资源简介

浙江省杭州市拱墅区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·拱墅期末）函数 中自变量 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得 2x-3≥0，
解得 .
故答案为：A.
【分析】函数关系中有二次根式，根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，求解即可.
2．（2024八下·拱墅期末）在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝4，则对角线AC的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，在矩形ABCD中，
∵AB＝CD＝3，BC＝4，
∴AC＝BD＝
故选：C．
【分析】利用矩形的性质可得AB＝CD＝3，BC＝4，再利用勾股定理及矩形的性质求出AC的长即可.
3．（2024八下·拱墅期末）方程的两个根的和是（　　）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴或，
∴，，
∴，
故答案为：C．
【分析】此方程左边是两个因式的乘积，右边等于零，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程可求出方程的解，最后再求两根之和即可.
4．（2024八下·拱墅期末）在平行四边形ABCD 中，若∠A＝2∠B，则∠B＝（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴∠A＋∠B＝180°，
∵∠A＝2∠B，
∴2∠B＋∠B＝180°，
∴∠B＝60°．
故选：D．
【分析】利用平行线的性质可得∠A＋∠B＝180°，再结合∠A＝2∠B，可得2∠B＋∠B＝180°，最后求出∠B的度数即可.
5．（2024八下·拱墅期末）在，0四个数中，最大的数是（　　）
A． B． C． D．0
【答案】B
【知识点】无理数的大小比较；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴最大的数是，
故答案为：B.
【分析】先利用二次根式的性质化简，再比较大小即可得到最大值.
6．（2024八下·拱墅期末）在直角坐标系中，设反比例函数，其中．若点均在该函数的图象上，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数 ，，
∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，
∵点在反比例函数的图象上，且，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】 反比例函数 中，当k＞0时，图象的两支分布在第一、三象限，在第一象限内，y＞0，且y随x的增大而减小，在第三象限内，y＜0，且y随x的增大而减小，据此根据A、B、C三点横坐标判断出对应函数值的大小即可.
7．（2024八下·拱墅期末）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末（上端），（绳索从木柱上端垂下后）委地（堆在地面）三尺．引索却（退）行，去本（木柱底端）八尺而索尽．问索长几何？”设绳索长为x尺，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；列一元一次方程
【解析】【解答】解：如图，设绳索长BC为x尺，则立木长AB为（x-3）尺，由题意知AC=8 ，
由勾股定理得，，
故答案为：A.
【分析】设绳索长BC为x尺，则立木长AB为（x-3）尺，由题意知AC=8 ，在Rt△ABC中，根据勾股定理即可列出方程．
8．（2024八下·拱墅期末）设数据0，1，2，3，4的平均数为a，中位数为b，方差为c，则（　　）
A．a＝b＝c B．a＝b＜c C．a＜b＝c D．a＜b＜c
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】解：平均数a＝（0＋1＋2＋3＋4）÷5＝2；
数据0，1，2，3，4中，中间的数是2，
∴中位数b＝（2＋2）÷2＝2；
方差c＝[（0 2）2＋（1 2）2＋（2 2）2＋（3 2）2＋（4 2）2]＝2．
∴a＝b＝c，
故选：A．
【分析】利用平均数、中位数和方差的定义及计算方法分别求出a、b、c的值，再比较大小即可.
9．（2024八下·拱墅期末）如图是正方形纸片，点在边上（不与点，重合），连接．把四边形翻折，折痕为，点A，分别落在，处．若，则点到点A的距离可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接，与相交于点，由折叠的性质可知垂直且平分，
，
由图可知，在正方形中，，
当点与点重合时，，
当点与点重合时，此时，
点在边上（不与点，重合），
，
，
在中，当时，
，
此时，
当点与点重合时，，
，
，
，，，中，只有在此范围内，
C选项符合题意，
故答案为：C．
【分析】连接AA'，与DE相交于点O，由折叠的性质可知DE垂直且平分AA'，AA'=2OA，当点E与点B重合时，，当点E与点C重合时，，由于点E不与点B、C重合，故45°＜∠ADO＜90°，由直角三角形两锐角互余得0°＜∠DAO＜45°；在Rt△AOD中，分别求出当E与B点重合及点E与点C重合时OA的长，依据∠DAO的取值范围得到OA的范围，进而得到AA'的范围，最后再结合估算无理数大小的方法即可逐一判断得出答案.
