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浙江省丽水市2024-2025学年第二学期九年级适应性考试（一）数学试题卷
1．（2025九下·丽水模拟）2025的相反数是（　　）
A．-2025 B．- C．2025 D．
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：2025的相反数是-2025.
故答案为：A.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可逐一判断得出答案.
2．（2025九下·丽水模拟）如图是由大小相同的小立方块搭成的几何体，其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：A、此选项的视图是其主视图，故此选项不符合题意；
B、此选项的视图是其俯视图，故此选项符合题意；
C、此选项的视图不是其三视图，故此选项不符合题意；
D、此选项的视图是其左视图，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】俯视图是从上往下看得到的正投影，俯视时，可见的立方块为各列最底层的立方块，据此判断得出答案.
3．（2025九下·丽水模拟）春节期间，动画电影《哪吒2》爆火，上映20天其票房已累计约123亿元，数据123亿用科学记数法表示为（　　）
A．123x108 B．1.23x108 C．1.23x1010 D．12.3x1010
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵1亿等于100000000（即108），
∴123亿=123×108=1.23×1010.
故答案为：C.
【分析】首先需要将“123亿”转换为以元为单位的数值，进而根据用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，求解即可.
4．（2025九下·丽水模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、m2与m3不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
B、m6÷m2=m6-2=m4，故此选项计算错误，不符合题意；
C、(2m3)2=22×(m3)2=4m6，故此选项计算错误，不符合题意；
D、m2×m3=m2+3=m5，故此选项计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断B选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断C选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断C选项.
5．（2025九下·丽水模拟）体育中考某班5名同学1分钟跳绳成绩（单位：次）分别是178，150，193，181，166，这组数据的中位数是（　　）
A．166 B．178 C．181 D．193
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将5名同学1分钟跳绳成绩次数按从小到大排列为： 150，166，178，181，193 ，
排在最中间位置的为第3个数，是178，所以这组数据的中位数为178.
故答案为：B.
【分析】将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可.
6．（2025九下·丽水模拟） 如图，根据小丽与 DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的答案是（　　）
A．1 B． C．-1 D．1或-1
【答案】A
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设这个数为x，由题意得x2-x+1=x，
整理得x2-2x+1=0，
∴(x-1)2=0，
解得x=1，
∴这个数为1.
故答案为：A.
【分析】设这个数为x，根据“这个数的平方减去这个数再加上1，结果等于这个数”列出方程，再利用直接开平方法求解即可.
7．（2025九下·丽水模拟） 如图，在△ABC中，点D在BC上，∠DAC=∠ADC=2∠B，AC=3，AD=2，则BC的长为（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=2∠B，
∴∠B=∠BAD，
∴BD=AD=2，
∵ ∠DAC=∠ADC，
∴AC=CD=3，
∴BC=CD+BD=5.
故答案为：C.
【分析】由三角形外角性质及已知可推出∠B=∠BAD，由等角对等边得AC=CD=3，AC=CD=3，最后根据线段的和差，由BC=CD+BD，列式计算即可.
8．（2025九下·丽水模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABO与△A'B'O'是以原点O为位似中心的位似图形。点B（-6，3）的对应点为B'（2，-1），若AA'为12，则A的坐标为（　　）
A．（-6，0） B．（-9，0） C．（-8，0） D．（-7，0）
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABO与△A'B'O'是以原点O为位似中心的位似图形，且 B（-6，3）的对应点为B'（2，-1），
∴△ABO与△A'B'O'的位似比为3∶1，
∴OA∶OA'=3∶1，
∴OA=3OA'，
∵AA'=OA+OA'=12，
∴OA'=3，OA=9，
∴A（-9，0）.
故答案为：B.
【分析】在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，新图形与原图形的位似比为k，与原图形上（x，y）对应的位似图形上的点的坐标是（-kx，-ky）或（kx，ky），据此求出△ABO与△A'B'O'的位似比为3∶1，然后根据位似图形上一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比可得OA∶OA'=3∶1，则OA=3OA'，再结合AA'=OA+OA'=12，可算出OA的长，从而即可得出点A的坐标.
9．（2025九下·丽水模拟） 若点A（m-3，y1），B（m-1，y2），C（m+1，y3）（其中1A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数у=-中，-3＜0，
∴图象在第二、四象限，当x>0时，y<0且随x增大而增大；当x<0时，y>0且随x增大而增大，
∵ 1∴m-3＜0，m-1＞0，m+1＞0，
∴m-3＜0＜m-1＜m+1，
∵ A（m-3，y1），B（m-1，y2），C（m+1，y3）都在反比例函数у=-的图象上，
∴y1＞0＞y3＞y2，即y2＜y3＜0＜y1.
故答案为：C.
【分析】反比例函数中，当k＞0时，图象的两支分布在一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，图象的两支分布在二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大；据此判断出反比例函数у=-的图象所在的象限及增减性，进而结合m的取值范围判断出A、B、C三点横坐标的正负及大小，然后根据函数的增减性即可判断得出答案.
