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第10章二元一次方程组检测卷-2024-2025学年数学七年级下册人教版（2024）
一、单选题
1．下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若是关于的二元一次方程的解，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
3．解二元一次方程组时，由可得（ ）
A． B． C． D．
4．已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
5．某校七年级有3个班，已知一班、二班的平均人数与三班人数之和为45，二班、三班的平均人数与一班人数之和为48，一班、三班的平均人数与二班人数之和为47，则三个班的总人数为( )
A．68 B．70 C．72 D．74
6．创建文明城市，构建美好家园，为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶，已知购买4个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要540元；购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元，设A型垃圾桶的单价为x元，B型垃圾桶的单价为y元，小亮用二元一次方程组解决此问题，若已经列出一个方程，则符合题意的另一个方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为钱，乙持钱数为钱，列出关于、的二元一次方程组（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
8．已知二元一次方程，若时，则 ．
9．如果方程组 的解满足，那么a的值是 ．
10．定义运算“”，规定，其中为常数，且，则 ．
11．有甲、乙、丙三种货物，若购买甲3件、乙2件、丙1件，则需525元；若购买甲2件、乙3件、丙4件，则需675元；若购买甲、乙、丙各1件，则需 元．
12．若关于x、y的二元一次方程组和有相同的解，则的值= ．
13．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，《孙子算经》中的数学问题大多浅显易懂，其中一些趣味问题在后世广为流传．其中有这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为 ．
14．已知方程组的解是，则方程组的解为 ．
三、解答题
15．用指定的方法解下列方程组：
(1)（代入法）
(2)（加减法）
16．若关于的二元一次方程组的解与方程的一组解相同，求的值．
17．随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进种头盔3个和种头盔4个共需345元，种头盔4个和种头盔3个共需390元．
(1)求，两种头盔的单价各是多少元（请列方程组求解）；
(2)若该商店计划正好用450元购进，两种头盔（，两种头盔均购买），销售1个种头盔可获利35元，销售1个种头盔可获利15元，假如这些头盔全部售出，则购买_______个种头盔和________个种头盔获得利润最大（请直接写出答案）．
18．某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）．加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计）
(1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片______张，正方形铁片______张；
(2)现有长方形铁片100张，正方形铁片50张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？
(3)把长方体铁容器加盖则可以加工成为铁盒．现准备用33张铁板先做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板有两种裁法：
方法1：可以裁出3个长方形铁片；
方法2：可以裁出4个正方形铁片．
若充分利用这些铁板加工成铁盒，则可以加工成多少个铁盒？
19．杆秤是我国度量衡“三大件（尺、斗、秤）”的重要组成部分，是中华民族衡重的基本工具．杆秤依据杠杆原理制作而成，一般由秤钩（秤盘）、秤杆和秤砣三部分组成，秤杆上的刻度叫做“秤星”，古时候秤杆叫做“权”，秤砣叫做“衡”，“权衡”一词就来源于此．
如图1是小阳同学利用自制杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起（相当于支点）处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，设秤盘和货物的总质量为，秤砣的质量为，当秤杆平衡时，有，可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的质量．如图2所示，称量货物甲时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物甲的质量是；如图3所示，称量货物乙时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物乙的质量是．根据图中所给数据，回答下列问题：
(1)分别求出秤盘和秤砣的质量；
(2)求这把杆秤的秤星对应的刻度是多少克．
20．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“t系数补角”．例如，，有，则是的“5系数补角”．
备用图如下：
(1)若，在中，的“3系数补角”是 ；
(2)若比的2倍多，且是的“4系数补角”，求的度数；
(3)在平面内，，点E为直线AB上一点，点F为直线CD上一点．点G为平面内一点，连接GE，GF，，若是的“6系数补角”，请将图形补充完整，并求的大小．
《第10章二元一次方程组检测卷-2024-2025学年数学七年级下册人教版（2024）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B C D B B D B
1．B
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键．
根据二元一次方程组的定义：方程组中含有两个未知数，且含未知数的式子都是整式，含未知数的项的次数是1，这样的方程组叫做二元一次方程组．据此逐项判断即可．
【详解】解：A、不是二元一次方程组，所以A选项不合题意；
B、是二元一次方程组，所以B选项符合题意；
C、不是二元一次方程组，所以C选项不符合题意；
D、有三个未知数，不是二元一次方程组，所以D选项不符合题意．
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了根据二元一次方程的解求参数，将代入中计算求解，即可解题．
【详解】解：若是关于的二元一次方程的解，
，
解得，
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了加减消元法．根据加减消元法即可得．
【详解】解：得：，
即，
故选：D．
4．B
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组、解一元一成方程等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．
由题意得，然后解方程组求解的值，再根据解互为相反数得到方程求解即可．
【详解】解：由题意得：
，
②①得： 解得：，
将代入①可得，可得：，
把代入：，
故选：B
5．B
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意．根据“一班、二班的平均人数与三班人数之和为45，二班、三班的平均人数与一班人数之和为48，一班、三班的平均人数与二班人数之和为47”列出三元一次方程组，再根据整体思想求解．
【详解】解：设一班为x人，二班有y人，三班由z人，
则：，
方程组可化为：，
得：，
∴，
故选：B．
6．D
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“购买4个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要540元；购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元”列出二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：∵购买4个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要540元，
∴．
∵购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元，
∴．
故选：D．