10．（2024八下·拱墅期末）已知一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，若的另一个根为4，则的两个根分别为（　　）
A．，4 B．，1 C．，4 D．，1
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，
∴，
解得，
∴正根为1，
∵的另一个根为4，
∴，
∴，
∵方程有一个正根为1，设另一个根为m，
∴则，
∴，
∴另一个根为，
∴的两个根分别为1，，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，求出正根为1；设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数，结合的另一个根为4，得到；方程有一个正根为1，设另一个根为m，利用根与系数关系得到，即可求出另一个根为．
11．（2024八下·拱墅期末）计算： 　 　.
【答案】
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】 .
故答案为： .
【分析】两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，据此解答即可.
12．（2024八下·拱墅期末）若两个不同的点A（3，3）和B（m，m）在同一个反比例函数的图象上，则m＝　 　．
【答案】-3
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】设反比例函数的解析式为，
∵ 点A（3，3）和B（m，m）在同一个反比例函数的图象上 ，
∴3×3=m×m，
解得：m1=3（舍），m2=-3，
故答案为：-3.
【分析】根据“ 点A（3，3）和B（m，m）在同一个反比例函数的图象上 ”可得3×3=m×m，再求出m的值即可.
13．（2024八下·拱墅期末）某工厂第一车间有工人15人，每人日均加工螺杆数统计如图．该车间平均每人每日加工螺杆数为　 　个．
【答案】20
【知识点】条形统计图；加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：该车间工人日均生产螺杆数的平均数为：
（个），
故答案为：20．
【分析】根据条形统计图提供的信息，结合加权平均数的计算方法列式计算即可.
14．（2024八下·拱墅期末）已知a，b为常数，若方程的两个根与方程的两个根相同，则　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：(x-1)2=a，
整理得x2-2x+1-a=0，
(x-3)(x-b)=0，
整理得x2-(3+b)x+3b=0，
∵两个方程的两个根相同，
∴2=3+b，
解得b=-1.
故答案为：-1．
【分析】先将两个方程去括号、移项整理成一般形式，然后根据两个方程的两个根相同，则两根之和也应该相同，从而结合一元二次方程根与系数的关系“”可列出方程2=3+b，求解即可.
15．（2024八下·拱墅期末）在n边形中，设的外角的度数为α，与不相邻的个内角的和为β．若，则　 　．
【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：在n边形中，设的外角的度数为α，
则的度数为，
∵与不相邻的个内角的和为β，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：6．
【分析】由多边形的外角与其相邻的内角互补可得∠A=180°- α ，进而根据多边形的内角和为各个内角的度数之和可得该多边形的内角度数为180°- α+β，再根据多边形内角和公式可得该多边形的内角和为(n-2)×180°，根据用两个不同式子表示同一个量，则这两个式子相等，据此建立方程，求解即可.
16．（2024八下·拱墅期末）如图，在矩形中，．点P，点Q同时从点A出发，沿方向匀速运动，点P的速度为1，点Q的速度为3，点Q到达点B时停留在点B，待点P继续运动到点B时结束运动．设运动时间为t，已知当时，线段上有一点M，使四边形是菱形．若运动过程中，线段上另有一点N，使四边形是菱形，则此时　 　．
【答案】1或
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：当时，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
由勾股定理得，，
当时，，
∴，
由勾股定理得，，
∵四边形是菱形，
∴，即，
解得，或（舍去）；
当时，，
∴；
∵四边形是菱形，
∴，即，
解得，，
综上所述，的值为1或．
故答案为：1或．
【分析】根据路程、速度及时间三者的关系得，当时，，则，由菱形四边相等得PD=PQ=2，由矩形性质得∠A=90°，在Rt△ADP中，由勾股定理算出AD的长；当时，，则，在Rt△ADP中，由勾股定理用含t的式子表示出PD，由菱形四边相等得，据此建立方程求出适合题意的t的值；当时，，；还是根据DP=PQ建立方程求出适合题意的t的值，综上可得答案.