10．（2025九下·丽水模拟） 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠D=90°，∠B=45°，点E为CD上一点，连结AE，把AE绕点E逆时针旋转90°，点A恰好落在BC的中点F处，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形；同侧一线三垂直全等模型；8字型相似模型
【解析】【解答】解：过点F作直线FH⊥AB于点H，交直线DC于点G，则∠FHB=∠FHA=90°，
∵F是BC的中点，
∴BF=CF，
∵AB∥CD，
∴△CGF∽△BHF，
∴，
∴GF=HF，BH=CG，
∴GH=2GF=2HF，
∵∠FHB=90°，∠B=45°，
∴△BHF是等腰直角三角形，
∴BH=FH，
∵AB∥CD，∠BHF=90°，
∴∠CGF=∠BHF=90°，
∴∠D=∠CGF=∠FHA=90°，
∴四边形ADGH是矩形，
∴AD=GH=2GF，AH=DG，
设GF=FH=x=BH，则AD=GH=2x，
由旋转性质得∠AEF=90°，AE=EF，
∴∠AED+∠CEF=90°=∠AED+∠DAE，
∴∠DAE=∠CEF，
∴△ADE≌△EGF（AAS），
∴DE=GF=x，AD=EG=2x，
∴DG=3x=AH，
∴AB=4x，
∵
∴，
∴.
故答案为：D.
【分析】过F作直线FH⊥AB于H，交直线DC于G，则∠FHB=∠FHA=90°，由平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△CGF∽△BHF，由相似三角形对应边成比例及中点定义可得GF=HF，BH=CG，则GH=2GF=2HF，易得△BHF是等腰直角三角形，则BH=FH；由二直线平行，内错角相等得∠CGF=∠BHF=90°，由三个角是直角的四边形是矩形得四边形ADGH是矩形，由矩形对边相等得AD=GH=2GF，AH=DG，设GF=FH=x=BH，则AD=GH=2x；由旋转的性质可得∠AEF=90°，AE=EF，根据平角定义、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠DAE=∠CEF，用AAS判断出△ADE≌△EGF，由全等三角形的对应边相等得DE=GF=x，AD=EG=2x，由线段和差可推出AB=4x，在Rt△ADE中，利用勾股定理用含x的式子表示出AE，进而根据等腰直角三角形的性质用含x的式子表示出AF，即可求出两条线段的比值.
11．（2025九下·丽水模拟）因式分解：x2-x=　 　．
【答案】x（x-1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2-x=x（x-1）
答案为：x（x-1）
【分析】观察此多项式含有公因式，提取公因式即可。
12．（2025九下·丽水模拟） 若分式的值为零，则a=　 　.
【答案】3
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解： 若分式的值为零，则满足，
解得a=3.
故答案为：3.
【分析】分式值为零的条件“分子等于零，且分母不为零”，据此列出混合组，求解即可.
13．（2025九下·丽水模拟）不透明袋子中装有5个绿球、2个红球，这些球除颜色外无其他差别。从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为　 　.
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为.
故答案为：.
【分析】根据概率公式，用袋中红色小球的个数比上袋中小球的总个数即可.
14．（2025九下·丽水模拟）如图， ⊙O的切线CD交直径AB的延长线于点D，连结AC，若∠A=25°，则∠D的度数为　 　。
【答案】40
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
∵CD是圆的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵弧BC=弧BC，
∴∠BOC=2∠A=50°，
∴∠D=90°-∠BOC=40°.
故答案为：40.
【分析】由圆的切线垂直经过切点的半径得∠OCD=90°，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠BOC=50°，最后根据直角三角形的两锐角互余可求出∠D的度数.
15．（2025九下·丽水模拟）体质指数（BMI）是衡量人体胖瘦程度的标准：BMI=，其中w为体重（单位：kg），h为身高（单位：m），成年人的BMI正常范围是18.5-23.9kg/m2。有一位成年人体重为78kg，根据公式计算得出他的BMI值为26kg/m2，属于超重范围。若想要BMI值不超过22kg/m2，他至少应减重　 　kg。
【答案】12
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：将BMI=26及w=78代入BMI=，得
∴h2=3，
将h2=3及BMI=22代入BMI=，得，
∴w=66，
∴该成年人至少应减重78-66=12kg.
故答案为：12.
【分析】首先将BMI=26及w=78代入BMI=算出h2=3，由于身高不变，故再将h2=3及BMI的最大值22再代入BMI=计算出目标体重的最大值，最后用当前体重减去目标体重即可求出需要减重的量.
16．（2025九下·丽水模拟） 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，CE平分∠ACB交AB于点E，过点E作FE⊥EC交AC于点F，连结BF并延长交AD于点G，交EC于点H，则△AFG与△BCH的面积比为　 　。
【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；8字型相似模型
【解析】【解答】解：延长CE交DA延长线于N，作EM⊥AC于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD∥BC
又∵AB=8，BC=6，
∴，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵AD∥BC，
∴∠N=∠BCE，
∴∠N=∠ACE，
∴AC=AN=10，
∵AN∥BC，
∴△ANE∽△BCE，
∴，
∴，，
∵AE+BE=AB=8，
∴AE=5，BE=3，
在△EBC于△EMC中，
∵∠EBC=∠EMC，∠ECB=∠ECM，EC=EC，
∴△EBC≌△EMC，
∴EB=EM=3，BC=CM=6，
∵∠ECF=∠ECM，∠FEC=∠EMC=90°，
∴△FEC∽△MEC，
∴，
∴，
∵CE2=BC2+BE2=45，
∴，
∴AF=AC-CF=；
∵AG∥BC，
∴△AGF∽△CBF，
∴，
∴，，
∴，
∴S△AGF=S△ABG=，
∵GN∥BC，
∴△NGH∽△CBH，
∴，
∴，，
∴，
∴S△BCH=S△BCE=，
∴.
