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浙江省宁波市宋诏桥初级中学2022-2023学年八年级下学期数学学科竞赛测试卷
1．（2023八下·宁波竞赛）计算：　 　.
2．（2023八下·宁波竞赛）已知，那么　 　.
3．（2023八下·宁波竞赛）一组数据的平均数为5，方差为16，其中n是正整数，则另一组数据的标准差是　 　.
4．（2023八下·宁波竞赛）如图，在中，分别在AB，AC上，的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q，若，则　 　.
5．（2023八下·宁波竞赛）如图，反比例函数的图象经过点，过点A作轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点，经过点P作直线OA的垂线，以直线为对称轴，点经轴对称变换得到的点在此反比例函数的图象上，则的值是　 　.
6．（2023八下·宁波竞赛）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为的小正方形EFGH。已知AM为较长直角边，，则正方形ABCD的面积为　 　.
7．（2023八下·宁波竞赛）当 时，二次函数 有最大值4，则实数m的值为　 　．
8．（2023八下·宁波竞赛）如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点E，F，延长BD至G，使得DG=BD，连结EG，FG，若AE=DE，则 =　 　．
9．（2023八下·宁波竞赛）对于二次函数，有下列结论：①其图象与x轴一定相交；②若，函数在时，y随x的增大而减小；③无论a取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论a取何值，函数图象都经过同一个点。其中所有正确的结论是　 　.(填写正确结论的序号)
10．（2023八下·宁波竞赛）如图，点，点点在函数的图象上，，都是等边三角形，边都在轴上是大于或等于2的正整数)，点的坐标是　 　(用含的式子表示)。
11．（2023八下·宁波竞赛）
（1）已知a、b是方程的两个根，求的值；
（2）已知a、b、c均为实数，且，求正数的最大值。
12．（2023八下·宁波竞赛）如图，在矩形ABCD中，，对角线AC，BD相交于点，过点可以很容易把矩形的面积分成相等的四部分。请聪明的你想一想，你能画出过点的三条线段把矩形的面积分成面积相等的三部分吗 请在下图中表示出来，具体的位置请把长度标在图上（请画出两种不同的分法）。
13．（2023八下·宁波竞赛）如图，在正方形ABCD中，分别是边上的点，满足分别与对角线BD交于点M，N。
（1）求证：①；②
（2）求EF的最小值
14．（2023八下·宁波竞赛）如图，交轴于B、C两点，交轴于A，点M的纵坐标为2，。
（1）求的半径。
（2）若于，交轴于，求证：.
（3）在（2）的条件下求AF的长。
15．（2023八下·宁波竞赛）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图，在中，点D、E分别在AB、AC上，设CD、BE相交于点O，若。请你写出图中一个与相等的角，并说明理由，同时猜想图中哪个四边形是等对边四边形。
（3）在中，如果是不等于的锐角，点D、E分别在AB、AC上，且。探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。
16．（2023八下·宁波竞赛）对某一个函数给如下定义：若存在实数，对任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数。在所有满足条件的中，其聂小值称为这个函数的边界值。例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1。
（1）分别判断函数和是不是有界函数，若是有界函数，求其边界值；
（2）若函数的边界值是2，且这个函数最大值也是2，求的取值范围；
（3）将函数的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式
.
故答案为：.
【分析】对每个加数进行化简，然后合并同类二次根式即可.
2．【答案】3
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：根据题意，a2-3a+1=0，则a2=3a-1，a2+1=3a，
则原式
=3.
故答案为：3.
【分析】根据题意，由a2-3a+1=0变形可得a2=3a-1和a2+1=3a，代入原式，化简变形可得答案.
3．【答案】12
【知识点】平均数及其计算；方差；标准差
【解析】【解答】解：根据题意，数据x1，x2，... ，xn的平均数为5，方差为16，
即，
=16，
则3x1+2，3x2+2，···3xn+2的平均数
=3x-(x1+2十··+n)+2
=3×5+2
=17，
另一组数据3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的方差
=9×16
=144
∴标准差
故答案为：12.
【分析】根据平均数的计算公式，求出新数据的平均数，再根据方差的计算公式，求出新数据的方差，最后 根据方差的计算公式，求出新数据的方差.
