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第12章 学情评估卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．对于命题“若，则”，下列能说明它是假命题的反例是（ ）
A. B. C. D.
2．如图，若，，， ， ，则的度数是（ ）
（第2题）
A. B. C. D.
3．[［2025吉林船营区期中］]两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（ ）
（第3题）
A. 边的高上 B. 的平分线上
C. 边的垂直平分线上 D. 边的中线上
4．如图，下列四个条件：；；；.以其中的两个条件作为依据，不能判定的是（ ）
（第4题）
A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②③
5．如图，是等边三角形，为中线，为上一点，且，则等于（ ）
（第5题）
A. B. C. D.
6．[［2025长春九台区月考］]如图，在中， ，，分别过点，作过点的直线的垂线，.若，，则的长为（ ）
（第6题）
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
7．已知直线及直线外一点.如图，作的垂直平分线，分别交直线，于点，，以为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点，作直线.下列结论中错误的是（ ）
（第7题）
A. B.
C. D. 若，则
8．[［2025长春汽开区期中］]如图，在中， ， ，，将沿直线折叠，得到点的对称点，过点作于，与交于点，则的长为（ ）
（第8题）
A. 5 B. 6 C. 9 D. 12
二、填空题（每题3分，共18分）
9．命题“能被5整除的数的末位数字是5”的逆命题是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
10．[［2025长春九台区期中］]如图，太阳光线和是平行的，在同一时刻，两根高度相等的木杆的影子一样长，其中判断的依据是_ _ _ _ _ _ .
（第10题）
11．如图，的三边、、的长分别为4、6、8，其三条角平分线将分成三个三角形，则_ _ _ _ _ _ _ _ .
（第11题）
12．如图,内有一点,，分别被，垂直平分,与，分别交于点，.若,则的周长为_ _ _ _ .
（第12题）
13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，那么这个等腰三角形的顶角的度数是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
14．如图，是等边三角形，点是边上的一个动点（不与点，重合），连结，点，分别在线段，的延长线上，且.在点在线段上运动的过程中，有下列结论：与始终全等;的大小始终不变；的周长始终不变.其中正确的是.（填序号）
（第14题）
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）如图，在中，平分交于点，，交于点，交的延长线于点.求证：为等腰三角形.
16．（6分）如图，点是线段的中点，在线段的同侧作，，过点作于点，过点作于点，已知.求证：.
17．（6分）如图，为的角平分线，于点，于点，连结.求证：垂直平分.
18．（7分）如图，在中，为边上一点，于点，延长，交于点.若 ，.求证：为等边三角形.
19．（7分）如图，在下列网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为网格的格点.
（1） 图①为的网格，点，点在格点上，在网格中画出以为一边，点在格点上，面积为9的等腰三角形，此时_ _ _ _ _ _ .
（2） 图②为的网格，点，点在格点上，在网格中找出所有的点，使为等腰三角形，点在格点上.
20．（7分）如图，为了测量湖宽，先在的延长线上选定点，再选一适当的点，然后延长，到点，，使，.又在的延长线上找一点，使，，三点在同一条直线上，这时，只要测出线段的长度就可知湖宽.你能说明其中的道理吗？
21．（8分）如图，在中，，是边上的中线，是边上一点，过点作交的延长线于点，.
（1） 求证：；
（2） 若 ，，求的长.
22．（9分）如图，在中，为的平分线，且平分，于点，交的延长线于点.
（1） 求证：；
（2） 如果，，求，的长.
23．[［2025长春朝阳区期中］]（10分）如图①，在中， ，，，，动点从点出发，沿着边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为.
（1） 如图①，当_ _ _ _ _ _ _ _ 时，的面积等于面积的；
（2） 如图②，在中， ，，，.在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止.在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度.
24．[［2025长春双阳区月考］]（12分）已知，在中，， ，点为直线上一动点（点 不与点、重合），连结，以为直角边作等腰直角三角形，使 ，，连结.
（1） 如图①，当点在线段上时，与的数量关系是_ _ _ _ _ _ _ _ ，与的位置关系是_ _ _ _ _ _ _ _ ，、、三条线段的数量关系是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 如图②，当点在线段的延长线上时，其他条件不变，请写出、、三条线段之间的数量关系并说明理由；
（3） 如图③，当点运动到的延长线上，且、分别在直线的两侧时，若，，直接写出的面积.
第12章 学情评估卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．对于命题“若，则”，下列能说明它是假命题的反例是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
