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17.1 用提公因式法分解因式
第十七章 因式分解
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
因式分解
公因式
用提公因式法分解因式
知识点
因式分解
知1－讲
1
1. 定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.
积中各因式都是整式，且相同因式的积要写成幂的形式
知1－讲
2. 整式乘法与因式分解的关系
整式乘法 因式分解
区别 化积为和 化和为积
联系 方向相反的变形： 多项式(和) 整式乘积(积) 因式分解
整式乘法
知1－讲
特别解读
1.因式分解的对象是多项式，结果是整式的积.
2.因式分解是恒等变形，形式改变但值不改变.
3.因式分解必须分解到每个多项式的因式不能再分解为止.
知1－练
例 1
下列从左到右的式子变形，属于因式分解的有( )
① 8xy3＝2xy·4y2； ② x2＋1＝x；
③(x＋5)(x－5)＝x2－25；④ x2＋2x－3＝x(x＋2)－3；
⑤ x2y＋xy2＝xy(x＋y).
A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个
解题秘方：紧扣因式分解的定义进行识别.
知1－练
答案：D
解：
序号 等号左边是不是多项式 等号右边是不是整式的积 结论
① 否 不是因式分解
② 是 否，不是整式 不是因式分解
③ 否 不是因式分解
④ 是 否 不是因式分解
⑤ 是 是 是因式分解
知1－练
1－1. 下列各式由左到右的变形中， 属于分解因式的是(　　)
A. a(m＋n)＝am＋an
B. a2－b2－c2＝(a－b)(a＋b)－c2
C.10x2－5x＝5x(2x－1)
D. x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
C
知1－练
下列因式分解正确的是( )
A. x3y－2x2y＋xy＝xy(x2－2x)
B. x2－x＋＝
C. x2－2x＋4＝(x－2)2
D. 4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y)
例 2
知1－练
解题秘方：根据因式分解与整式乘法之间的关系进行判断.
答案：B
解：利用整式的乘法法则将各选项中等式的右边展开，与等式的左边相比较，左右两边相同的只有选项B.
2－1. 下列因式分解正确的是( )
A. ax＋ay＝a(x＋y)＋1
B. 3a＋3b＝3(a＋b)
C. a2＋4a＋4＝(a＋4)2
D. a2＋b＝a(a＋b)
B
知1－练
知1－练
例 3
仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知把二次三项式x2－4x＋m分解因式后有一个因式是x＋3，求其另一个因式及m的值.
知1－练
解：设另一个因式为x＋n，则x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，即x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n.
所以 解得
故另一个因式为x－7，m的值为－21.
知1－练
解题秘方：利用因式分解与整式乘法是互逆变形，可以将因式分解的结果利用整式乘法算出，并与已知多项式比较，从而解决问题.
知1－练
(1)若二次三项式x2－5x＋6可分解为(x－2 )(x＋a)，则a＝_________；
(2)若二次三项式2x2＋bx－5 可分解为(2x－1 )(x＋5)，则b＝________；
－3
9
知1－练
(3)仿照以上方法解答问题：已知把二次三项式2x2＋5x－k分解因式后有一个因式为2x－3，求其另一个因式及k的值.
知1－练
解：设另一个因式为x＋q，则2x2＋5x－k＝(2x－3)(x＋q)，
即2x2＋5x－k＝2x2＋(2q－3)x－3q，
所以解得
故另一个因式为x＋4，k的值为12.
展开后对应项的系数相等
知1－练
3-1. 小梅和小丽在因式分解关于x的多项式x2－ax＋b时， 小梅获取的其中一个正确的因式为x＋3， 小丽获取的另一个正确的因式为x－2，则的值为( )
A.－ B. C.－3 D.3
D
3-2. 关于x的代数式2x2＋mx－15分解因式得(x－3)(nx＋5)，则mn的值为_________．
知1－练
1
3－3. 已知二次三项式2x2＋3x－k分解因式后有一个因式是x－5，求另一个因式及k的值.
知1－练
知2－讲
知识点
公因式
2
1. 定义：一个多项式中各项都含有的公共的因式，叫作这个多项式各项的公因式.
知2－讲
特别解读
1. 公因式必须是多项式中每一项都含有的因式. 只在某个或某些项中含有而其他项中没有的因式不能成为公因式的一部分.
2. 公因式可以是单项式或多项式，还可以是多项式的幂的形式.