4．【答案】2
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BC的中点H，连接MH，NH，
设AD=x(x>0)，
则∵PD=1，
∴AP=x+1，
又∵AB=4，BD=4-x，
∴BD=CE=4-x，
∴AE=AC-CE=3-(4-x)=x-1，
∵M为BE的中点，
∴MH是△BEC的中位线，
∴MH//CE且，
∴∠HMQ=∠MQE，
∵N为CD的中点。
∴HN是△BDC的中位线，
∴HN//BD且，
∴∠HNM=∠APQ，
∵BD=CE，
∴MH=HN，
∴∠HMQ=∠HNM，
∴∠MQE=∠APQ，
∴AP=AQ，
∴x+1=AQ=AE+EQ，
∴x+1=(x-1)+EQ，
∴EQ=2，
故答案为：2.
【分析】取BC的中点H，连接MH，NH，根据三角形中位线定理得到MH//EC，，NH//BD，，根据平行线的性质、三角形内角和定理计算，得到答案.
5．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵点A坐标为(-1，1)，
∴k=-1×1=-1，
∴反比例函数解析式为，
∵OB=AB=1，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∵PQ⊥OA，
∴∠OPQ=45°，
∵点B和点B'关于直线l对称，
∴PB=PB'，BB'⊥PQ，
∴∠B'PQ=∠OPQ=45°，∠B'PB=90°，
∴B'P⊥y轴，
∴点B'的坐标为，
∵PB=PB'，
∴，
整理得t2-t-1=0，解得，(不符合题意，舍去)，
∴t的值为 .
故答案为：.
【分析】通过点A的坐标确定反比例函数的表达式，再利用几何性质和轴对称的性质找到点B'的坐标，最后通过PB=PB'的关系建立方程求解即可.
6．【答案】21S
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：设AM=2a，BM=b，
则正方形ABCD的面积=4a2+b2，
由题意可知
EF=(2a-b)-2(a-b)=2a-b-2a+2b=b，
∵，
∴，
∴，
∵正方形EFGH的面积为S，
∴b2=S，
∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=21S，
故答案为：21S.
【分析】设AM=2a，BM=b，则正方形ABCD的面积=4a2+b2，由题意可知EF=(2a-b)-2(a-b)=2a-b-2a+2b=b，由此即可解决问题.
7．【答案】2或
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：二次函数 的对称轴为直线x=m，且开口向下，
①m＜-2时，x=-2取得最大值，-（-2-m）2+m2+1=4，
解得 ，
，
∴不符合题意，
②-2≤m≤1时，x=m取得最大值，m2+1=4，
解得 ，
所以 ，
③m＞1时，x=1取得最大值，-（1-m）2+m2+1=4，
解得m=2，
综上所述，m=2或 时，二次函数有最大值．
故答案为：2或 ．
【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m，再分m<-2，，m>1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可。
8．【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC、EF，
在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵BE⊥AD，AE=DE，
∴AB=BD，
又∵菱形的边AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，
设EF与BD相交于点H，AB=4x，
∵AE=DE，
∴由菱形的对称性，CF=DF，
∴EF是△ACD的中位线，
∴DH= DO= BD=x，在Rt△EDH中，EH= DH= x，
∵DG=BD，
∴GH=BD+DH=4x+x=5x，
在Rt△EGH中，由勾股定理得，EG= ，所以， = = ．故答案为： ．
【分析】连接AC、EF，根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB=BD，然后判断出△ABD是等边三角形，再根据等边三角形的三个角都是60°求出∠ADB=60°，设EF与BD相交于点H，AB=4x，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH，再求出DH，从而得到GH，利用勾股定理列式求出EG，最后求出比值即可．本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，难点在于作辅助线构造出直角三角形以及三角形的中位线．
9．【答案】①③④
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：令y=0，则ax2-(2a-1)x+a-1=0，
解得x1=1，，
所以，函数图象与x轴的交点为(1，0)，，故①④正确；
当a<0时，，
所以，函数在x >1时，y先随x的增大而增大，然后再减小，故②错误；
∵，
，
∴，
即无论a取何值，抛物线的顶点始终在直线上，故③正确；
故答案为：①③④.
