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题型三　离散型随机变量均值的实际应用
[学透用活]
[典例3]　现有甲、乙两个投资项目，对甲项目投资10万元，根据对市场120份样本数据的统计，甲项目年利润分布如表：
年利润/万元 1.2 1.0 0.9
频数 20 60 40
记随机变量X，Y分别表示对甲、乙两个项目各投资10万元的年利润．将甲项目年利润的频率作为对应事件的概率．
(1)求X>Y的概率；
(2)某商人打算对甲或乙项目投资10万元,判断哪个项目更具有投资价值，并说明理由．
[方法技巧]
1．实际问题中的均值问题
均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计．
2．概率模型的解答步骤
(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．
(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值．
(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．
[对点练清]
某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘.由于下雨会影响药材品质，基地收益如表所示：
周一 无雨 无雨 有雨 有雨
周二 无雨 有雨 无雨 有雨
收益/万元 20 15 10 7.5
若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元；有雨时收益为10万元．额外聘请工人的成本为a万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36.
(1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益；
(2)该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由．
解：(1)设下周一无雨的概率为p，
由题意知，p2＝0.36，p＝0.6，
基地收益X的可能取值为20,15,10,7.5，
则P(X＝20)＝0.36，P(X＝15)＝0.24，
P(X＝10)＝0.24，P(X＝7.5)＝0.16，
所以基地收益X的分布列为
X 20 15 10 7.5
P 0.36 0.24 0.24 0.16
基地的预期收益E(X)＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4(万元)，
所以基地的预期收益为14.4万元．
(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，
则其预期收益E(Y)＝20×0.6＋10×0.4－a＝16－a(万元)，E(Y)－E(X)＝1.6－a.
综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不额外聘请工人；成本低于1.6万元时，额外聘请工人；成本恰为1.6万元时，是否额外聘请工人均可以．课时跟踪检测（十三） 离散型随机变量的均值
1．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，没命中得0分，已知某篮球运动员命中的概率为0.8，则罚球一次得分ξ的均值是(　　)
A．0.2 B．0.8
C．1 D．0
解析：选B　因为P(ξ＝1)＝0.8，P(ξ＝0)＝0.2，所以E(ξ)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.故选B.
2．已知随机变量ξ的分布列为
ξ 4 a 9 10
P 0.3 0.1 b 0.2
若E(ξ)＝7.5，则a等于(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选C　由题意得，
得
3．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，ξ表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考察，ξ，η的分布列分别是：
ξ 0 1 2 3
P 0.7 0.1 0.1 0.1
η 0 1 2 3
P 0.5 0.3 0.2 0
据此判定(　　)
A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好
C．甲与乙质量相同 D．无法判定
解析：选A　E(ξ)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E(η)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7.因为E(η)>E(ξ)，故甲比乙质量好．
4．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)等于(　　)
A．1.25 B．1.5
C．1.75 D．2
解析：选C　P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.1×0.15＝0.015；
P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22；
P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765.
∴E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.
5.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值E(X)等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆，∴从中随机取一个正方体，涂漆面数X的均值E(X)＝×0＋×1＋×2＋×3＝＝.
6．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X的数学期望为________．
解析：X的可能取值为3,2,1,0，
P(X＝3)＝0.6，P(X＝2)＝0.4×0.6＝0.24，
P(X＝1)＝0.42×0.6＝0.096，
P(X＝0)＝0.43＝0.064.
所以E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064
＝2.376.
答案：2.376
7．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花需求量ξ(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是________元.
ξ 200 300 400 500
P 0.20 0.35 0.30 0.15
解析：节日期间这种鲜花需求量的均值为E(ξ)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束)．
设利润为η，则η＝5ξ＋1.6×(500－ξ)－500×2.5＝3.4ξ－450，
所以E(η)＝3.4E(ξ)－450＝3.4×340－450＝706(元)．
答案：706
8．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与均值．
解：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，
则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝.
(2)X的所有可能值为0,1,2，且P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
1．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验；若试验失败，再重新试验一次；若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率为，则此人试验次数ξ的数学期望是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　试验次数ξ的可能取值为1,2,3，
则P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝×＝，
P(ξ＝3)＝××＝.
所以ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P
E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.
2．船队若出海后天气好，可获利5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海效益的均值是(　　)
A．2 000元 B．2 200元
C．2 400元 D．2 600元
解析：选B　出海效益的均值为E(X)＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝2 200(元)．
3．随机变量ξ的概率分布列如下表：
ξ 1 2 3
P ？ ！ ？
尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同，则E(ξ)＝________.
解析：设“？”处的数值为t，则“！”处的数值为1－2t，所以E(ξ)＝t＋2(1－2t)＋3t＝2.
答案：2
4．某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．
解：(1)由已知，有P(A)＝＝.
所以事件A发生的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
随机变量X的数学期望
E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
5.小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．
(1)求小波参加学校合唱团的概率；
(2)求X的分布列和数学期望．
解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C＝28种，当X＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为
P(X＝0)＝＝.
(2)两向量数量积X的所有可能取值为－2，－1,0,1.X＝－2时，有2种情形；
X＝1时，有8种情形；
X＝0时，有8种情形；
X＝－1时，有10种情形．
所以X的分布列为
X －2 －1 0 1
P
E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＝－.
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