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浙江省浙共体2024-2025学年上学期八年级期末数学试卷（人教版）
1．（2024八上·浙江期末）下列图形中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·浙江期末）某三角形的三边长分别为3，6，，则可能是（　　）
A．3 B．9 C．6 D．10
3．（2024八上·浙江期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八上·浙江期末）若等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长是（　　）.
A． B． C． D．或
5．（2024八上·浙江期末）点关于轴对称的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八上·浙江期末）已知△ABC，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（　　）.
A．∠A的平分线上 B．AC边的高上
C．BC边的垂直平分线上 D．AB边的中线上
7．（2024八上·浙江期末）如图，在边长为的正方形中央剪去一边长为的小正方形，将剩余部分剪开拼成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八上·浙江期末）如图，点和点都在正方形网格的格点上，则能与点组成轴对称图形的点的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2024八上·浙江期末）如图，在四边形中，，．若，，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2024八上·浙江期末）如图，在中，是上一点，且，直线分别是线段，射线上的一个动点．当的值最小时，的长度为（　　）
A．8 B．8.5 C．9 D．9.5
11．（2024八上·浙江期末）生活中，自行车的车架大多设计成如图所示的三角形，这是因为三角形具有 　 　．
12．（2024八上·浙江期末）因式分解的结果为　 　．
13．（2024八上·浙江期末）一副三角板，如图叠放在一起，则图中的度数为　 　．
14．（2024八上·浙江期末）如图，已知，要判断，则根据，还需要补充的一个条件是　 　．
15．（2024八上·浙江期末）如图，平分．若，则的度数为　 　．
16．（2024八上·浙江期末）如图，中，，将沿着翻折，使顶点的对应点刚好落在边上，平分交于点，连接．若，则　 　．
17．（2024八上·浙江期末）因式分解：
（1）；
（2）．
18．（2024八上·浙江期末）如图，在中，与交于点．现给出以下四个论断：①于点；②于点；③；④．请从中选三个作为已知条件，剩余的一个作为结论，写出一个真命题（用序号表示，如①②③→④），并给出证明．真命题：__________．
证明：
19．（2024八上·浙江期末）先化简，再求值：，其中．
20．（2024八上·浙江期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，三点都在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．
（1）在图1中，画出的中点；
（2）在图1中，画出的垂直平分线；
（3）在图2中，在边上找出点，使．
21．（2024八上·浙江期末）如图，在中，，为的角平分线．以点A圆心，长为半径画弧，与分别交于点E，F，连接，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
22．（2024八上·浙江期末）如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点．
（1）若，，求的度数；
（2）当点在线段上运动时，猜想与，的数量关系，并证明．
23．（2024八上·浙江期末）通常情况下，用两种不同的方法计算一个图形的面积，可以得到一个数学等式．如图1，在①中边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，可拼成②中的长方形．
（1）写出图1所表示的数学等式：__________；如图2，大正方形的面积有两种表示方法，由此可以说明__________（填公式）
【问题探究】
（2）①已知，则的值为__________；
②如图2，若，则__________．
【拓展计算】
（3）．
24．（2024八上·浙江期末）小明同学在科学课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架横杆的点处用一根细绳悬挂一个小球，小球A可以自由摆动，如图，点A表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从点A摆到点的位置，此时过点作于点，测得，．
（1）如图1，当小球摆到点位置时，与恰好垂直（图中的点在同一平面内），过点作于点，求证：；
（2）如图2，当小球摆到点位置时，，求出点到的距离；
（3）在（2）的条件下，的延长线上有一点，且，连接交于点，求证：为的中点．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的交通图标是轴对称图形，符合题意；
B、此选项中的交通图标不是轴对称图形，不符合题意；
C、此选项中的交通图标不是轴对称图形，不符合题意；
D、此选项中的交通图标不是轴对称图形，不符合题意.
故答案为：A．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意得：3＜x＜9，
∴只有C选项符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据三角形三边的关系可得x的取值范围，再求解即可。
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项原运算错误，不符合题意；
B、，故此选项原运算正确，符合题意；
C、，故此选项原运算错误，不符合题意；
D、，故此选项原运算错误，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断A选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断B选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断C选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断D选项.
