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18.1 分式及其基本性质
第十八章 分式
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
分式的定义
分式有意义和无意义的条件
分式的值为0的条件
分式的基本性质
分式的约分
分式的通分
知识点
分式的定义
知1－讲
1
1. 定义：如果A，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫作分式，其中A 叫作分子，B 叫作分母.
分式的“三要素”：(1)形如的式子；
(2)A，B 为整式；(3)分母B 中含有字母.
知1－讲
知1－讲
2. 分式与分数、整式的关系
分数 分式
联系 都是形如的式子 区别 分子与分母都是整数，即都不含字母 分母中一定含有字母
知1－讲
特别解读
1.分式可看成是两个整式的商，分子是被除式，分母是除式，分数线相当于除号，分数线还具有括号作用和整体作用.
2 .判断一个式子是不是分式，要看式子原本的样子，不能化简后再判断.如：是分式.
知1－练
例 1
下列各式，哪些是分式？哪些是整式？
，－2x2，，，，，(3x－y)，，
，.
解题秘方：利用分式的三要素判断即可，关键是看分母中是否有字母.
虽然分母中含有字母，但分子不是整式，所以不是分式
知1－练
解: 分式有，，， ；
整式有－2x2，， ， (3x－y)， .
π是数，不是字母.
知1－练
1-1. [中考· 怀化] 式子x，，，x2－，，中，属于分式的有(　　)
A. 2 个 B. 3 个
C. 4 个 D. 5 个
B
知2－讲
知识点
分式有意义和无意义的条件
2
分式有意义的条件 分式的分母不等于0，即B ≠ 0
分式无意义的条件 分式的分母等于0，即B＝0
知2－讲
知2－讲
特别提醒
1. 讨论分式有(无)意义，一定要对原分式进行讨论，而不能将原分式化简后再讨论.
2. 没有特别说明，所遇到的分式都是有意义的，即分式中的分母不等于0.
知2－练
x满足什么条件时下列分式有意义？
(1)；(2)；
(3)； (4).
例 2
解题秘方：分母的值不等于0 时，分式有意义.
(1)；
(2)；
知2－练
解：当5x－3 ≠ 0，即x ≠ 时，分式有意义.
当|x|－1 ≠ 0，即x ≠ ±1 时，分式有意义.
(3)；
(4).
知2－练
解：因为无论x取什么值，都有x2＋3 ＞ 0，
所以 x取任何实数，分式都有意义；
当(x－2)(x＋4)≠ 0，即x ≠ 2 且x ≠ －4 时，
分式有意义.
知2－练
2-1.[中考· 广西] 若分式有意义，则x 的取值范围是( )
A. x ≠ －1 B. x ≠ 0
C. x ≠ 1 D. x ≠ 2
A
知2－练
2-2. 下列各式中，无论x 取何值， 分式都有意义的是( )
A. B. C. D.
D
知2－练
分式中的x满足什么条件时分式无意义？
解题秘方：分母的值等于0时，分式无意义.
例 3
解：要使分式无意义，则分母x2－16＝0，
即x2＝16，解得x＝±4.
所以当x＝±4 时，分式 无意义.
方法总结：1. 求分式有意义时字母的取值范围的方法：根据分式有意义的条件—— 分式的分母不为0 列不等式(组)求解，得分式有意义时字母的取值范围.
2 . 求分式无意义时字母的取值的方法：令分母为0构造方程，求出相应字母的值，即为分式无意义时字母的取值.
知2－练
3-1. 已知x=2 时，分式无意义，则□所表示的代数式可能是( )
A. x－2 B. x＋2
C. x D. 2x
A
知3－讲
知识点
分式的值为0的条件
3
1. 分式的值为0的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0.
即：对于分式，当A＝0且B ≠ 0 时，＝0.
知3－讲
2. 对常见的几种特殊分式值的讨论
(1)若的值为正数，则A、B同号.