故答案为：.
【分析】延长CE交DA延长线于N，作EM⊥AC于M，由矩形的性质得∠ABC=90°，AD∥BC，由是勾股定理算出AC的长，由角平分定义及平行线性质可推出∠N=∠ACE，由等角对等边得AC=AN=10，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△ANE∽△BCE，由相似三角形对应边成比例求出，，进而即可算出AE=5，BE=3；然后根据AAS判断出△EBC≌△EMC，得EB=EM=3，BC=CM=6；由有两组角对应相等的两个三角形相似得△FEC∽△MEC，由相似三角形对应边成比例并结合勾股定理可求出；由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△AGF∽△CBF，由相似三角形对应边成比例求出，，由同高三角形面积之比等于对应底之比得，从而可求出△AGF的面积为2；由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△NGH∽△CBH，由相似三角形对应边成比例求出，，由同高三角形面积之比等于对应底之比得，据此可算出△BCH的面积为8，从而即可求出两个三角形的面积之比.
17．（2025九下·丽水模拟）计算：
【答案】解：原式=2+2-2=2
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据负整数指数幂的性质“”，二次根式性质“”及绝对值代数意义分别化简，再计算有理数的加减法运算即可.
18．（2025九下·丽水模拟）解不等式组
【答案】解：由①得：x-1≤2
∴x≤3
由②得：-2x<1
∴x＞
∴【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.
19．（2025九下·丽水模拟）如图，在中，，，，D为AC边上的中点。
（1）求AB的长；
（2）求△BCD的周长。
【答案】（1）解：∵，
又∵，
∴
∴
（2）解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，
∴，
∵点D是AC的中点，AC=8，
∴CD=AC=4，
在Rt△BCD中，，
.
【知识点】勾股定理；已知余弦值求边长
【解析】【分析】（1）根据余弦函数定义“”结合∠A的余弦函数值，建立方程，求解即可；
（2）首先在Rt△ABC中，利用勾股定理算出BC的长，再根据中点定义求出CD的长，进而再在Rt△BDC中，根据勾股定理算出BD的长，最后根据三角形周长计算公式计算可得答案.
20．（2025九下·丽水模拟）某校为了解学生寒假在家期间进行体育锻炼的时间t（小时）随机抽取了本校部分学生进行问卷调查。要求抽取的学生在A，B，C，D，E五个选项中选且只选一项，并将抽查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答问题：
（1）求所抽取的学生总人数；
（2）若该校共有学生1800人，请估算该校学生进行体育锻炼的时间满足20≤t<30的人数。
【答案】（1）解：本次调查抽取的学生总人数为：18÷30%=60（人）；
（2）解： 该校学生进行体育锻炼的时间满足20≤t<30的人数为：1800×=（人）.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用选择B选项的学生人数除以其占比可求出本次调查抽取的学生总人数；
（2）用该校学生的总人数乘以样本中体育锻炼的时间满足20≤t<30的人数所占的百分比即可估算出该校学生进行体育锻炼的时间满足20≤t<30的人数 .
21．（2025九下·丽水模拟）如图，在□ABCD中，AD>AB，用直尺和圆规作∠B的平分线。小丽的作法是：以A为圆心，AB长为半径画弧，交AD于点P，作射线BP，则射线BP就是∠B的平分线。
（1）判断小丽的作法是否正确，并说明理由。
（2）若 ，，求DP的长。
【答案】（1）解：小丽的作法正确，理由如下：
∵AB=AP，
∴∠ABP=∠APB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠APB=∠CBP，
∴∠ABP=∠CBP，
∴ BP就是∠B的平分线 ；
（2）解：设AD与BC之间的距离的h，DP=a
∵AB=3，
∴AB=AP=3，
∴AD=AP+PD=3+a，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=3+a，
∵
，
，
.
【知识点】平行线之间的距离；平行四边形的性质；角平分线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由等边对等角得∠ABP=∠APB，由平行四边形对边平行得AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠APB=∠CBP，则∠ABP=∠CBP，从而根据角平分线的定义可得结论；
（2）设AD与BC之间的距离的h，DP=a，易得AP=AB=3，则AD=AP+PD=3+a，由平行四边形的对边相等得BC=AD=3+a，然后根据三角形的面积计算公式及梯形面积计算公式结合两个图形的面积之比等于列出关于字母a的方程，求解即可.
22．（2025九下·丽水模拟）如图，小丽和小庆去某风景区游览，其主要景点位于同一条公路边，其中古刹到塔林的路程为10km，塔林到草甸的路程为25km，草甸到飞瀑的路程为10km。小丽骑电动自行车从“古刹”出发，沿景区公路匀速去“草甸”，车速为20km/h。同一时刻，小庆乘电动汽车从“飞瀑”出发，沿景区公路匀速前往“古刹”。设两人相距的路程为skm，时间为th，s关于t的部分函数图象如下图所示。
（1）求小庆乘电动汽车的速度；
（2）求图中a的值；
（3）何时两人相距的路程等于5km
【答案】（1）解：45÷0.9=50(km/h)，50-20=30(km/h)，
答： 小庆乘电动汽车的速度为30km/h；
（2）解：30÷50=0.6 (h)， a=0.9+0.6=1.5(h)；
（3）解：相遇前，当两人相距的路程等于5km时，
(45-5)÷50=0.8(h)，
相遇后，当两人相距的路程等于5km时，
0.9+5÷50=1(h)，
综上所述，当两人出发0.8h或2h时，两人相距的路程等于5km.