4．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：①当13cm是腰时，13+713，符合三角形三边关系，
此时周长为；
②当7cm是腰时，7+713，符合三角形三边关系，
此时周长为．
故它的周长为或．
故选：D．
【分析】由题意可知需分两种情况讨论，①当13cm是腰时；②当7cm是腰时；分别根据三角形三边关系定理判断是否可以构成三角形，最后进行计算即可．
5．【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于轴对称的点的坐标是，
故选：C．
【分析】根据关于轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数，即可解题．
6．【答案】A
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，
∵ME⊥AB，MF⊥AC，ME=MF，
∴M在∠BAC的角平分线上，
故答案为：A
【分析】根据角平分线的判定定理即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】整式的混合运算；图形的剪拼
【解析】【解答】解：由图可知：该平行四边形的面积为；
故答案为：A．
【分析】根据图形的剪拼可知该平行四边形面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，然后根据正方形面积计算公式列出式子，进而根据整式混合运算的运算顺序计算可得答案.
8．【答案】C
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【解答】解：如图，点四个点满足题意；
故答案为：C．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此画出相应的图形，进行判断即可．
9．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：，，
，
延长交的延长线于点，
，，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
即，
则，
故选：A．
【分析】根据四边形内角和求出，延长交的延长线于点，进而证明为等边三角形，进而得到，最后结合直角三角形性质求解，即可解题．
10．【答案】D
【知识点】两点之间线段最短；垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点关于的对称点，则A、B、M三点共线，连接，过点作，
则：，，
∴，，
∴当点三点共线时，的值最小为的长，
∵为线段上的一个动点，
∴当时，最小，即点与点重合时，的值最小为的长，
∵，
∴，
∴，即：；
故答案为：D．
【分析】作点F关于BH的对称点M，过点M作MN⊥AC，根据两点之间线段最短及垂线段最短，得到当点M、H、G三点共线，点G与点N重合时，GH+FH的值最小为MN的长，由轴对称的性质得BM=BF=7，则AM=AB+BM=19，由直角三角形的量锐角互余得∠AMN=30°，根据含30度角的直角三角形的性质，求出AN的长即可．
11．【答案】稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：∵三角形具有稳定性，
故答案为：稳定性．
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
12．【答案】
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：原式；
故答案：．
【分析】此题的二项式可以写成两个整式的平方差形式，根据平方差公式“a2-b2=(a+b)(a-b)”可得这里的2x相当于a，y相当于b，从而利用平方差公式直接分解即可.
13．【答案】
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：，，
．
故答案为：．
【分析】根据三角形外角的性质即得答案．
14．【答案】
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，，
∴当时，，
故需要补充的条件为：；
故答案为：．
【分析】已知，，想要利用证明两个三角形全等，则需要找到以为一边的两个对应角，即可得出结果．
15．【答案】
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：过点作，
∵平分，
∴，
∵，
∴∠EDA=∠DAF，
∴，
∴，
取的中点，连接，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵DE∥AB，
∴∠DEC=∠BAC=30°，
∴.
故答案为：．
【分析】过点D作，取DE的中点K，连接MK，由角平分线上的点到角两边的距离相等得到DF=DM=a，证由二直线平行，内错角相等及角平分线的定义可得∠DAE=∠ADE，由等角对等边得AE=DE=2a，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得KM=DK=DM=a，由边相等的三角形是等边三角形得△DKM为等边三角形，则∠MDK=60°，由直角三角形的量锐角互余得∠DEM=30°，由二直线平行，同位角相等得∠BAC=∠DEM=30°，从而根据角平分线定义得出答案.
16．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵折叠，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到：，根据折叠的性质得到：=45°，由三角形外角性质及角的构成，可推出，从而利用＂ASA＂证明△CEF≌△AGE，由全等三角形的对应边相等得到，最后根据等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠EFG的度数.
17．【答案】（1）解：原式．
（2）解：原式
．

【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）提出公因式，即可解题；
（2）提出公因式，再连续运用平方差公式进行分解，即可解题．
（1）解：原式．
（2）解：原式
．
18．【答案】条件：①②④，结论：③；证明见解析
【知识点】三角形全等的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：条件：①②④，结论：③
理由：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【分析】先写出①②④为条件，③为结论；再根据条件证明，从而可得结论．
19．【答案】解：原式
，
当时，
原式
．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据完全平方公式和平方差公式将式子进行化简，再将代入求值即可．
20．【答案】（1）解：如图，根据网格的特点，点即为所求：
由作图可知：，
则：，
即点即为所求；
（2）解：如图所示，分别找到的格点，则四边形是正方形，取与网格线的交点，作直线，则即为所求；
由作图可知：垂直平分，且为的中点，
则：垂直平分；
（3）解：构造等腰直角三角形，交于点，点即为所求；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；线段的中点；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用网格特征作出的中点即可；
（2）根据线段的垂直平分线的定义作出图形即可；
（3）构造等腰直角三角形，交一点，点即为所求；
（1）解：如图，根据网格的特点，点即为所求：
由作图可知：，
则：，
即点即为所求；
（2）如图所示，分别找到的格点，则四边形是正方形，取与网格线的交点，作直线，则即为所求；
由作图可知：垂直平分，且为的中点，
则：垂直平分；
（3）构造等腰直角三角形，交于点，点即为所求；
21．【答案】（1）证明：根据以点A圆心，长为半径画弧，与分别交于点E，F，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，平分，
∴．
∴
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；翻折全等-公共边模型；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析（1）由作图知AE=AF，由角平分线定义得∠EAD=∠FAD，从而由“SAS”判断出△ADE≌△ADF，由全等三角形的对应边相等即可得出结论；
（2）由角平分线的定义得出∠EAD=40°，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由等腰三角形的三线合一可得．最后根据计算即可．
（1）证明：根据以点A圆心，长为半径画弧，与分别交于点E，F，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，平分，
∴．
∴．
22．【答案】（1）解：，，
，
平分，
，
，
．
（2）解：
如图所示：
平分，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数；
（2）根据角平分线的定义得到：，设，，结合三角形内角和定理和垂直的定义即可求解．
（1）解，，
，
平分，
，
，
；
（2）解：
如图所示：
平分，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
．
23．【答案】解（1）；；
（2）12；74；
（3）原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图①中阴影部分的面积为：，图②中阴影部分的面积为，
∴图1所表示的数学等式为：；
大正方形的面积可以用：，也可以用表示，
∴可以说明；
故答案为：；；
（2）①∵，
∴，
∴9m2-n2=12；
故答案为：12；
②∵，，
∴
；
故答案为：74；
【分析】（1）图①中阴影部分的面积等于边长为a的正方形的面积减去边长为b的正方形的面积，图②中阴影部分的面积就是长为(a+b)，宽为(a-b)的矩形的面积，据此分别表示出两个图形面积，由图形剪拼可得两个图形面积相等，从而得到数学等于；图2利用整体法，其面积就是一个边长为(a+b+c)的正方形的面积，利用分割法，由边长分别为a、b、c三个正方形及长为a、宽为b的，长为b、宽为c，长为c、宽为a的各两个矩形拼成，利用正方形及矩形面积计算公式分别表示出图2的面积，即可得出数学等式；
（2）①将已知两个等式相乘，利用图1的结论可知计算即可；
②利用图2的结论进行变形进行求解即可；
（3）利用图1的结论，分别将每一个因数展开，再计算乘法，进行约分化简即可．
24．【答案】（1）证明：，
，
，
，
．
，，
又，
；
（2）解：如图，作直线于点，
，，
，，
，
又，，
，
，
点到的距离为；

（3）证明：，，
，
又，，
，
，
是的中点．
【知识点】直角三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质可证明，再利用＂AAS＂即可求证；
（2）作直线于点，根据直角三角形的性质可证明，再根据全等三角形的判定，即可证明结论；
（3）根据，，可证明，然后根据全等三角形的判定，可证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论．
（1）证明：，
，
，
，
．
，，
又，
；
（2）解：如图，作直线于点，
，，
，，
，
又，，
，
，
点到的距离为；
（3）证明：，，
，
又，，
，
，
是的中点．
1 / 1浙江省浙共体2024-2025学年上学期八年级期末数学试卷（人教版）
1．（2024八上·浙江期末）下列图形中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的交通图标是轴对称图形，符合题意；
B、此选项中的交通图标不是轴对称图形，不符合题意；
C、此选项中的交通图标不是轴对称图形，不符合题意；
D、此选项中的交通图标不是轴对称图形，不符合题意.
