36y2(b－a).
解：25x2(a－b)＋36y2(b－a)
＝25x2(a－b)－36y2(a－b)
＝(a－b)(25x2－36y2)
＝(a－b)(5x＋6y)(5x－6y).
知3－练
4－1. [中考·聊城] 把8a3－8a2＋2a进行因式分解， 结果正确的是( )
A. 2a(4a2－4a＋1)
B. 8a2(a－1)
C. 2a(2a－1)2
D. 2a(2a＋1)2
C
知2－练
4－2. (1)[中考· 扬州] 分解因式：xy2－4x＝____________.
(2)[中考·常德]a3＋2a2b＋ab2＝________．
x(y＋2)(y－2)
a(a＋b)2
知2－练
4－3. 因式分解：
(1)－6ab＋3a2＋3b2；
(2)y2(2－m)＋x2(m－2)．
解：－6ab＋3a2＋3b2＝3(a2＋b2－2ab)＝3(a－b)2；
y2(2－m)＋x2(m－2)＝(m－2)(x2－y2)＝(m－2)(x＋y)(x－y)．
用公式法分解因式
用公
式法
分解
因式
用平方差公
式分解因式
用完全平方公
式分解因式
公式
a2－b2＝(a＋b)(a－b)
公式
a2±2ab＋b2＝(a±b)2

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