2．如图，若，，， ， ，则的度数是（ ）
（第2题）
A. B. C. D.
【答案】A
3．[［2025吉林船营区期中］]两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（ ）
（第3题）
A. 边的高上 B. 的平分线上
C. 边的垂直平分线上 D. 边的中线上
【答案】B
4．如图，下列四个条件：；；；.以其中的两个条件作为依据，不能判定的是（ ）
（第4题）
A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②③
【答案】A
5．如图，是等边三角形，为中线，为上一点，且，则等于（ ）
（第5题）
A. B. C. D.
【答案】D
6．[［2025长春九台区月考］]如图，在中， ，，分别过点，作过点的直线的垂线，.若，，则的长为（ ）
（第6题）
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
【答案】D
7．已知直线及直线外一点.如图，作的垂直平分线，分别交直线，于点，，以为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点，作直线.下列结论中错误的是（ ）
（第7题）
A. B.
C. D. 若，则
【答案】C
8．[［2025长春汽开区期中］]如图，在中， ， ，，将沿直线折叠，得到点的对称点，过点作于，与交于点，则的长为（ ）
（第8题）
A. 5 B. 6 C. 9 D. 12
【答案】B
二、填空题（每题3分，共18分）
9．命题“能被5整除的数的末位数字是5”的逆命题是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】末位数字是5的数能被5整除
10．[［2025长春九台区期中］]如图，太阳光线和是平行的，在同一时刻，两根高度相等的木杆的影子一样长，其中判断的依据是_ _ _ _ _ _ .
（第10题）
【答案】
11．如图，的三边、、的长分别为4、6、8，其三条角平分线将分成三个三角形，则_ _ _ _ _ _ _ _ .
（第11题）
【答案】
12．如图,内有一点,，分别被，垂直平分,与，分别交于点，.若,则的周长为_ _ _ _ .
（第12题）
【答案】2 025
13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，那么这个等腰三角形的顶角的度数是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】 或
14．如图，是等边三角形，点是边上的一个动点（不与点，重合），连结，点，分别在线段，的延长线上，且.在点在线段上运动的过程中，有下列结论：与始终全等;的大小始终不变；的周长始终不变.其中正确的是.（填序号）
（第14题）
【答案】①②
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）如图，在中，平分交于点，，交于点，交的延长线于点.求证：为等腰三角形.
证明：，
，.
平分，.
，
即为等腰三角形.
16．（6分）如图，点是线段的中点，在线段的同侧作，，过点作于点，过点作于点，已知.求证：.
证明： 点是线段的中点，
，，
，，
.又，.
17．（6分）如图，为的角平分线，于点，于点，连结.求证：垂直平分.
证明：为的角平分线，,,， 点在线段的垂直平分线上.
在和中，,,，， 点在线段的垂直平分线上，垂直平分.
18．（7分）如图，在中，为边上一点，于点，延长，交于点.若 ，.求证：为等边三角形.
证明：， ，
，
.
， ，
，
，，
为等边三角形.
19．（7分）如图，在下列网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为网格的格点.
（1） 图①为的网格，点，点在格点上，在网格中画出以为一边，点在格点上，面积为9的等腰三角形，此时_ _ _ _ _ _ .
（2） 图②为的网格，点，点在格点上，在网格中找出所有的点，使为等腰三角形，点在格点上.
【答案】（1）
（2） 解：如图②所示，点、、、、、即为所求.
【解析】
（1） 等腰三角形如图①所示.
20．（7分）如图，为了测量湖宽，先在的延长线上选定点，再选一适当的点，然后延长，到点，，使，.又在的延长线上找一点，使，，三点在同一条直线上，这时，只要测出线段的长度就可知湖宽.你能说明其中的道理吗？
解：在和中，，，，，
，
又 ，
，
.
在和中，
，，，，.
21．（8分）如图，在中，，是边上的中线，是边上一点，过点作交的延长线于点，.
（1） 求证：；
（2） 若 ，，求的长.
【答案】
（1） 证明：，是边上的中线，，，， .，，，，
.
（2） 解： ，，，， ， ，
是等边三角形， ，，.
22．（9分）如图，在中，为的平分线，且平分，于点，交的延长线于点.
（1） 求证：；
（2） 如果，，求，的长.
【答案】
（1） 证明：连结，，
且平分，.
为的平分线，，，， .
在和中，，，，.
（2） 解：在和中，，，，.
，.
，
，
由（1）知，，，.
23．[［2025长春朝阳区期中］]（10分）如图①，在中， ，，，，动点从点出发，沿着边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为.
（1） 如图①，当_ _ _ _ _ _ _ _ 时，的面积等于面积的；
（2） 如图②，在中， ，，，.在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止.在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度.
【答案】（1） 6或
（2） 解：， 对应顶点为与，与，与.
①当，点在上时，如图①所示，
则，， 点移动的速度为；
②当，点在上时，如图②所示，
则，，
点移动的路程为，点移动的路程为， 点移动的速度为.
综上所述，点的运动速度为或.
24．[［2025长春双阳区月考］]（12分）已知，在中，， ，点为直线上一动点（点 不与点、重合），连结，以为直角边作等腰直角三角形，使 ，，连结.
（1） 如图①，当点在线段上时，与的数量关系是_ _ _ _ _ _ _ _ ，与的位置关系是_ _ _ _ _ _ _ _ ，、、三条线段的数量关系是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 如图②，当点在线段的延长线上时，其他条件不变，请写出、、三条线段之间的数量关系并说明理由；
（3） 如图③，当点运动到的延长线上，且、分别在直线的两侧时，若，，直接写出的面积.
【答案】（1） ；；
（2） 解：.理由如下：
，
，
.
在和中，，，，
，，.
（3） 5
【解析】
（3） 点拨： ，，即.在和中，，，.，.，，.易知 ， ， ，的面积.
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