故答案为：A．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此逐一判断得出答案.
2．（2024八上·浙江期末）某三角形的三边长分别为3，6，，则可能是（　　）
A．3 B．9 C．6 D．10
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意得：3＜x＜9，
∴只有C选项符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据三角形三边的关系可得x的取值范围，再求解即可。
3．（2024八上·浙江期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项原运算错误，不符合题意；
B、，故此选项原运算正确，符合题意；
C、，故此选项原运算错误，不符合题意；
D、，故此选项原运算错误，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断A选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断B选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断C选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断D选项.
4．（2024八上·浙江期末）若等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长是（　　）.
A． B． C． D．或
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：①当13cm是腰时，13+713，符合三角形三边关系，
此时周长为；
②当7cm是腰时，7+713，符合三角形三边关系，
此时周长为．
故它的周长为或．
故选：D．
【分析】由题意可知需分两种情况讨论，①当13cm是腰时；②当7cm是腰时；分别根据三角形三边关系定理判断是否可以构成三角形，最后进行计算即可．
5．（2024八上·浙江期末）点关于轴对称的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于轴对称的点的坐标是，
故选：C．
【分析】根据关于轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数，即可解题．
6．（2024八上·浙江期末）已知△ABC，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（　　）.
A．∠A的平分线上 B．AC边的高上
C．BC边的垂直平分线上 D．AB边的中线上
【答案】A
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，
∵ME⊥AB，MF⊥AC，ME=MF，
∴M在∠BAC的角平分线上，
故答案为：A
【分析】根据角平分线的判定定理即可求出答案.
7．（2024八上·浙江期末）如图，在边长为的正方形中央剪去一边长为的小正方形，将剩余部分剪开拼成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】整式的混合运算；图形的剪拼
【解析】【解答】解：由图可知：该平行四边形的面积为；
故答案为：A．
【分析】根据图形的剪拼可知该平行四边形面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，然后根据正方形面积计算公式列出式子，进而根据整式混合运算的运算顺序计算可得答案.
8．（2024八上·浙江期末）如图，点和点都在正方形网格的格点上，则能与点组成轴对称图形的点的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【解答】解：如图，点四个点满足题意；
故答案为：C．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此画出相应的图形，进行判断即可．
9．（2024八上·浙江期末）如图，在四边形中，，．若，，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：，，
，
延长交的延长线于点，
，，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
即，
则，
故选：A．
【分析】根据四边形内角和求出，延长交的延长线于点，进而证明为等边三角形，进而得到，最后结合直角三角形性质求解，即可解题．
10．（2024八上·浙江期末）如图，在中，是上一点，且，直线分别是线段，射线上的一个动点．当的值最小时，的长度为（　　）
A．8 B．8.5 C．9 D．9.5
【答案】D
【知识点】两点之间线段最短；垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点关于的对称点，则A、B、M三点共线，连接，过点作，
则：，，
∴，，
∴当点三点共线时，的值最小为的长，
∵为线段上的一个动点，
∴当时，最小，即点与点重合时，的值最小为的长，
∵，
∴，
∴，即：；
故答案为：D．
【分析】作点F关于BH的对称点M，过点M作MN⊥AC，根据两点之间线段最短及垂线段最短，得到当点M、H、G三点共线，点G与点N重合时，GH+FH的值最小为MN的长，由轴对称的性质得BM=BF=7，则AM=AB+BM=19，由直角三角形的量锐角互余得∠AMN=30°，根据含30度角的直角三角形的性质，求出AN的长即可．
11．（2024八上·浙江期末）生活中，自行车的车架大多设计成如图所示的三角形，这是因为三角形具有 　 　．
【答案】稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：∵三角形具有稳定性，
故答案为：稳定性．
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
12．（2024八上·浙江期末）因式分解的结果为　 　．
【答案】
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：原式；
故答案：．
【分析】此题的二项式可以写成两个整式的平方差形式，根据平方差公式“a2-b2=(a+b)(a-b)”可得这里的2x相当于a，y相当于b，从而利用平方差公式直接分解即可.