(2)若的值为负数，则A、B异号.
(3)若的值为1，则A＝B，且B ≠ 0.
(4)若的值为－1，则A＝－B，且B ≠ 0.
知3－讲
特别提醒
1.分式的值是在分式有意义的前提下才考虑的，所以分式 的值为0 的条件为A＝0且B ≠ 0，二者缺一不可.
2.对于分式的几种特殊值的讨论既要考虑分子，又要考虑分母.
知3－练
当x取何值时，下列分式的值为0 ？
(1)；(2)；(3)；(4).
例 4
解题秘方：分式的值为0的条件为分子为0且分母不为0.
(1)；
知3－练
解：由得x＝－2，
所以当x＝－2 时，分式的值为0.
(2)；
知3－练
解：由得x =2 .
所以当x =2 时，分式的值为0 .
知3－练
解：因为无解，
所以没有使分式的值为0 的x 的值.
(3)；
知3－练
解：由得x=±.
所以当x =±时，分式的值为0 .
(4).
知3－练
4-1.[中考· 常州] 若分式的值是0，则实数x 的值是( )
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
B
知3－练
4-2. 当x＝1时，下列分式的值为0的是( )
A. B.
C. D.
B
知3－练
4-3. 当x＝________时，分式的值为0.
－3
知4－讲
知识点
分式的基本性质
4
1. 分式的基本性质.
基本性质 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变
字母表示 ＝，＝ (C ≠ 0)，其中A，B，C是整式
用途 进行分式的恒等变形
知4－讲
特别解读
1. 应用此性质时，要理解“同”的含义：一是要同时做“乘法”(或“除法”)运算；二是“乘”(或“除以”)的对象必须是同一个不等于0的整式.
2. 运用分式的基本性质进行分式的变形是恒等变形，它不改变分式值的大小，只改变其形式.
3.若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括起来.
知4－讲
2. 分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变.
用字母表示如下：
(1)＝＝－＝－；
(2)－＝－＝＝ .
知4－练
下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1)＝ (y ≠ 0)；
(2)＝.
例 5
解题秘方：对比等号左右两边分子和分母同时乘或除以的式子．
知4－练
解：(1)分式的分子和分母乘同一个不等于0的整式y，分式的值不变，即＝＝；
(2)分式的分子和分母除以同一个不等于0的整式x，分式的值不变，即＝＝．
知4－练
5-1. 下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1)＝；
知4－练
(2).
知4－练
写出下列等式中未知的分子或分母：
(1)=； (2)=；
(3)=； (4) =.
例 6
a2－ab
x
2x
m2－n2
知4－练
解题秘方：观察等号两边已知的分子或分母发生了什么样的变化，再根据分式的基本性质用相同的变化确定所要填的式子.
知4－练
解：(1) (2)
(3) (4)
知4－练
6-1.下列式子一定成立的是( )
A.= B.=
C. = D.=
B
知4－练
6-2. 根据分式的基本性质填空：
(1)=； (2)=；
(3)=； (4)=.
15x
a2b
m＋n
x
知4－练
不改变分式的值，使下列各分式的分子与分母都不含“－”号或分子、分母中的第一项都不含“－”号.
(1)；(2)；(3)；(4)－.
解题秘方：分式的分子、分母及分式本身的正负号，同时改变其中两个，分式的值不变.
例 7
(1)；
(2)；
(3)；
(4)－.
知4－练
解：＝；
＝－；
＝－；
－＝.
知4－练
7-1.[中考·扬州] 分式可变形为( )
A. B.－ C. D. －
7-2. 不改变分式的值， 使分子、分母的第一项系数都是正数，则= __________.
D
知4－练
把分式(n ≠ 0)中的m和n同时扩大为原来的2倍，那么分式的值_______________.
缩小为原来的
例 8
思路导引：
知4－练
解：把分式(n ≠0)中的m和n同时扩大为原来的2 倍，则分式变为＝＝= × ，因此分式的值缩小为原来的.