17．（2024八下·拱墅期末）（1）计算：．
（2）解方程：．
【答案】解：（）
；
（）∵
∴或
解得或．
【知识点】二次根式的混合运算；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）首先利用乘法分配律展开括号，然后合并同类二次根式即可；
（2）把2x+1看成一个整体，此题缺一次项，利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
18．（2024八下·拱墅期末）如图，在四边形中，对角线交于点O．已知，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图，过点C作于点E，
则，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，CD∥AB，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）由二直线平行，同旁内角互补得∠BAD+∠ADC=180°，结合已知，由等量代换得∠BCD+∠ADC=180°，然后根据同旁内角互补，两直线平行得AD∥BC，然后由平行四边形的判定定理“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”即可得出结论；
（2）过点C作CE⊥AB于点E，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得CE∥BD，易得△ABD是等腰直角三角形，得BD=AB=2，由平行四边形的对边平行且相等得CD=AB=2，CD∥AB，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明四边形CDBE是平行四边形，得BE=CD=2，CE=BD=2，进而算出AE，然后由勾股定理求出AC的长即可．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图，过点C作于点E，
则，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
19．（2024八下·拱墅期末）如图，在6×6的正方格中（每个最小的正方格的边长为1），中心点为点O，的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上．与关于点O中心对称，点A，点B，点C的对称点分别是点D，点E，点F．
（1）画出．
（2）在点A，B，C，D，E，F中取三个点两两连接，使组成的三角形是等腰三角形．写出你取的三个点，并求这个三角形的面积．
【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：取A，C，F三点．
的面积为．
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；等腰三角形的概念；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及中心对称的性质，分别作出点A、B、C三点关于点O的对称点D、E、F，再顺次连接即可；
（2）开放性命题，答案不唯一，根据等腰三角形的判定确定三点为A、C、F，再利用方格纸的特点及割补法，用△ACF外接直角梯形的面积分别减去△ACF旁边的两个直角三角形的面积得到△ACF的面积，据此列式计算即可.
（1）如图，即为所求．
（2）取A，C，F三点．
的面积为．
20．（2024八下·拱墅期末）据国家统计局网站信息显示，浙江省地区生产总值情况如表：
浙江省地区生产总值情况统计表年
年份 地区生产总值 （亿元） 人均地区生产总值（元 第一产业占比 第二产业占比 第三产业占比
2018 56197.2 98643
2019 62351.7 107624
2020 64613.3 100620
2021 73515.8 113032
2022 77715.4 118496
根据表格信息，回答下面的问题．
（1）分别求统计表中a和b的值．
（2）根据你学过的统计量，分析年浙江省地区生产总值第一产业占比情况，（写出2条信息即可）．
（3）根据年地区生产总值和人均地区生产总值的数据，分析你获得的有关浙江省人口变化的结论．
【答案】（1）解：，即，
，即．
（2）解：从表格中的数据可以看出，年浙江省地区生产总值第一产业占比总体呈现下降趋势，
年浙江省地区生产总值第一产业占比的均值为，
年浙江省地区生产总值第一产业占比的中位数为．（答案不唯一，合理即可）
（3）解：根据题意可知年该区域的地区生产总值在上升，但人均地区生产总值在下降，
因为人均地区生产总值该区域的地区生产总值人口规模，
所以年浙江省人口规模在上升．
【知识点】统计表；数据分析
【解析】【分析】（1）根据当年三个产业占比之和为1，可求解、的值；
（2）分析年浙江省地区生产总值第一产业占比情况，可以从占比趋势、占比平均数、中位数、众数等方面来分析即可；
（3）由表格提供的数据可知年该区域的地区生产总值在上升，但人均地区生产总值在下降，而人均地区生产总值为该区域的地区生产总值与人口规模的比值，从而即可得出结论.
