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(共43张PPT)
18.5 分式方程
第十八章 分式
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
分式方程的概念
分式方程的解法
分式方程的应用
知识点
分式方程的概念
知1－讲
1
1. 分式方程
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的依据.
知1－讲
2. 分式方程应满足的条件
(1)是方程；
(2)含有分母；
(3)分母中含有未知数.
以上三者缺一不可.
知1－讲
特别提醒
1. 识别分式方程时，不能对方程进行约分或通分变形，更不能用等式的性质变形.
2.分母中有字母，但字母不是未知数的方程也不是分式方程.
知1－练
例 1
判断下列方程是不是分式方程，并说明理由.
(1)＝8； (2)＝；(3)＝1；
(4)＝；(5)－2＝x(a为非零常数).
解题秘方：利用判别分式方程的依据——分母中含有未知数进行识别.
知1－练
解：(1)不是分式方程，因为分母中不含有未知数.
(2)是分式方程，因为分母中含有未知数.
(3)是分式方程，因为分母中含有未知数.
(4)是分式方程，因为分母中含有未知数.
(5)不是分式方程，因为分母中虽然含有字母a，但a为非零常数，不是未知数.
知1－练
1-1. 下列方程中不是分式方程的是( )
A.=3 B.=
C.=2 D.=
C
知1－练
1-2. 下列关于x的方程：
①x2＝1；②－x2＝1；
③＝x；④＋3＝；
其中是分式方程的是________(填序号).
③④
知2－讲
知识点
分式方程的解法
2
1. 解分式方程的基本思路
去分母，把分式方程转化为整式方程.
2. 解分式方程的一般步骤
知2－讲
3. 检验分式方程解的方法
(1)直接检验法：将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确.
(2)公分母检验法：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
方法比较简单，计算量小，因此被广泛运用
知2－讲
4. 增根(拓展)
在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的解使最简公分母的值为0, 则这个解叫做原分式方程的增根.
知2－讲
特别解读
1. 解分式方程的关键是去分母. 去分母时不要漏乘不含分母的项，当分子是多项式时要用括号括起来.
2. 解分式方程一定要检验.
知2－讲
拓宽视野
产生增根的原因：
在将分式方程化为整式方程时，方程两边同乘的最简公分母是一个含未知数的式子，这个式子有可能为0. 如果为0，那么对于整式方程来说，求出的解成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解，它是原分式方程的增根.
知2－练
解下列方程：
(1)＝；(2)＝－2；
(3)－＝1；(4)＋＝.
例 2
解题秘方：将分式方程转化为整式方程，通过求整式方程的解并检验得到分式方程的解.
知2－练
解：方程两边乘(x－4)(x－6)，
得x(x－6)＝(x＋2)(x－4). 解得x＝2.
检验：当x＝2 时，(x－4)(x－6)≠ 0.
∴原分式方程的解为x＝2.
(1)＝；
知2－练
解：方程两边乘x－3，得2－x＝－1－2(x－3)，
解得x＝3.
检验：当x＝3 时，x－3＝0，
因此 x＝3不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
(2)＝－2；
知2－练
解：方程两边乘3(x－1)，
得4x＋6－3(5x－4)＝3(x－1)，解得x＝.
检验：当x＝时，3(x－1)≠ 0.
所以，原分式方程的解为x＝.
(3)－＝1；
知2－练
解：原方程可化为＋＝ .
方程两边乘x(x＋2)(x－2)，
得4(x－2)＋7x＝6(x＋2)，解得x＝4.
检验：当x＝4 时，x(x＋2)(x－2)≠ 0.
所以，原分式方程的解为x＝4.
(4)＋＝.
知2－练
2-1.[ 中考·济宁] 解分式方程1－＝－时，去分母变形正确的是( )
A.2－6x＋2＝－5
B.6x－2－2＝－5
C.2－6x－1＝5
D.6x－2＋1＝5
A
知2－练
2-2.[中考·北京] 方程＋＝0 的解为_______.
x＝－1
知2－练
2-3.[中考·连云港]解方程：=－3.
解：方程两边乘x－2，得2x－5＝3x－3－3(x－2)，解得x＝4.
检验：当x＝4时，x－2≠0.
所以，原分式方程的解为x＝4.
知3－讲
知识点
分式方程的应用
3
1. 列分式方程常用的等量关系
(1)行程问题：速度×时间＝路程.
(2)利润问题：利润＝售价－进价；利润率＝利润÷进价×100%.
(3)工程问题：工作量＝工作时间×工作效率；总工作量＝各个分工作量之和.