13．（2024八上·浙江期末）一副三角板，如图叠放在一起，则图中的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：，，
．
故答案为：．
【分析】根据三角形外角的性质即得答案．
14．（2024八上·浙江期末）如图，已知，要判断，则根据，还需要补充的一个条件是　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，，
∴当时，，
故需要补充的条件为：；
故答案为：．
【分析】已知，，想要利用证明两个三角形全等，则需要找到以为一边的两个对应角，即可得出结果．
15．（2024八上·浙江期末）如图，平分．若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：过点作，
∵平分，
∴，
∵，
∴∠EDA=∠DAF，
∴，
∴，
取的中点，连接，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵DE∥AB，
∴∠DEC=∠BAC=30°，
∴.
故答案为：．
【分析】过点D作，取DE的中点K，连接MK，由角平分线上的点到角两边的距离相等得到DF=DM=a，证由二直线平行，内错角相等及角平分线的定义可得∠DAE=∠ADE，由等角对等边得AE=DE=2a，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得KM=DK=DM=a，由边相等的三角形是等边三角形得△DKM为等边三角形，则∠MDK=60°，由直角三角形的量锐角互余得∠DEM=30°，由二直线平行，同位角相等得∠BAC=∠DEM=30°，从而根据角平分线定义得出答案.
16．（2024八上·浙江期末）如图，中，，将沿着翻折，使顶点的对应点刚好落在边上，平分交于点，连接．若，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵折叠，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到：，根据折叠的性质得到：=45°，由三角形外角性质及角的构成，可推出，从而利用＂ASA＂证明△CEF≌△AGE，由全等三角形的对应边相等得到，最后根据等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠EFG的度数.
17．（2024八上·浙江期末）因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式．
（2）解：原式
．

【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）提出公因式，即可解题；
（2）提出公因式，再连续运用平方差公式进行分解，即可解题．
（1）解：原式．
（2）解：原式
．
18．（2024八上·浙江期末）如图，在中，与交于点．现给出以下四个论断：①于点；②于点；③；④．请从中选三个作为已知条件，剩余的一个作为结论，写出一个真命题（用序号表示，如①②③→④），并给出证明．真命题：__________．
证明：
【答案】条件：①②④，结论：③；证明见解析
【知识点】三角形全等的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：条件：①②④，结论：③
理由：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【分析】先写出①②④为条件，③为结论；再根据条件证明，从而可得结论．
19．（2024八上·浙江期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
，
当时，
原式
．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据完全平方公式和平方差公式将式子进行化简，再将代入求值即可．
20．（2024八上·浙江期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，三点都在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．
（1）在图1中，画出的中点；
（2）在图1中，画出的垂直平分线；
（3）在图2中，在边上找出点，使．
【答案】（1）解：如图，根据网格的特点，点即为所求：
由作图可知：，
则：，
即点即为所求；
（2）解：如图所示，分别找到的格点，则四边形是正方形，取与网格线的交点，作直线，则即为所求；
由作图可知：垂直平分，且为的中点，
则：垂直平分；
（3）解：构造等腰直角三角形，交于点，点即为所求；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；线段的中点；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用网格特征作出的中点即可；
（2）根据线段的垂直平分线的定义作出图形即可；
（3）构造等腰直角三角形，交一点，点即为所求；
（1）解：如图，根据网格的特点，点即为所求：
由作图可知：，
则：，
即点即为所求；
（2）如图所示，分别找到的格点，则四边形是正方形，取与网格线的交点，作直线，则即为所求；
由作图可知：垂直平分，且为的中点，
则：垂直平分；
（3）构造等腰直角三角形，交于点，点即为所求；