（1），即，
，即．
故答案为：，．
（2）从表格中的数据可以看出，年浙江省地区生产总值第一产业占比总体呈现下降趋势，
年浙江省地区生产总值第一产业占比的均值为，
年浙江省地区生产总值第一产业占比的中位数为．（答案不唯一，合理即可）
（3）根据题意可知年该区域的地区生产总值在上升，但人均地区生产总值在下降，
因为人均地区生产总值该区域的地区生产总值人口规模，
所以年浙江省人口规模在上升．
21．（2024八下·拱墅期末）在直角坐标系中，设．
（1）已知点都在该函数的图象上．
①求k的值；
②若，求n的值．
（2）当时，；当时，，求k的值．
【答案】（1）解：①∵点该反比例函数图象上，
，
∴；
②由①知，反比例函数解析式为；
在函数的图象上，
，
解得或（舍去），
∴n的值为；
（2）解：∵当时，；当时，，
，
即，
解得或，
时，，不合题意，舍去，
，
．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）①将点A的坐标代入 即可算出k的值；
②把代入①所求函数的解析式即可求得n的值；
（2）根据反比例函数图象上任意一个自变量及其对应的函数值的乘积都等于比例系数“k”建立方程，解关于m的方程求得m的值，进一步即可求得k的值．
（1）解：①∵点该反比例函数图象上，
，
∴；
②由①知，反比例函数解析式为；
在函数的图象上，
，
解得或（舍去），
∴n的值为；
（2）解：∵当时，；当时，，
，
即，
解得或，
时，，不合题意，舍去，
，
．
22．（2024八下·拱墅期末）把一个足球垂直地面向上踢，t秒后该足球的高度h米适用公式，已知当足球踢出后4秒回到地面．
（1）求a的值．
（2）若该足球踢出t秒后和秒后，足球的高度相同，求t的值．
（3）是否有可能该足球踢出秒后的高度比踢出t秒后的高度高18米？通过计算说明．
【答案】（1）解：由题意得：当时，．
．
解得：；
（2）解：由（1）得：，
∴抛物线的对称轴直线为，
∵踢出t秒后和秒后，足球的高度相同
∴，
解得：；
（3）解：没有可能，理由如下：
由题意得：．
．
解得：（不合题意，舍去）．
没有可能该足球踢出秒后的高度比踢出秒后的高度高18米．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）将，代入 可得关于字母a的方程，求解即可得出a的值；
（2）利用抛物线的对称轴直线公式求得该抛物线的对称轴直线为x=2，由抛物线的对称性及中点坐标公式可建立方程，求解即可；
（3）求得自变量为和时的函数值，相减为18，看求得的是否符合题意即可．
（1）解：由题意得：当时，．
．
解得：；
（2）解：由（1）得：，
∵踢出t秒后和秒后，足球的高度相同
∴，
解得：；
（3）解：由题意得：．
．
解得：（不合题意，舍去）．
没有可能该足球踢出秒后的高度比踢出秒后的高度高18米．
23．（2024八下·拱墅期末）在直角坐标系中，设函数，，已知当时，，函数，的图象交于点和点，点到两条坐标轴的距离相等．
（1）求函数的表达式．
（2）求点A的坐标及k2的值．
（3）若点A在第一象限内，
①当时，比较与的大小；
②直接写出当时，自变量的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，
，
解得，
，
（2）解：一次函数，过第一、二、四象限，
设点在第一象限，
，
解得，
，
在反比例函数图象上，
，
设点在第二、四象限，
，
解得，
，
在反比例函数图象上
．
综上分析，点坐标为或，为4或．
（3）解：① 当点在第一象限，反比例函数解析式为，一次函数解析式为，
把x=1分别代入反比例函数与一次函数，
得，，
．
②或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（3）②联立方程组，
解得，，
，．
当时，自变量的取值范围或．
【分析】（1）把x=1与y1=4代入y1=k1x+6可算出k1的值，从而得到y1的解析式；
（2）当点A在第一象限时，设A（m，m），将点A（m，m）代入（1）所求的一次函数解析式，可算出m的值，从而得到点A的坐标，再将所求的点A的坐标代入 即可算出k2的值；当点A在第二、四象限的时候，同法求解即可；
（3）①将x=1代入两个函数解析式算出对应的函数值，即可比较得出答案；
②联立两函数解析式求解求出另一个交点B的坐标，然后求出一次函数图象在反比例函数图象上方部分相应的自变量得取值范围即可.