【分析】求出二次函数与x轴的交点，然后分析函数在不同a值下的增减性，最后确定抛物线顶点的轨迹.
10．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；反比例函数-动态几何问题；用代数式表示图形变化规律；探索规律-函数上点的规律；归纳与类比
【解析】【解答】解：如图，作轴，轴，轴，
设，x>0，y>0，z>0，
， 是等边三角形，作轴，轴，轴，
，，
，
，
点，点，点在函数的图象上 ，
，解得，
，
以此类推，.
故答案为：.
【分析】设OB=x，利用等边三角形的性质可得，再通过反比例函数的解析式求得x=1，故，同理可得，以此类推，.
11．【答案】（1）解：由a、b是方程x2-6x-4=0的两个根，
可得a+b=6，ab=-4，
（2）解：进行变形可得a+b=2-c，ab=c2-c，
∴a，b是x2-(2-c)x+c2-c=0的解，
根据根的判别式可得 =(2- c)2- 4(c2-c)≥0，
整理得，
解得
∴正数c的最大值为
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1)将进行整理得到，再根据根与系数的关系，得到a+b，ab的值，然后利用完全平方公式，即可解答；
(2)进行变形可得a+b=2-c，ab=c2-c，逆用根与系数的关系，可得a，b是x2-(2-c)m+c2-c=0的两个解，再利用根的判别式即可解答.
12．【答案】
【知识点】平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
【解析】【分析】根据矩形的面积和梯形的面积即可画出图形.
13．【答案】（1）证明：①如图，延长CD至点E1，使得BE=DE1，则是△ABE≌△ADE1
∴∠BAE=∠DAE1
∴AE=AE1
∴∠EAE1=90°
在△AEF和△AE1F，
∴EF=BE+DF
②在AE1上取一点M1，使得AM=AM1，连接M1D、M1N.
△ABM≌△ADM1，△ANM≌△ANM1
∴∠ABM=∠ADM1，BM=DM1，MN=M1N
∴∠NDM1=90°，
∴M1N2=M1D2+ND2
∴MN2=BM2+DN2
（2）解：
令EF=a+b=t，则b=t-a
a(t-a)+a+t-a-1=0
∴EF的最小值为.
【知识点】正方形的性质；四边形的综合；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】(1)①可作辅助线，创造条件，再通过三角形全等，即可解答；
②很容易联想到直角三角形三边关系；
(2)令EF=a+b=t，根据一元二次方程最值，即可求解.
14．【答案】（1）解：如图(一)，过M作MT⊥BC于T连BM，
∵BC是OO的一条弦，MT是垂直于BC的直径，
∴，
∴
（2）解：如图(二)，连接AE，
则∠AEC=∠ABC，
∵CE⊥AB，
∴∠HBC+∠BCH=90°
在△COF中，
∵∠OFC+∠OCF=90°，
∴∠HBC=∠OFC=∠AFH，
在△AEH和△AFH中，
∴△AEH≌△AFH(AAS)，
∴EH=FH
（3）解：由(1)易知，∠BMT=∠BAC=60°，
作直径BG，连CG，则∠BGC=∠BAC=60°，
∵⊙O的半径为4，
∴CG=4，
连AG，
∵∠BCG=90°，
∴CG⊥x轴，
∴CG//AF，
∵∠BAG=90°，
∴AG⊥AB，
∵CE⊥AB，
∴AG//CE
∴四边形AFCG为平行四边形，
∴AF=CG=4.
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长；
(2)连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH △AFH，进而可得出结论；
(3)先由(1)中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案.
15．【答案】（1）解：平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形等.
（2）解：∵∠A=60°，，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠BOD=∠EOC=∠OBC+∠OCB=60°，
∴与∠A相等的角是∠BOD，∠EOC，
如图1，过点B作BG⊥CD于G，过点C作CF⊥BE于E，
∵，
∴OB=OC，
在△BGO和△CFO中，
∴△BGO≌△CFO(AAS)，
∴BG=CF，
∵∠BOD=∠A，
∴∠BDG=∠BOD+∠ABE=∠A+∠ABE=∠CEF，
∵∠BDG=∠CEF，∠BGD=∠CEF=90°，BG=CE，
∴△BGD≌△CFE(AAS)
∴BD=CE，
∴四边形BCED是等对边四边形
（3）解：结论：四边形BCED是等对边四边形.