21．（2024八上·浙江期末）如图，在中，，为的角平分线．以点A圆心，长为半径画弧，与分别交于点E，F，连接，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：根据以点A圆心，长为半径画弧，与分别交于点E，F，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，平分，
∴．
∴
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；翻折全等-公共边模型；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析（1）由作图知AE=AF，由角平分线定义得∠EAD=∠FAD，从而由“SAS”判断出△ADE≌△ADF，由全等三角形的对应边相等即可得出结论；
（2）由角平分线的定义得出∠EAD=40°，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由等腰三角形的三线合一可得．最后根据计算即可．
（1）证明：根据以点A圆心，长为半径画弧，与分别交于点E，F，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，平分，
∴．
∴．
22．（2024八上·浙江期末）如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点．
（1）若，，求的度数；
（2）当点在线段上运动时，猜想与，的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：，，
，
平分，
，
，
．
（2）解：
如图所示：
平分，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数；
（2）根据角平分线的定义得到：，设，，结合三角形内角和定理和垂直的定义即可求解．
（1）解，，
，
平分，
，
，
；
（2）解：
如图所示：
平分，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
．
23．（2024八上·浙江期末）通常情况下，用两种不同的方法计算一个图形的面积，可以得到一个数学等式．如图1，在①中边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，可拼成②中的长方形．
（1）写出图1所表示的数学等式：__________；如图2，大正方形的面积有两种表示方法，由此可以说明__________（填公式）
【问题探究】
（2）①已知，则的值为__________；
②如图2，若，则__________．
【拓展计算】
（3）．
【答案】解（1）；；
（2）12；74；
（3）原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图①中阴影部分的面积为：，图②中阴影部分的面积为，
∴图1所表示的数学等式为：；
大正方形的面积可以用：，也可以用表示，
∴可以说明；
故答案为：；；
（2）①∵，
∴，
∴9m2-n2=12；
故答案为：12；
②∵，，
∴
；
故答案为：74；
【分析】（1）图①中阴影部分的面积等于边长为a的正方形的面积减去边长为b的正方形的面积，图②中阴影部分的面积就是长为(a+b)，宽为(a-b)的矩形的面积，据此分别表示出两个图形面积，由图形剪拼可得两个图形面积相等，从而得到数学等于；图2利用整体法，其面积就是一个边长为(a+b+c)的正方形的面积，利用分割法，由边长分别为a、b、c三个正方形及长为a、宽为b的，长为b、宽为c，长为c、宽为a的各两个矩形拼成，利用正方形及矩形面积计算公式分别表示出图2的面积，即可得出数学等式；
（2）①将已知两个等式相乘，利用图1的结论可知计算即可；
②利用图2的结论进行变形进行求解即可；
（3）利用图1的结论，分别将每一个因数展开，再计算乘法，进行约分化简即可．
24．（2024八上·浙江期末）小明同学在科学课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架横杆的点处用一根细绳悬挂一个小球，小球A可以自由摆动，如图，点A表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从点A摆到点的位置，此时过点作于点，测得，．
（1）如图1，当小球摆到点位置时，与恰好垂直（图中的点在同一平面内），过点作于点，求证：；
（2）如图2，当小球摆到点位置时，，求出点到的距离；
（3）在（2）的条件下，的延长线上有一点，且，连接交于点，求证：为的中点．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
．
，，
又，
；
（2）解：如图，作直线于点，
，，
，，
，
又，，
，
，
点到的距离为；

（3）证明：，，
，
又，，
，
，
是的中点．
【知识点】直角三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质可证明，再利用＂AAS＂即可求证；
（2）作直线于点，根据直角三角形的性质可证明，再根据全等三角形的判定，即可证明结论；
（3）根据，，可证明，然后根据全等三角形的判定，可证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论．
（1）证明：，
，
，
，
．
，，
又，
；
（2）解：如图，作直线于点，
，，
，，
，
又，，
，
，
点到的距离为；
（3）证明：，，
，
又，，
，
，
是的中点．
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