（1）当时，，
，
解得，
，
（2）一次函数，过第一、二、四象限，
设点在第一象限，
，
解得，
，
在反比例函数图象上，
，
设点在第二、四象限，
，
解得，
，
在反比例函数图象上
．
综上分析，点坐标为或，为4或．
（3）①当点在第一象限，反比例函数解析式为，一次函数解析式为，
当时，，，
．
②联立方程组，解得，，
，．
当时，自变量的取值范围或．
24．（2024八下·拱墅期末）综合与实践
问题情境：第二十四届国际数学家大会合徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图1，在综合实践课上，同学们绘制了“弦图”并进行探究，获得了以下结论：该图是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形，且．
特殊化探究：连接．设，．
“运河小组”从线段长度的特殊化提出问题：
（1）若，，求的面积．
（2）“武林小组”从a与b关系的特殊化提出问题：
若，求证：．
（3）深入探究：老师进一步提出问题：
如图2，连接，延长到点I，使，作矩形．设矩形BFIJ的面积为，正方形的面积为，若平分，求证：．
请你解答这三个问题．
【答案】（1）解：设，则，
∵，
∴，
∵，
∴在中，，
即，
解得（负值舍去），
∴，，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，HE∥GF，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）证明：设，正方形的边长为b，，
如图，过E分别作AB，AD的垂线，垂足分别为M、N，
，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；“赵爽弦图”模型
【解析】【分析】（1）设BF=a，则BG=a+1，由全等三角形的对应边相等得AF=BG=a+1，在Rt△ABF中，利用勾股定理建立方程求出a的值，从而得到BF、AF的长，进而根据三角形面积计算公式列式计算即可；
（2）由b与a的关系及全等三角形的对应边相等得AE=EF，由正方形四边相等得HG=HE=EF=GF=BF，用SAS证△HGB≌△BFA，由全等三角形的对应角相等得到∠GBH=∠BAF，由二直线平行，内错角相等，得∠BHE=∠HBG，由等量代换可得∠BAE=∠BHE；
（3）用代数法思路证：设DH=CG=BF=AE=a，正方形HEFG的边长为b，AI=AB=AD=c，过E分别作AB，AD的垂线，垂足分别为M、N，先将表示出来；利用AAS判断出△BEF≌△BEM，由全等三角形的对应边相等得BM=BF=a，则NE=AM=c-a，从而得出和的关系．
（1）解：设，则，
∵，
∴，
∵，
∴在中，，
即，
解得（负值舍去），
∴，，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）证明：设，正方形的边长为b，，
如图，过E分别作，的垂线，垂足分别为M、N，
，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
1 / 1浙江省杭州市拱墅区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·拱墅期末）函数 中自变量 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·拱墅期末）在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝4，则对角线AC的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2024八下·拱墅期末）方程的两个根的和是（　　）
A． B．0 C．2 D．4
4．（2024八下·拱墅期末）在平行四边形ABCD 中，若∠A＝2∠B，则∠B＝（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
5．（2024八下·拱墅期末）在，0四个数中，最大的数是（　　）
A． B． C． D．0
6．（2024八下·拱墅期末）在直角坐标系中，设反比例函数，其中．若点均在该函数的图象上，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·拱墅期末）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末（上端），（绳索从木柱上端垂下后）委地（堆在地面）三尺．引索却（退）行，去本（木柱底端）八尺而索尽．问索长几何？”设绳索长为x尺，则（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024八下·拱墅期末）设数据0，1，2，3，4的平均数为a，中位数为b，方差为c，则（　　）
A．a＝b＝c B．a＝b＜c C．a＜b＝c D．a＜b＜c
9．（2024八下·拱墅期末）如图是正方形纸片，点在边上（不与点，重合），连接．把四边形翻折，折痕为，点A，分别落在，处．若，则点到点A的距离可能是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八下·拱墅期末）已知一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，若的另一个根为4，则的两个根分别为（　　）
A．，4 B．，1 C．，4 D．，1
11．（2024八下·拱墅期末）计算： 　 　.