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【分析】（1）根据“出发时两人之间的距离÷两人相遇时所用的时间=两人的速度之和”及“小庆乘电动汽车的速度=两人的速度之和-小丽骑电动自行车的速度”列式计算即可；
（2）用两人之间的距离除以两人的速度和求出两人相遇后继续前行到相距30千米时，所用的时间，然后再加上相遇前所用时间即可得到a的值；
（3）分类讨论：①相遇前，当两人相距的路程等于5km时，②相遇后，当两人相距的路程等于5km时，分别根据路程除以速度等于时间，求解即可.
23．（2025九下·丽水模拟）已知二次函数y=ax2-2ax+4，其中a≠0。
（1）求该二次函数图象的对称轴；
（2）无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x1，y1），B（x1，y2）两个定点，其中x1（3）若a=1，当t-1≤x≤t时，该二次函数的最大值与最小值的差为2，求t的值。
【答案】（1）解： 二次函数y=ax2-2ax+4 中，二次项系数为a，一次项系数为-2a，
∴对称轴直线为：；
（2）解：令a分别等于，得：；，
联立两式子得：，
化简得：，
∵x1，的值与a无关
，，
；
（3）解：当 时，抛物线的解析式为，对称轴为直线x=1
∴当x=1时，y取最小值为3，当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小；
分类讨论：
①当 时，
当x=t-1时，函数取最大值为，
当x=t时，函数取最小值为；
根据题意得：，
即 ，
解得 ；
②当t-1≥1时，即 时，当x=t-1时，函数取最小值为，
当x=t时，函数取最大值为；
根据题意得：，
即 ，
解得 ；
③当时，函数最大值为，最小值为；
根据题意得： ，
即 ，
解得 （舍去），（舍去），
④当 时，函数最小值为，最大值为 ；
根据题意得： ，
即 ，
解得 （舍去），（舍去），
综上所述 或 .
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的对称轴直线为：，据此求解即可；
（2）令a分别等于a1、a2，代入抛物线后联立两式可得，由题意可得x1，x2的值与a无关，据此可得x(x-2)=0，求解得出x1与x2的值，再代入待求式子即可可得答案；
（3）将a=1代入抛物线的解析式并配成顶点式可得y=(x-1)2+3，可得抛物线开口向上，对称轴直线为x=1，故当x=1时，y取最小值为3，当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小；然后分类讨论：①当t≤1时，②当t≥2时，③当1＜t≤时，④当＜t＜2时，四种情况分别根据函数的增减性表示出最大及最小值，结合 该二次函数的最大值与最小值的差为2建立方程，求解并检验可得答案.
24．（2025九下·丽水模拟）如图，三角形ABC内接于⊙O，AB=AC，连结BO并延长交AC于点E，交⊙O于点D，连结AO，AD，CD。
（1）求证：∠ABC=∠ADB；
（2）猜想OA与CD的位置关系，并说明理由；
（3）若CD=6，tan∠OAB=，求AE的长。
【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ABC=∠ADB；
（2）解：OA∥CD，理由如下
如图，延长AO交BC于点F
∵AB=AC，
∴弧AB=弧AC，
又∵AO为半径，
∴AF⊥BC，
∴∠AFB=90°，
∵BD是直径，
∴∠BCD=90°，
∴AO//CD；
（3）解：∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=BC，
∵OF∥CD，
∴△OFB∽△DCB，
∴
∴OF=CD=3，
∵tan∠OAB=，
∴设BF=x，则AF=2x，
∴OA=OB=2x-3，
∵BF2+OF2=OB2，
∴x2+32=(2x-3)2，
解得 x=4，
∴OA=5，
∴AB=AC=4，
∵AO//CD，
∴△AOE~△CDE，
，
.
【知识点】圆周角定理；A字型相似模型；8字型相似模型；等腰三角形的性质-等边对等角；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）由等边对等角得∠ABC=∠ACB，由同弧所对的圆周角相等得∠ADB=∠ACB，进而由等量代换可得结论；
（2）延长AO交BC于点F，由同圆中相等得弦所对弧相等得弧AB=弧AC，由垂径定理的推论“平分弧的直径垂直于弦”可得AF⊥BC，则∠AFB=90°，由直径所对的圆周角是直角得出∠BCD=90°，由同位角相等，两直线平行，可得AO∥CD；
（3）由等腰三角形三线合一的性质得BF=BC，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△OFB∽△DCB，由相似三角形对应边成比例可得OF=CD=3；由∠OAB的正切函数值可BF=x，则AF=2x，OA=OB=2x-3，在Rt△OBF中，利用勾股定理建立方程求出x的值，可得OA的长，进而再利用勾股定理求出AB=AC=4，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△AOE~△CDE，由相似三角形对应边成比例可求出，从而代值计算即可.