(4)储蓄问题：本息和＝本金＋利息.
知3－讲
2. 列分式方程解应用题的一般步骤
(1)审：即审题, 根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系.
(2)设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量.
(3)列：即列方程，根据等量关系列出分式方程.
(4)解：即解所列的分式方程，求出未知数的值.
(5)验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义.
(6)答：即写出答案，注意单位和答案要完整.
知3－讲
特别解读
1. 审题时，先寻找题目中的关键词，然后借助列表、画图等方法准确找出等量关系.当题目中包含多个等量关系时，要选择一个能够体现全部(或大部分)数量的等量关系列方程.
2. 设未知数时，一般题中问什么就设什么，即设直接未知数；若设直接未知数难以列方程，则可设另一个相关量为未知数，即设间接未知数；有时设一个未知数无法表示出等量关系，可设多个未知数，即设辅助未知数.
3. 应用题中解分式方程同样要验根.
知3－练
某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动．纪念馆距学校72 km，一部分学生乘坐大型客车先行，出发12 min 后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达．已知小型客车的速度是大型客车速度的1.2 倍，求大型客车的速度.
例 3
知3－练
思路导引：
知3－练
解：设大型客车的速度为x km/h，则小型客车的速度为1.2x km/h，12 min= h．
根据题意，得－= ，解得x = 60．
经检验，x = 60 是方程的解．
答：大型客车的速度是60 km/h.
知3－练
3-1.[中考· 广州] 随着城际交通的快速发展， 某次动车平均提速60 km/h, 动车提速后行驶480 km 与提速前行驶360 km 所用的时间相同． 设动车提速后的平均速度为x km/h, 则下列方程正确的是( )
A.= B.=
C.= D.=
B
知3－练
某市区一条主要街道的改造工程有甲、乙两个工程队投标．经测算：若由两个工程队合作，12 天恰好完成；若两个队合作9 天后，剩下的由甲队单独完成，还需5 天时间，现需从这两个工程队中选出一个队单独完成，从缩短工期角度考虑，你认为应该选择哪个队？为什么？
例 4
知3－练
思路导引：
工作效率 工作时间/天 工作总量
两个队合作 9
甲队 5
等量关系 两个队合作9 天的工作量＋甲队单独工作5 天的工作量＝1
知3－练
解：从缩短工期角度考虑，应该选择甲队. 理由：设甲队单独完成工程需x 天.
根据题意，得×9＋×5=1，解得x =20 .
经检验，x =20 是方程的解.
－= ，所以乙队单独完成工程需30 天.
因为20 <30，所以从缩短工期角度考虑，应该选择甲队.
知3－练
4-1.“ 畅通交通， 扮靓城市”， 某市在道路提升改造中， 将一座长度为36 m 的桥梁进行重新改造． 为了尽快通车， 某施工队在实际施工时， 每天工作效率比原计划提高了50%，结果提前2天成功地完成了大桥的改造任务， 那么该施工队原计划每天改造多少米？
知3－练
知3－练
[情境题 校园文化]为了进一步丰富校园文体活动，某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用480 元购买足球的数量和用390 元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多15 元．
例 5
知3－练
思路导引：
(1)足球和排球的单价各是多少元？
知3－练
解：设足球的单价是x 元，则排球的单价是(x－15)元.
根据题意，得= ，解得x =80 .
经检验，x =80 是方程的解，且符合题意.
∴ x－15 = 65．
答：足球的单价是80 元，排球的单价是65 元．
知3－练
思路导引：
(2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100 个，但要求其总费用不超过7 550 元，那么学校最多可以购买多少个足球？
知3－练
解：设学校可以购买m 个足球，则购买(100－m)个排球.
根据题意，得80m＋65(100－m)≤ 755 0，
解得m ≤ 70.
又因为 m 为正整数，所以m 可以取的最大值为70．
答：学校最多可以购买70 个足球．
知3－练
5-1.[中考· 永州] 某水果店搞促销活动，对某种水果打8 折出售，若用60 元钱买这种水果， 可以比打折前多买3 千克. 设该种水果打折前的单价为x元， 根据题意可列方程为 _________________.
知3－练
5-2. 某校篮球社团人数迅增，急需购进A，B 两种品牌篮球， 已知A 品牌篮球的单价比B 品牌篮球单价的2 倍少48 元，采购相同数量的A，B 两种品牌篮球分别需要花费9 600 元和7 200 元.A，B 两种品牌篮球的单价分别是多少元？
知3－练
分式方程
分
式
方
程
分式方程
的应用
列
解法
增根
产
生

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