知2－讲
2. 确定公因式的步骤
步骤 举例(2a2b与4a5b2)
(1)定系数：若多项式中各项系数都是整数，则取各项系数的最大公因数 2(取2 和4 的最大公因数)
(2)定字母(或多项式)：取各项中的相同字母因式(或相同多项式因式) a，b
若多项式中首项的符号是“－”，则公因式的符号一般为“－”
a－b与b－a可以变为相同的因式
知2－讲
续表
步骤 举例(2a2b与4a5b2)
(3)定指数：确定各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数，取其中指数最低的 a指数最低为2，b指数最低为1
(4)写结果 公因式为2a2b
知2－练
例 4
指出下列多项式各项的公因式：
(1)3a2y－3ay＋6y； (2)4xy3－8x3y2；
(3)a(x－y)3＋b(x－y)2＋(x－y)3；
(4)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b.
解题秘方：紧扣公因式的定义求解.
知2－练
解：(1)中各项的公因式为3y；
(2)中各项的公因式为4xy2；
(3)中各项的公因式为(x－y)2；
(4)中各项的公因式为－9a2b.
知2－练
4－1.多项式8a3b2＋12ab3c各项的公因式是( )
A. abc B. ab2
C. 4ab2 D. 4ab2c
C
知2－练
4－2. 2a2与4ab的公因式为_______.
4－3. 4x(m－n)＋8y(n－m)2各项的公因式是________.
2a
4(m－n)
知3－讲
知识点
用提公因式法分解因式
3
1. 提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
用字母表示为：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c).
知3－讲
2. 用提公因式法分解因式的一般步骤
知3－讲
特别解读
1. 提公因式法实质上是逆用乘法的分配律.
2. 提公因式法就是把一个多项式分解成两个因式的积的形式，其中的一个因式是各项的公因式，另一个因式是多项式除以这个公因式所得的商.
知3－讲
特别提醒：(1)多项式第一项系数为负时，一般提出负号，且各项都变号；(2)公因式的提取要彻底，分解因式的另一个因式中，不能有公因式.
知3－练
例 5
将下列各式分解因式：
(1)x2y－3xy2；(2)6x3y2－8xy3z；
(3)－4a3b2＋12a2b－4ab；(4)3a(a－2b)＋6b(2b－a)；
(5)5m(y－x)2－10(x－y)3.
解题秘方：(1)(2)(3)紧扣提公因式法的步骤分解因式，(4)(5)根据(a－b)2n＝(b－a)2n，(a－b)2n－1＝－(b－ a)2n－1(n为正整数)进行变形后再分解.
知3－练
(1)x2y－3xy2；
(2)6x3y2－8xy3z；
6x3y2－8xy3z＝2xy2·3x2－2xy2·4yz
＝2xy2(3x2－4yz)；
确定公因式
解：x2y－3xy2＝xy(x－3y)；
知3－练
(3)－4a3b2＋12a2b－4ab；
－4a3b2＋12a2b－4ab＝－(4a3b2－12a2b＋4ab)
＝－(4ab·a2b－4ab·3a＋4ab·1)
＝－4ab(a2b－3a＋1).
4ab与公因式相同，提取公因式后，此项为“1”，此处容易漏掉“1”这一项而导致错误
(4)3a(a－2b)＋6b(2b－a)；
(5)5m(y－x)2－10(x－y)3.
知3－练
解：3a(a－2b)＋6b(2b－a)
＝3(a－2b)(a－2b)
＝3(a－2b)2；
利用互为相反数凑公因式
看作一个整体
5m(y－x)2－10(x－y)3＝5m(x－y)2－10(x－y)3
＝5(x－y)2[m－2(x－y)]＝5(x－y)2(m－2x＋2y).
知3－练
5－1. 下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( )
A. x2－y B. x2－2x
C. x2＋y2 D. x2－xy＋y2
B
知3－练
5－2. 下列因式分解正确的是(　　)
A. a2b－2ab＝a(ab－2b)
B. －a2b＋2ab＝－ab(a＋2)
C. ab－ab2＝ab
D. －a2b＋ab2＝－ab(a－b)
D
知3－练
5－3. 分解因式：
(1)ab＋a2b2－a3b2；
(2)3x3－9x2－3x；
解：原式＝3x·x2－3x·3x－3x·1＝3x(x2－3x－1)；
解：原式＝ab(1＋ab－a2b)；
知3－练
(3)－15a－10ab＋5abc；
(4)x(x－y)－y(y－x)；
原式＝x(x－y)＋y(x－y)＝(x－y)(x＋y)；
解：原式＝－(15a＋10ab－5abc)＝－(5a·3＋5a·2b－5a·bc)＝－5a(3＋2b－bc)；
用提公因式法分解因式
因式
分解
提公因式法
公因式
概念
互逆变形
检验
整式
乘法

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