1 / 1浙江省丽水市2024-2025学年第二学期九年级适应性考试（一）数学试题卷
1．（2025九下·丽水模拟）2025的相反数是（　　）
A．-2025 B．- C．2025 D．
2．（2025九下·丽水模拟）如图是由大小相同的小立方块搭成的几何体，其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025九下·丽水模拟）春节期间，动画电影《哪吒2》爆火，上映20天其票房已累计约123亿元，数据123亿用科学记数法表示为（　　）
A．123x108 B．1.23x108 C．1.23x1010 D．12.3x1010
4．（2025九下·丽水模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九下·丽水模拟）体育中考某班5名同学1分钟跳绳成绩（单位：次）分别是178，150，193，181，166，这组数据的中位数是（　　）
A．166 B．178 C．181 D．193
6．（2025九下·丽水模拟） 如图，根据小丽与 DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的答案是（　　）
A．1 B． C．-1 D．1或-1
7．（2025九下·丽水模拟） 如图，在△ABC中，点D在BC上，∠DAC=∠ADC=2∠B，AC=3，AD=2，则BC的长为（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
8．（2025九下·丽水模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABO与△A'B'O'是以原点O为位似中心的位似图形。点B（-6，3）的对应点为B'（2，-1），若AA'为12，则A的坐标为（　　）
A．（-6，0） B．（-9，0） C．（-8，0） D．（-7，0）
9．（2025九下·丽水模拟） 若点A（m-3，y1），B（m-1，y2），C（m+1，y3）（其中1A． B． C． D．
10．（2025九下·丽水模拟） 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠D=90°，∠B=45°，点E为CD上一点，连结AE，把AE绕点E逆时针旋转90°，点A恰好落在BC的中点F处，则的值为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025九下·丽水模拟）因式分解：x2-x=　 　．
12．（2025九下·丽水模拟） 若分式的值为零，则a=　 　.
13．（2025九下·丽水模拟）不透明袋子中装有5个绿球、2个红球，这些球除颜色外无其他差别。从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为　 　.
14．（2025九下·丽水模拟）如图， ⊙O的切线CD交直径AB的延长线于点D，连结AC，若∠A=25°，则∠D的度数为　 　。
15．（2025九下·丽水模拟）体质指数（BMI）是衡量人体胖瘦程度的标准：BMI=，其中w为体重（单位：kg），h为身高（单位：m），成年人的BMI正常范围是18.5-23.9kg/m2。有一位成年人体重为78kg，根据公式计算得出他的BMI值为26kg/m2，属于超重范围。若想要BMI值不超过22kg/m2，他至少应减重　 　kg。
16．（2025九下·丽水模拟） 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，CE平分∠ACB交AB于点E，过点E作FE⊥EC交AC于点F，连结BF并延长交AD于点G，交EC于点H，则△AFG与△BCH的面积比为　 　。
17．（2025九下·丽水模拟）计算：
18．（2025九下·丽水模拟）解不等式组
19．（2025九下·丽水模拟）如图，在中，，，，D为AC边上的中点。
（1）求AB的长；
（2）求△BCD的周长。
20．（2025九下·丽水模拟）某校为了解学生寒假在家期间进行体育锻炼的时间t（小时）随机抽取了本校部分学生进行问卷调查。要求抽取的学生在A，B，C，D，E五个选项中选且只选一项，并将抽查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答问题：
（1）求所抽取的学生总人数；
（2）若该校共有学生1800人，请估算该校学生进行体育锻炼的时间满足20≤t<30的人数。
21．（2025九下·丽水模拟）如图，在□ABCD中，AD>AB，用直尺和圆规作∠B的平分线。小丽的作法是：以A为圆心，AB长为半径画弧，交AD于点P，作射线BP，则射线BP就是∠B的平分线。
（1）判断小丽的作法是否正确，并说明理由。
（2）若 ，，求DP的长。
22．（2025九下·丽水模拟）如图，小丽和小庆去某风景区游览，其主要景点位于同一条公路边，其中古刹到塔林的路程为10km，塔林到草甸的路程为25km，草甸到飞瀑的路程为10km。小丽骑电动自行车从“古刹”出发，沿景区公路匀速去“草甸”，车速为20km/h。同一时刻，小庆乘电动汽车从“飞瀑”出发，沿景区公路匀速前往“古刹”。设两人相距的路程为skm，时间为th，s关于t的部分函数图象如下图所示。
（1）求小庆乘电动汽车的速度；
（2）求图中a的值；
（3）何时两人相距的路程等于5km
23．（2025九下·丽水模拟）已知二次函数y=ax2-2ax+4，其中a≠0。
（1）求该二次函数图象的对称轴；
（2）无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x1，y1），B（x1，y2）两个定点，其中x1（3）若a=1，当t-1≤x≤t时，该二次函数的最大值与最小值的差为2，求t的值。
24．（2025九下·丽水模拟）如图，三角形ABC内接于⊙O，AB=AC，连结BO并延长交AC于点E，交⊙O于点D，连结AO，AD，CD。
（1）求证：∠ABC=∠ADB；
（2）猜想OA与CD的位置关系，并说明理由；
（3）若CD=6，tan∠OAB=，求AE的长。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：2025的相反数是-2025.