理由如下：
如图2中，作BG⊥CD于G，CF⊥BE于F，
∵，
∴OB=OC，
在△BGO和△CFO中，
∴△BGO≌△CFO(AAS)，
∴BG=CF，
∵∠BOD=∠A，
∴∠A+∠DOE=180°，∠ADO+∠AEO =180°，
∵∠AEO+∠CEF=180，∠ADO=∠BDG，
∴∠BDG=∠CEF，
∵∠BDG=∠CEF，∠BGD=∠CEF=90°，BG=CE，
∴△BGD≌△CFE(AAS)
∴BD=CE，
∴四边形BCED是等对边四边形
【知识点】三角形全等的判定-AAS；平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
【解析】【分析】(1)理解等对边四边形的图形的定义，有平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形等，可得出答案；
(2)利用三角形的外角的性质，求出∠BOD即可解决问题，通过证明△BGO≌△CFO，再证△BGD≌△CFE，可得BD=CE，即可求解；
(3)可证△BGO≌△CFO，再证△BGD≌△CFE，可得到结论BD=CE.
16．【答案】（1）解：根据有界函数的定义知，函数(x>0)不是有界函数；
函数y=x+1(-4≤x≤2)是有界函数，
∵-4+1=-3，2+1=3，
∴y=x+1(-4（2）解：∵k=-1<0，
∴函数y=-x+1的图象是y随x的增大而减小，
∴当x=a时，y=-a+1=2，
解得：a=-1；
当x=b时，y=-b+1，
∴-1＜b≤3
（3）解：若m>1，函数向下平移m个单位后，x=0时，函数值小于-1，
此时函数的边界t≥1，与题意不符，故m≤1.
当x=-1时，y=1，函数y=x2过点(-1，1)；
当x=0时，y最小=0，函数y=x2过点(0，0)，
都向下平移m个单位，则函数y=x2-m过点(-1，1-m)、(0，-m)，
∵，
∴或
解得：或，
故当或时，满足
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的平移变换
1 / 1浙江省宁波市宋诏桥初级中学2022-2023学年八年级下学期数学学科竞赛测试卷
1．（2023八下·宁波竞赛）计算：　 　.
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式
.
故答案为：.
【分析】对每个加数进行化简，然后合并同类二次根式即可.
2．（2023八下·宁波竞赛）已知，那么　 　.
【答案】3
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：根据题意，a2-3a+1=0，则a2=3a-1，a2+1=3a，
则原式
=3.
故答案为：3.
【分析】根据题意，由a2-3a+1=0变形可得a2=3a-1和a2+1=3a，代入原式，化简变形可得答案.
3．（2023八下·宁波竞赛）一组数据的平均数为5，方差为16，其中n是正整数，则另一组数据的标准差是　 　.
【答案】12
【知识点】平均数及其计算；方差；标准差
【解析】【解答】解：根据题意，数据x1，x2，... ，xn的平均数为5，方差为16，
即，
=16，
则3x1+2，3x2+2，···3xn+2的平均数
=3x-(x1+2十··+n)+2
=3×5+2
=17，
另一组数据3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的方差
=9×16
=144
∴标准差
故答案为：12.
【分析】根据平均数的计算公式，求出新数据的平均数，再根据方差的计算公式，求出新数据的方差，最后 根据方差的计算公式，求出新数据的方差.
4．（2023八下·宁波竞赛）如图，在中，分别在AB，AC上，的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q，若，则　 　.
【答案】2
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BC的中点H，连接MH，NH，
设AD=x(x>0)，
则∵PD=1，
∴AP=x+1，
又∵AB=4，BD=4-x，
∴BD=CE=4-x，
∴AE=AC-CE=3-(4-x)=x-1，
∵M为BE的中点，
∴MH是△BEC的中位线，
∴MH//CE且，
∴∠HMQ=∠MQE，
∵N为CD的中点。
∴HN是△BDC的中位线，
∴HN//BD且，
∴∠HNM=∠APQ，
∵BD=CE，
∴MH=HN，
∴∠HMQ=∠HNM，
∴∠MQE=∠APQ，
∴AP=AQ，
∴x+1=AQ=AE+EQ，
∴x+1=(x-1)+EQ，
∴EQ=2，
故答案为：2.