7．B
【分析】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系是解题关键．根据甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱可列方程为，根据乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱可列方程为，由此即可得．
【详解】解：由题意，可列二元一次方程组为，
故选：B．
8．2
【分析】本题考查了二元一次方程的解，依题意，把代入，得，解得，即可作答．
【详解】解：∵二元一次方程，
∴把代入，得，
解得，
故答案为：2．
9．
【分析】本题考查根据方程组的解的情况，求参数的值，把不含参数的两个方程重新组合成新的方程组，求解后，将解代入含参方程，进行求解即可．
【详解】解：∵方程组 的解满足，
∴方程组的解也是方程组的解，
解，得：，
把代入，得：，
解得：；
故答案为：．
10．2
【分析】此题考查了解二元一次方程组，已知等式利用新定义化简，求出a与b的值，即可求出所求式子的值．
【详解】解：根据题中的新定义化简已知等式得：，
解得：，
则，
故答案为：2．
11．240
【分析】本题考查三元一次方程组的应用．设购甲、乙、丙三种货物各1件，分别需要元，元，元，根据题意列出三元一次方程组，再利用加减法求出的值即可．
【详解】解：设购甲、乙、丙三种货物各1件，分别需要元，元，元，
根据题意，得，
得：，
整理，得．
∴购买甲、乙、丙各1件，则需240元；
故答案为：240．
12．
【分析】本题考查了解二元一次方程组，方程运算，理解题意中方程组有相同解的意义是解题的关键．将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，代入，含有的两个方程中联立求得的值，再代入代数式中求解即可．
【详解】解：根据题意，
得：，
将代入①得：，
将代入得：
，
得：，
将代入④得：，
当时，
故答案为：．
13．
【分析】本题是二元一次方程组的应用，列方程组时要抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系；因为此类题要列二元一次方程组，因此要注意两句话；同时本题要注意绳子对折，即取绳子的二分之一．由绳子比木头长4.5尺得：；由绳子对折后比木头短1尺得：；组成方程组即可．
【详解】解：由题意得：；
故答案为：．
14．
【分析】本题考查二元一次方程组的解，换元法解二元一次方程组，将转化为：，根据方程组的解是，得到的解为：，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵方程组的解是，
∴的解为：，
∴；
故答案为：．
15．(1)；
(2)．
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是掌握消元的方法．
（1）运用代入法解答即可；
（2）运用加减法解答即可．
【详解】（1）解：，
把①代入②得：，
解得，
把代入①得：，
∴方程组的解为；
（2）解：，
得：③，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
方程组的解为．
16．
【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，根据题意可得方程组，解方程组得到，再把代入方程中求出的值即可．
【详解】解：由题意得：
解得，
将代入，得：，
∴．
17．(1)A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元
(2)2，10
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
（1）设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元；列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购进A种头盔m个，B种头盔n个，根据该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题．
【详解】（1）解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元．
（2）解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个，
由题意得：，
整理得：，
、n均为正整数，
或，
该商店共有2种购买方案：
①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元；
②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元；
，
最大利润是220元．
即购买2个A种头盔，10个B种头盔获得利润最大．
故答案为：2，10
18．(1)7，3
(2)加工的竖式铁容器有10个，横式铁容器各有20个
(3)18个
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，掌握解二元一次方程的方法是解题的关键．
（1）如图得加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1 张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2 张，即可求解．
（2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器各有y个，根据题意列出方程组求解即可．
（3）设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，根据题意列出方程组求解即可．
【详解】（1）解：如图，加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1 张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2 张．
故如果加工竖式铁容器与横式铁容器各 1 个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3张，
故答案为：7，3；
（2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器各有y个，由题意得
解得
故加工的竖式铁容器有10个，横式铁容器各有20个；
（3）解：设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，由题意得
解得
∴在这33张铁板中，24张做长方形铁片可做（片），9张做正方形铁片可做（片），
∴可做铁盒（个）．
19．(1)秤盘质量为4克，秤砣质量为10克
(2)这把杆秤的秤星E对应的刻度是100克
【分析】本题主要考查了二元一次方程组以及一元一次方程组的应用．
（1）设秤盘质量为x克，秤砣质量为y克，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案．
（2）设这把杆秤的秤星E对应的刻度是m克，根据题意列出关于m的一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：设秤盘质量为x克，秤砣质量为y克，
根据题意得：
，
解得：，
答：秤盘质量为4克，秤砣质量为10克．
（2）解：设这把杆秤的秤星E对应的刻度是m克，
根据题意得：
，
解得：，
答：这把杆秤的秤星E对应的刻度是100克．
20．(1)
(2)
(3)图见解析，或
【分析】此题考查了平行线的性质、二元一次方程组的应等知识，理解新定义的含义是解题的关键．
（1）设的“3系数补角”是x，根据题意可得，解方程即可得到答案；
（2）根据题意得，，解方程组即可得到答案；
（3）设，，再根据G的位置建立方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】（1）解：设的“3系数补角”是x，
∵，
∴，
即，
解得，
∴的“3系数补角”是；
故答案为：；
（2）解：∵比的2倍多，
∴，
∵是的“4系数补角”，
∴，
∴
∴；
（3）解：设，，
分以下三种情况：
如图，设与相交于点H，
∵，，
∴，
由条件可知，
即①，
由条件可知，
即②，
∴，
联立①②得，，
解得，
即是；
如图，当G在，之间时，过G作，而，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴①，
由条件可知，
即②，
联立①②得，，
解得，
∴；
如图，当G在的下方时，
同理可得：，
即①，
∵是的“6系数补角”，
∴，
即②，
联立①②得，，
解得：，
即为；
综上：为或；
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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