故答案为：A.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可逐一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：A、此选项的视图是其主视图，故此选项不符合题意；
B、此选项的视图是其俯视图，故此选项符合题意；
C、此选项的视图不是其三视图，故此选项不符合题意；
D、此选项的视图是其左视图，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】俯视图是从上往下看得到的正投影，俯视时，可见的立方块为各列最底层的立方块，据此判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵1亿等于100000000（即108），
∴123亿=123×108=1.23×1010.
故答案为：C.
【分析】首先需要将“123亿”转换为以元为单位的数值，进而根据用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，求解即可.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、m2与m3不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
B、m6÷m2=m6-2=m4，故此选项计算错误，不符合题意；
C、(2m3)2=22×(m3)2=4m6，故此选项计算错误，不符合题意；
D、m2×m3=m2+3=m5，故此选项计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断B选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断C选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断C选项.
5．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将5名同学1分钟跳绳成绩次数按从小到大排列为： 150，166，178，181，193 ，
排在最中间位置的为第3个数，是178，所以这组数据的中位数为178.
故答案为：B.
【分析】将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可.
6．【答案】A
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设这个数为x，由题意得x2-x+1=x，
整理得x2-2x+1=0，
∴(x-1)2=0，
解得x=1，
∴这个数为1.
故答案为：A.
【分析】设这个数为x，根据“这个数的平方减去这个数再加上1，结果等于这个数”列出方程，再利用直接开平方法求解即可.
7．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=2∠B，
∴∠B=∠BAD，
∴BD=AD=2，
∵ ∠DAC=∠ADC，
∴AC=CD=3，
∴BC=CD+BD=5.
故答案为：C.
【分析】由三角形外角性质及已知可推出∠B=∠BAD，由等角对等边得AC=CD=3，AC=CD=3，最后根据线段的和差，由BC=CD+BD，列式计算即可.
8．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABO与△A'B'O'是以原点O为位似中心的位似图形，且 B（-6，3）的对应点为B'（2，-1），
∴△ABO与△A'B'O'的位似比为3∶1，
∴OA∶OA'=3∶1，
∴OA=3OA'，
∵AA'=OA+OA'=12，
∴OA'=3，OA=9，
∴A（-9，0）.
故答案为：B.
【分析】在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，新图形与原图形的位似比为k，与原图形上（x，y）对应的位似图形上的点的坐标是（-kx，-ky）或（kx，ky），据此求出△ABO与△A'B'O'的位似比为3∶1，然后根据位似图形上一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比可得OA∶OA'=3∶1，则OA=3OA'，再结合AA'=OA+OA'=12，可算出OA的长，从而即可得出点A的坐标.
9．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数у=-中，-3＜0，
∴图象在第二、四象限，当x>0时，y<0且随x增大而增大；当x<0时，y>0且随x增大而增大，
∵ 1∴m-3＜0，m-1＞0，m+1＞0，
∴m-3＜0＜m-1＜m+1，
∵ A（m-3，y1），B（m-1，y2），C（m+1，y3）都在反比例函数у=-的图象上，
∴y1＞0＞y3＞y2，即y2＜y3＜0＜y1.
故答案为：C.
【分析】反比例函数中，当k＞0时，图象的两支分布在一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，图象的两支分布在二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大；据此判断出反比例函数у=-的图象所在的象限及增减性，进而结合m的取值范围判断出A、B、C三点横坐标的正负及大小，然后根据函数的增减性即可判断得出答案.
10．【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形；同侧一线三垂直全等模型；8字型相似模型
【解析】【解答】解：过点F作直线FH⊥AB于点H，交直线DC于点G，则∠FHB=∠FHA=90°，
∵F是BC的中点，
∴BF=CF，
∵AB∥CD，
∴△CGF∽△BHF，
∴，
∴GF=HF，BH=CG，
∴GH=2GF=2HF，
∵∠FHB=90°，∠B=45°，
∴△BHF是等腰直角三角形，
∴BH=FH，
∵AB∥CD，∠BHF=90°，
∴∠CGF=∠BHF=90°，
∴∠D=∠CGF=∠FHA=90°，
∴四边形ADGH是矩形，
∴AD=GH=2GF，AH=DG，
设GF=FH=x=BH，则AD=GH=2x，
由旋转性质得∠AEF=90°，AE=EF，
∴∠AED+∠CEF=90°=∠AED+∠DAE，
∴∠DAE=∠CEF，
∴△ADE≌△EGF（AAS），
∴DE=GF=x，AD=EG=2x，
∴DG=3x=AH，
∴AB=4x，
∵
∴，
∴.
故答案为：D.
【分析】过F作直线FH⊥AB于H，交直线DC于G，则∠FHB=∠FHA=90°，由平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△CGF∽△BHF，由相似三角形对应边成比例及中点定义可得GF=HF，BH=CG，则GH=2GF=2HF，易得△BHF是等腰直角三角形，则BH=FH；由二直线平行，内错角相等得∠CGF=∠BHF=90°，由三个角是直角的四边形是矩形得四边形ADGH是矩形，由矩形对边相等得AD=GH=2GF，AH=DG，设GF=FH=x=BH，则AD=GH=2x；由旋转的性质可得∠AEF=90°，AE=EF，根据平角定义、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠DAE=∠CEF，用AAS判断出△ADE≌△EGF，由全等三角形的对应边相等得DE=GF=x，AD=EG=2x，由线段和差可推出AB=4x，在Rt△ADE中，利用勾股定理用含x的式子表示出AE，进而根据等腰直角三角形的性质用含x的式子表示出AF，即可求出两条线段的比值.