12．（2024八下·拱墅期末）若两个不同的点A（3，3）和B（m，m）在同一个反比例函数的图象上，则m＝　 　．
13．（2024八下·拱墅期末）某工厂第一车间有工人15人，每人日均加工螺杆数统计如图．该车间平均每人每日加工螺杆数为　 　个．
14．（2024八下·拱墅期末）已知a，b为常数，若方程的两个根与方程的两个根相同，则　 　．
15．（2024八下·拱墅期末）在n边形中，设的外角的度数为α，与不相邻的个内角的和为β．若，则　 　．
16．（2024八下·拱墅期末）如图，在矩形中，．点P，点Q同时从点A出发，沿方向匀速运动，点P的速度为1，点Q的速度为3，点Q到达点B时停留在点B，待点P继续运动到点B时结束运动．设运动时间为t，已知当时，线段上有一点M，使四边形是菱形．若运动过程中，线段上另有一点N，使四边形是菱形，则此时　 　．
17．（2024八下·拱墅期末）（1）计算：．
（2）解方程：．
18．（2024八下·拱墅期末）如图，在四边形中，对角线交于点O．已知，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的长．
19．（2024八下·拱墅期末）如图，在6×6的正方格中（每个最小的正方格的边长为1），中心点为点O，的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上．与关于点O中心对称，点A，点B，点C的对称点分别是点D，点E，点F．
（1）画出．
（2）在点A，B，C，D，E，F中取三个点两两连接，使组成的三角形是等腰三角形．写出你取的三个点，并求这个三角形的面积．
20．（2024八下·拱墅期末）据国家统计局网站信息显示，浙江省地区生产总值情况如表：
浙江省地区生产总值情况统计表年
年份 地区生产总值 （亿元） 人均地区生产总值（元 第一产业占比 第二产业占比 第三产业占比
2018 56197.2 98643
2019 62351.7 107624
2020 64613.3 100620
2021 73515.8 113032
2022 77715.4 118496
根据表格信息，回答下面的问题．
（1）分别求统计表中a和b的值．
（2）根据你学过的统计量，分析年浙江省地区生产总值第一产业占比情况，（写出2条信息即可）．
（3）根据年地区生产总值和人均地区生产总值的数据，分析你获得的有关浙江省人口变化的结论．
21．（2024八下·拱墅期末）在直角坐标系中，设．
（1）已知点都在该函数的图象上．
①求k的值；
②若，求n的值．
（2）当时，；当时，，求k的值．
22．（2024八下·拱墅期末）把一个足球垂直地面向上踢，t秒后该足球的高度h米适用公式，已知当足球踢出后4秒回到地面．
（1）求a的值．
（2）若该足球踢出t秒后和秒后，足球的高度相同，求t的值．
（3）是否有可能该足球踢出秒后的高度比踢出t秒后的高度高18米？通过计算说明．
23．（2024八下·拱墅期末）在直角坐标系中，设函数，，已知当时，，函数，的图象交于点和点，点到两条坐标轴的距离相等．
（1）求函数的表达式．
（2）求点A的坐标及k2的值．
（3）若点A在第一象限内，
①当时，比较与的大小；
②直接写出当时，自变量的取值范围．
24．（2024八下·拱墅期末）综合与实践
问题情境：第二十四届国际数学家大会合徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图1，在综合实践课上，同学们绘制了“弦图”并进行探究，获得了以下结论：该图是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形，且．
特殊化探究：连接．设，．
“运河小组”从线段长度的特殊化提出问题：
（1）若，，求的面积．
（2）“武林小组”从a与b关系的特殊化提出问题：
若，求证：．
（3）深入探究：老师进一步提出问题：
如图2，连接，延长到点I，使，作矩形．设矩形BFIJ的面积为，正方形的面积为，若平分，求证：．
请你解答这三个问题．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得 2x-3≥0，
解得 .