【分析】取BC的中点H，连接MH，NH，根据三角形中位线定理得到MH//EC，，NH//BD，，根据平行线的性质、三角形内角和定理计算，得到答案.
5．（2023八下·宁波竞赛）如图，反比例函数的图象经过点，过点A作轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点，经过点P作直线OA的垂线，以直线为对称轴，点经轴对称变换得到的点在此反比例函数的图象上，则的值是　 　.
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵点A坐标为(-1，1)，
∴k=-1×1=-1，
∴反比例函数解析式为，
∵OB=AB=1，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∵PQ⊥OA，
∴∠OPQ=45°，
∵点B和点B'关于直线l对称，
∴PB=PB'，BB'⊥PQ，
∴∠B'PQ=∠OPQ=45°，∠B'PB=90°，
∴B'P⊥y轴，
∴点B'的坐标为，
∵PB=PB'，
∴，
整理得t2-t-1=0，解得，(不符合题意，舍去)，
∴t的值为 .
故答案为：.
【分析】通过点A的坐标确定反比例函数的表达式，再利用几何性质和轴对称的性质找到点B'的坐标，最后通过PB=PB'的关系建立方程求解即可.
6．（2023八下·宁波竞赛）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为的小正方形EFGH。已知AM为较长直角边，，则正方形ABCD的面积为　 　.
【答案】21S
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：设AM=2a，BM=b，
则正方形ABCD的面积=4a2+b2，
由题意可知
EF=(2a-b)-2(a-b)=2a-b-2a+2b=b，
∵，
∴，
∴，
∵正方形EFGH的面积为S，
∴b2=S，
∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=21S，
故答案为：21S.
【分析】设AM=2a，BM=b，则正方形ABCD的面积=4a2+b2，由题意可知EF=(2a-b)-2(a-b)=2a-b-2a+2b=b，由此即可解决问题.
7．（2023八下·宁波竞赛）当 时，二次函数 有最大值4，则实数m的值为　 　．
【答案】2或
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：二次函数 的对称轴为直线x=m，且开口向下，
①m＜-2时，x=-2取得最大值，-（-2-m）2+m2+1=4，
解得 ，
，
∴不符合题意，
②-2≤m≤1时，x=m取得最大值，m2+1=4，
解得 ，
所以 ，
③m＞1时，x=1取得最大值，-（1-m）2+m2+1=4，
解得m=2，
综上所述，m=2或 时，二次函数有最大值．
故答案为：2或 ．
【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m，再分m<-2，，m>1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可。
8．（2023八下·宁波竞赛）如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点E，F，延长BD至G，使得DG=BD，连结EG，FG，若AE=DE，则 =　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC、EF，
在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵BE⊥AD，AE=DE，
∴AB=BD，
又∵菱形的边AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，
设EF与BD相交于点H，AB=4x，
∵AE=DE，
∴由菱形的对称性，CF=DF，
∴EF是△ACD的中位线，
∴DH= DO= BD=x，在Rt△EDH中，EH= DH= x，
∵DG=BD，
∴GH=BD+DH=4x+x=5x，
在Rt△EGH中，由勾股定理得，EG= ，所以， = = ．故答案为： ．
【分析】连接AC、EF，根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB=BD，然后判断出△ABD是等边三角形，再根据等边三角形的三个角都是60°求出∠ADB=60°，设EF与BD相交于点H，AB=4x，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH，再求出DH，从而得到GH，利用勾股定理列式求出EG，最后求出比值即可．本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，难点在于作辅助线构造出直角三角形以及三角形的中位线．
9．（2023八下·宁波竞赛）对于二次函数，有下列结论：①其图象与x轴一定相交；②若，函数在时，y随x的增大而减小；③无论a取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论a取何值，函数图象都经过同一个点。其中所有正确的结论是　 　.(填写正确结论的序号)
【答案】①③④
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：令y=0，则ax2-(2a-1)x+a-1=0，
解得x1=1，，
所以，函数图象与x轴的交点为(1，0)，，故①④正确；
当a<0时，，
所以，函数在x >1时，y先随x的增大而增大，然后再减小，故②错误；
∵，
，
∴，
即无论a取何值，抛物线的顶点始终在直线上，故③正确；
故答案为：①③④.