11．【答案】x（x-1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2-x=x（x-1）
答案为：x（x-1）
【分析】观察此多项式含有公因式，提取公因式即可。
12．【答案】3
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解： 若分式的值为零，则满足，
解得a=3.
故答案为：3.
【分析】分式值为零的条件“分子等于零，且分母不为零”，据此列出混合组，求解即可.
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为.
故答案为：.
【分析】根据概率公式，用袋中红色小球的个数比上袋中小球的总个数即可.
14．【答案】40
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
∵CD是圆的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵弧BC=弧BC，
∴∠BOC=2∠A=50°，
∴∠D=90°-∠BOC=40°.
故答案为：40.
【分析】由圆的切线垂直经过切点的半径得∠OCD=90°，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠BOC=50°，最后根据直角三角形的两锐角互余可求出∠D的度数.
15．【答案】12
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：将BMI=26及w=78代入BMI=，得
∴h2=3，
将h2=3及BMI=22代入BMI=，得，
∴w=66，
∴该成年人至少应减重78-66=12kg.
故答案为：12.
【分析】首先将BMI=26及w=78代入BMI=算出h2=3，由于身高不变，故再将h2=3及BMI的最大值22再代入BMI=计算出目标体重的最大值，最后用当前体重减去目标体重即可求出需要减重的量.
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；8字型相似模型
【解析】【解答】解：延长CE交DA延长线于N，作EM⊥AC于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD∥BC
又∵AB=8，BC=6，
∴，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵AD∥BC，
∴∠N=∠BCE，
∴∠N=∠ACE，
∴AC=AN=10，
∵AN∥BC，
∴△ANE∽△BCE，
∴，
∴，，
∵AE+BE=AB=8，
∴AE=5，BE=3，
在△EBC于△EMC中，
∵∠EBC=∠EMC，∠ECB=∠ECM，EC=EC，
∴△EBC≌△EMC，
∴EB=EM=3，BC=CM=6，
∵∠ECF=∠ECM，∠FEC=∠EMC=90°，
∴△FEC∽△MEC，
∴，
∴，
∵CE2=BC2+BE2=45，
∴，
∴AF=AC-CF=；
∵AG∥BC，
∴△AGF∽△CBF，
∴，
∴，，
∴，
∴S△AGF=S△ABG=，
∵GN∥BC，
∴△NGH∽△CBH，
∴，
∴，，
∴，
∴S△BCH=S△BCE=，
∴.
故答案为：.
【分析】延长CE交DA延长线于N，作EM⊥AC于M，由矩形的性质得∠ABC=90°，AD∥BC，由是勾股定理算出AC的长，由角平分定义及平行线性质可推出∠N=∠ACE，由等角对等边得AC=AN=10，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△ANE∽△BCE，由相似三角形对应边成比例求出，，进而即可算出AE=5，BE=3；然后根据AAS判断出△EBC≌△EMC，得EB=EM=3，BC=CM=6；由有两组角对应相等的两个三角形相似得△FEC∽△MEC，由相似三角形对应边成比例并结合勾股定理可求出；由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△AGF∽△CBF，由相似三角形对应边成比例求出，，由同高三角形面积之比等于对应底之比得，从而可求出△AGF的面积为2；由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△NGH∽△CBH，由相似三角形对应边成比例求出，，由同高三角形面积之比等于对应底之比得，据此可算出△BCH的面积为8，从而即可求出两个三角形的面积之比.
17．【答案】解：原式=2+2-2=2
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据负整数指数幂的性质“”，二次根式性质“”及绝对值代数意义分别化简，再计算有理数的加减法运算即可.
18．【答案】解：由①得：x-1≤2
∴x≤3
由②得：-2x<1
∴x＞
∴【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.
19．【答案】（1）解：∵，
又∵，
∴
∴
（2）解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，
∴，
∵点D是AC的中点，AC=8，
∴CD=AC=4，
在Rt△BCD中，，
.
【知识点】勾股定理；已知余弦值求边长
【解析】【分析】（1）根据余弦函数定义“”结合∠A的余弦函数值，建立方程，求解即可；
（2）首先在Rt△ABC中，利用勾股定理算出BC的长，再根据中点定义求出CD的长，进而再在Rt△BDC中，根据勾股定理算出BD的长，最后根据三角形周长计算公式计算可得答案.
20．【答案】（1）解：本次调查抽取的学生总人数为：18÷30%=60（人）；
（2）解： 该校学生进行体育锻炼的时间满足20≤t<30的人数为：1800×=（人）.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用选择B选项的学生人数除以其占比可求出本次调查抽取的学生总人数；
（2）用该校学生的总人数乘以样本中体育锻炼的时间满足20≤t<30的人数所占的百分比即可估算出该校学生进行体育锻炼的时间满足20≤t<30的人数 .
21．【答案】（1）解：小丽的作法正确，理由如下：
∵AB=AP，
∴∠ABP=∠APB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠APB=∠CBP，
∴∠ABP=∠CBP，
∴ BP就是∠B的平分线 ；
（2）解：设AD与BC之间的距离的h，DP=a
∵AB=3，
∴AB=AP=3，
∴AD=AP+PD=3+a，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=3+a，
∵
，
，
.