知4－练
8-1. 若x，y(x，y均不为0)的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是( )
A. B.
C. D.
D
知4－练
不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中的各项系数都化为整数.
(1)；(2).
思路导引：
例 9
(1)；
(2).
知4－练
解：＝＝；
＝＝.
知4－练
9-1. 不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数.
(1)；
知4－练
(2).
知5－讲
知识点
分式的约分
5
1. 分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分.
2. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式.
知5－讲
特别解读
1. 约分的依据是分式的基本性质，关键是确定分子和分母的公因式.
2. 约分是针对分式的分子和分母整体进行的，而不是针对其中的某些项，因此约分前一定要确认分子和分母都是乘积的形式.
3. 约分一定要彻底，其结果必须是最简分式或整式.
4.分式的约分是恒等变形，约分前后分式的值不变，即“形变值不变”
知5－讲
3. 找公因式的方法
(1)当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式；
(2)当分子、分母中有多项式时，先把多项式分解因式，再找公因式.
知5－练
约分：(1)；(2)；(3).
解题秘方：(1)中的分子、分母都是单项式，可以直接约分；(2)(3)中的分子、分母都是多项式，先将多项式分解因式，再进行约分.
例10
(1)；
(2)；
知5－练
解： ＝＝；
＝＝m＋n；
(3).
知5－练
解：＝＝＝－.
知5－练
10-1. 约分：
(1)；
(2)；
(3).
知5－练
下列各式中，最简分式有_____________.
，，，.
解题秘方：根据最简分式的定义识别.
解：因为＝＝，
＝ ＝，所以最简分式有和 .
例11
知5－练
11-1. [中考·滨州] 下列分式中， 最简分式是( )
A. B.
C. D.
A
知6－讲
知识点
分式的通分
6
1. 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分.
2. 最简公分母：通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫作最简公分母.
通分的关键是确定几个分式的最简公分母
知6－讲
3. 确定最简公分母的方法
(1)当各分母都是单项式时，取各分母系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积，凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
(2)当各分母都是多项式且能因式分解时，要先把它们分解因式，再按照各分母都是单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面确定最简公分母.
知6－讲
知6－讲
特别解读
约分与通分的联系与区别：
1. 约分与通分都是对分式进行恒等变形，即变形之后每个分式的值都不变.
2. 约分是针对一个分式来说的，约分可使分式得以简化，而通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母的分式化为同分母的分式.
知6－讲
4. 通分的一般步骤
(1)确定最简公分母；
(2)用最简公分母分别除以各分式的分母求商；
(3)用所得的商分别乘各分式的分子、分母得出同分母分式.
特别提醒
通分时确定了分母乘什么，分子也必须随之乘什么，要防止只对分母变形而忽略了分子，导致变形前后分式的值发生变化.
知6－练
把下列各组分式通分：
(1)和；(2)和；
(3)，和.
解题秘方：先确定最简公分母，然后再通分.
先因式分解，再取系数的最小公倍数和相同因式的最高次幂
例12
知6－练
解：最简公分母是12x3y2z3，
＝＝，
＝＝.
(1)和；
4和6的最小公倍数是12，x，y，z分别取最高次幂.
知6－练
解：最简公分母是(x＋1)(x－1)，
＝ ＝＝，
＝＝＝.
(2)和；
两个多项式的积.
知6－练
解：最简公分母是3(x－y)2，
＝＝＝，
＝－＝－＝－，
＝＝＝.
(3)，和.
相同因式的最高次幂
知6－练
12-1. 分式与的最简公分母是_________ .
12-2 .和的最简公分母是 __________．
12a3bc
4(y－1)2
知6－练
12-3. 通分：
(1)与；
知6－练
(2)，与.
分式及其基本性质
分
式
分式有意义
的条件
分式的值为
0的条件
分式的基
本性质
约分
通分

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