【分析】求出二次函数与x轴的交点，然后分析函数在不同a值下的增减性，最后确定抛物线顶点的轨迹.
10．（2023八下·宁波竞赛）如图，点，点点在函数的图象上，，都是等边三角形，边都在轴上是大于或等于2的正整数)，点的坐标是　 　(用含的式子表示)。
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；反比例函数-动态几何问题；用代数式表示图形变化规律；探索规律-函数上点的规律；归纳与类比
【解析】【解答】解：如图，作轴，轴，轴，
设，x>0，y>0，z>0，
， 是等边三角形，作轴，轴，轴，
，，
，
，
点，点，点在函数的图象上 ，
，解得，
，
以此类推，.
故答案为：.
【分析】设OB=x，利用等边三角形的性质可得，再通过反比例函数的解析式求得x=1，故，同理可得，以此类推，.
11．（2023八下·宁波竞赛）
（1）已知a、b是方程的两个根，求的值；
（2）已知a、b、c均为实数，且，求正数的最大值。
【答案】（1）解：由a、b是方程x2-6x-4=0的两个根，
可得a+b=6，ab=-4，
（2）解：进行变形可得a+b=2-c，ab=c2-c，
∴a，b是x2-(2-c)x+c2-c=0的解，
根据根的判别式可得 =(2- c)2- 4(c2-c)≥0，
整理得，
解得
∴正数c的最大值为
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1)将进行整理得到，再根据根与系数的关系，得到a+b，ab的值，然后利用完全平方公式，即可解答；
(2)进行变形可得a+b=2-c，ab=c2-c，逆用根与系数的关系，可得a，b是x2-(2-c)m+c2-c=0的两个解，再利用根的判别式即可解答.
12．（2023八下·宁波竞赛）如图，在矩形ABCD中，，对角线AC，BD相交于点，过点可以很容易把矩形的面积分成相等的四部分。请聪明的你想一想，你能画出过点的三条线段把矩形的面积分成面积相等的三部分吗 请在下图中表示出来，具体的位置请把长度标在图上（请画出两种不同的分法）。
【答案】
【知识点】平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
【解析】【分析】根据矩形的面积和梯形的面积即可画出图形.
13．（2023八下·宁波竞赛）如图，在正方形ABCD中，分别是边上的点，满足分别与对角线BD交于点M，N。
（1）求证：①；②
（2）求EF的最小值
【答案】（1）证明：①如图，延长CD至点E1，使得BE=DE1，则是△ABE≌△ADE1
∴∠BAE=∠DAE1
∴AE=AE1
∴∠EAE1=90°
在△AEF和△AE1F，
∴EF=BE+DF
②在AE1上取一点M1，使得AM=AM1，连接M1D、M1N.
△ABM≌△ADM1，△ANM≌△ANM1
∴∠ABM=∠ADM1，BM=DM1，MN=M1N
∴∠NDM1=90°，
∴M1N2=M1D2+ND2
∴MN2=BM2+DN2
（2）解：
令EF=a+b=t，则b=t-a
a(t-a)+a+t-a-1=0
∴EF的最小值为.
【知识点】正方形的性质；四边形的综合；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】(1)①可作辅助线，创造条件，再通过三角形全等，即可解答；
②很容易联想到直角三角形三边关系；
(2)令EF=a+b=t，根据一元二次方程最值，即可求解.
14．（2023八下·宁波竞赛）如图，交轴于B、C两点，交轴于A，点M的纵坐标为2，。
（1）求的半径。
（2）若于，交轴于，求证：.