【知识点】平行线之间的距离；平行四边形的性质；角平分线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由等边对等角得∠ABP=∠APB，由平行四边形对边平行得AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠APB=∠CBP，则∠ABP=∠CBP，从而根据角平分线的定义可得结论；
（2）设AD与BC之间的距离的h，DP=a，易得AP=AB=3，则AD=AP+PD=3+a，由平行四边形的对边相等得BC=AD=3+a，然后根据三角形的面积计算公式及梯形面积计算公式结合两个图形的面积之比等于列出关于字母a的方程，求解即可.
22．【答案】（1）解：45÷0.9=50(km/h)，50-20=30(km/h)，
答： 小庆乘电动汽车的速度为30km/h；
（2）解：30÷50=0.6 (h)， a=0.9+0.6=1.5(h)；
（3）解：相遇前，当两人相距的路程等于5km时，
(45-5)÷50=0.8(h)，
相遇后，当两人相距的路程等于5km时，
0.9+5÷50=1(h)，
综上所述，当两人出发0.8h或2h时，两人相距的路程等于5km.
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【分析】（1）根据“出发时两人之间的距离÷两人相遇时所用的时间=两人的速度之和”及“小庆乘电动汽车的速度=两人的速度之和-小丽骑电动自行车的速度”列式计算即可；
（2）用两人之间的距离除以两人的速度和求出两人相遇后继续前行到相距30千米时，所用的时间，然后再加上相遇前所用时间即可得到a的值；
（3）分类讨论：①相遇前，当两人相距的路程等于5km时，②相遇后，当两人相距的路程等于5km时，分别根据路程除以速度等于时间，求解即可.
23．【答案】（1）解： 二次函数y=ax2-2ax+4 中，二次项系数为a，一次项系数为-2a，
∴对称轴直线为：；
（2）解：令a分别等于，得：；，
联立两式子得：，
化简得：，
∵x1，的值与a无关
，，
；
（3）解：当 时，抛物线的解析式为，对称轴为直线x=1
∴当x=1时，y取最小值为3，当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小；
分类讨论：
①当 时，
当x=t-1时，函数取最大值为，
当x=t时，函数取最小值为；
根据题意得：，
即 ，
解得 ；
②当t-1≥1时，即 时，当x=t-1时，函数取最小值为，
当x=t时，函数取最大值为；
根据题意得：，
即 ，
解得 ；
③当时，函数最大值为，最小值为；
根据题意得： ，
即 ，
解得 （舍去），（舍去），
④当 时，函数最小值为，最大值为 ；
根据题意得： ，
即 ，
解得 （舍去），（舍去），
综上所述 或 .
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的对称轴直线为：，据此求解即可；
（2）令a分别等于a1、a2，代入抛物线后联立两式可得，由题意可得x1，x2的值与a无关，据此可得x(x-2)=0，求解得出x1与x2的值，再代入待求式子即可可得答案；
（3）将a=1代入抛物线的解析式并配成顶点式可得y=(x-1)2+3，可得抛物线开口向上，对称轴直线为x=1，故当x=1时，y取最小值为3，当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小；然后分类讨论：①当t≤1时，②当t≥2时，③当1＜t≤时，④当＜t＜2时，四种情况分别根据函数的增减性表示出最大及最小值，结合 该二次函数的最大值与最小值的差为2建立方程，求解并检验可得答案.
24．【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ABC=∠ADB；
（2）解：OA∥CD，理由如下
如图，延长AO交BC于点F
∵AB=AC，
∴弧AB=弧AC，
又∵AO为半径，
∴AF⊥BC，
∴∠AFB=90°，
∵BD是直径，
∴∠BCD=90°，
∴AO//CD；
（3）解：∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=BC，
∵OF∥CD，
∴△OFB∽△DCB，
∴
∴OF=CD=3，
∵tan∠OAB=，
∴设BF=x，则AF=2x，
∴OA=OB=2x-3，
∵BF2+OF2=OB2，
∴x2+32=(2x-3)2，
解得 x=4，
∴OA=5，
∴AB=AC=4，
∵AO//CD，
∴△AOE~△CDE，
，
.
【知识点】圆周角定理；A字型相似模型；8字型相似模型；等腰三角形的性质-等边对等角；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）由等边对等角得∠ABC=∠ACB，由同弧所对的圆周角相等得∠ADB=∠ACB，进而由等量代换可得结论；
（2）延长AO交BC于点F，由同圆中相等得弦所对弧相等得弧AB=弧AC，由垂径定理的推论“平分弧的直径垂直于弦”可得AF⊥BC，则∠AFB=90°，由直径所对的圆周角是直角得出∠BCD=90°，由同位角相等，两直线平行，可得AO∥CD；
（3）由等腰三角形三线合一的性质得BF=BC，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△OFB∽△DCB，由相似三角形对应边成比例可得OF=CD=3；由∠OAB的正切函数值可BF=x，则AF=2x，OA=OB=2x-3，在Rt△OBF中，利用勾股定理建立方程求出x的值，可得OA的长，进而再利用勾股定理求出AB=AC=4，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△AOE~△CDE，由相似三角形对应边成比例可求出，从而代值计算即可.
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