（3）在（2）的条件下求AF的长。
【答案】（1）解：如图(一)，过M作MT⊥BC于T连BM，
∵BC是OO的一条弦，MT是垂直于BC的直径，
∴，
∴
（2）解：如图(二)，连接AE，
则∠AEC=∠ABC，
∵CE⊥AB，
∴∠HBC+∠BCH=90°
在△COF中，
∵∠OFC+∠OCF=90°，
∴∠HBC=∠OFC=∠AFH，
在△AEH和△AFH中，
∴△AEH≌△AFH(AAS)，
∴EH=FH
（3）解：由(1)易知，∠BMT=∠BAC=60°，
作直径BG，连CG，则∠BGC=∠BAC=60°，
∵⊙O的半径为4，
∴CG=4，
连AG，
∵∠BCG=90°，
∴CG⊥x轴，
∴CG//AF，
∵∠BAG=90°，
∴AG⊥AB，
∵CE⊥AB，
∴AG//CE
∴四边形AFCG为平行四边形，
∴AF=CG=4.
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长；
(2)连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH △AFH，进而可得出结论；
(3)先由(1)中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案.
15．（2023八下·宁波竞赛）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图，在中，点D、E分别在AB、AC上，设CD、BE相交于点O，若。请你写出图中一个与相等的角，并说明理由，同时猜想图中哪个四边形是等对边四边形。
（3）在中，如果是不等于的锐角，点D、E分别在AB、AC上，且。探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。
【答案】（1）解：平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形等.
（2）解：∵∠A=60°，，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠BOD=∠EOC=∠OBC+∠OCB=60°，
∴与∠A相等的角是∠BOD，∠EOC，
如图1，过点B作BG⊥CD于G，过点C作CF⊥BE于E，
∵，
∴OB=OC，
在△BGO和△CFO中，
∴△BGO≌△CFO(AAS)，
∴BG=CF，
∵∠BOD=∠A，
∴∠BDG=∠BOD+∠ABE=∠A+∠ABE=∠CEF，
∵∠BDG=∠CEF，∠BGD=∠CEF=90°，BG=CE，
∴△BGD≌△CFE(AAS)
∴BD=CE，
∴四边形BCED是等对边四边形
（3）解：结论：四边形BCED是等对边四边形.
理由如下：
如图2中，作BG⊥CD于G，CF⊥BE于F，
∵，
∴OB=OC，
在△BGO和△CFO中，
∴△BGO≌△CFO(AAS)，
∴BG=CF，
∵∠BOD=∠A，
∴∠A+∠DOE=180°，∠ADO+∠AEO =180°，
∵∠AEO+∠CEF=180，∠ADO=∠BDG，
∴∠BDG=∠CEF，
∵∠BDG=∠CEF，∠BGD=∠CEF=90°，BG=CE，
∴△BGD≌△CFE(AAS)
∴BD=CE，
∴四边形BCED是等对边四边形
【知识点】三角形全等的判定-AAS；平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
【解析】【分析】(1)理解等对边四边形的图形的定义，有平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形等，可得出答案；
(2)利用三角形的外角的性质，求出∠BOD即可解决问题，通过证明△BGO≌△CFO，再证△BGD≌△CFE，可得BD=CE，即可求解；
(3)可证△BGO≌△CFO，再证△BGD≌△CFE，可得到结论BD=CE.
16．（2023八下·宁波竞赛）对某一个函数给如下定义：若存在实数，对任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数。在所有满足条件的中，其聂小值称为这个函数的边界值。例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1。
（1）分别判断函数和是不是有界函数，若是有界函数，求其边界值；
（2）若函数的边界值是2，且这个函数最大值也是2，求的取值范围；
（3）将函数的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足
【答案】（1）解：根据有界函数的定义知，函数(x>0)不是有界函数；
函数y=x+1(-4≤x≤2)是有界函数，
∵-4+1=-3，2+1=3，
∴y=x+1(-4（2）解：∵k=-1<0，
∴函数y=-x+1的图象是y随x的增大而减小，
∴当x=a时，y=-a+1=2，
解得：a=-1；
当x=b时，y=-b+1，
∴-1＜b≤3
（3）解：若m>1，函数向下平移m个单位后，x=0时，函数值小于-1，
此时函数的边界t≥1，与题意不符，故m≤1.
当x=-1时，y=1，函数y=x2过点(-1，1)；
当x=0时，y最小=0，函数y=x2过点(0，0)，
都向下平移m个单位，则函数y=x2-m过点(-1，1-m)、(0，-m)，
∵，
∴或
解得：或，
故当或时，满足
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的平移变换
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