故答案为：A.
【分析】函数关系中有二次根式，根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，求解即可.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，在矩形ABCD中，
∵AB＝CD＝3，BC＝4，
∴AC＝BD＝
故选：C．
【分析】利用矩形的性质可得AB＝CD＝3，BC＝4，再利用勾股定理及矩形的性质求出AC的长即可.
3．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴或，
∴，，
∴，
故答案为：C．
【分析】此方程左边是两个因式的乘积，右边等于零，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程可求出方程的解，最后再求两根之和即可.
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴∠A＋∠B＝180°，
∵∠A＝2∠B，
∴2∠B＋∠B＝180°，
∴∠B＝60°．
故选：D．
【分析】利用平行线的性质可得∠A＋∠B＝180°，再结合∠A＝2∠B，可得2∠B＋∠B＝180°，最后求出∠B的度数即可.
5．【答案】B
【知识点】无理数的大小比较；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴最大的数是，
故答案为：B.
【分析】先利用二次根式的性质化简，再比较大小即可得到最大值.
6．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数 ，，
∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，
∵点在反比例函数的图象上，且，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】 反比例函数 中，当k＞0时，图象的两支分布在第一、三象限，在第一象限内，y＞0，且y随x的增大而减小，在第三象限内，y＜0，且y随x的增大而减小，据此根据A、B、C三点横坐标判断出对应函数值的大小即可.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；列一元一次方程
【解析】【解答】解：如图，设绳索长BC为x尺，则立木长AB为（x-3）尺，由题意知AC=8 ，
由勾股定理得，，
故答案为：A.
【分析】设绳索长BC为x尺，则立木长AB为（x-3）尺，由题意知AC=8 ，在Rt△ABC中，根据勾股定理即可列出方程．
8．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】解：平均数a＝（0＋1＋2＋3＋4）÷5＝2；
数据0，1，2，3，4中，中间的数是2，
∴中位数b＝（2＋2）÷2＝2；
方差c＝[（0 2）2＋（1 2）2＋（2 2）2＋（3 2）2＋（4 2）2]＝2．
∴a＝b＝c，
故选：A．
【分析】利用平均数、中位数和方差的定义及计算方法分别求出a、b、c的值，再比较大小即可.
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接，与相交于点，由折叠的性质可知垂直且平分，
，
由图可知，在正方形中，，
当点与点重合时，，
当点与点重合时，此时，
点在边上（不与点，重合），
，
，
在中，当时，
，
此时，
当点与点重合时，，
，
，
，，，中，只有在此范围内，
C选项符合题意，
故答案为：C．
【分析】连接AA'，与DE相交于点O，由折叠的性质可知DE垂直且平分AA'，AA'=2OA，当点E与点B重合时，，当点E与点C重合时，，由于点E不与点B、C重合，故45°＜∠ADO＜90°，由直角三角形两锐角互余得0°＜∠DAO＜45°；在Rt△AOD中，分别求出当E与B点重合及点E与点C重合时OA的长，依据∠DAO的取值范围得到OA的范围，进而得到AA'的范围，最后再结合估算无理数大小的方法即可逐一判断得出答案.
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，
∴，
解得，
∴正根为1，
∵的另一个根为4，
∴，
∴，
∵方程有一个正根为1，设另一个根为m，
∴则，
∴，
∴另一个根为，
∴的两个根分别为1，，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，求出正根为1；设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数，结合的另一个根为4，得到；方程有一个正根为1，设另一个根为m，利用根与系数关系得到，即可求出另一个根为．
11．【答案】
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】 .
故答案为： .
【分析】两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，据此解答即可.
12．【答案】-3
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】设反比例函数的解析式为，
∵ 点A（3，3）和B（m，m）在同一个反比例函数的图象上 ，
∴3×3=m×m，
解得：m1=3（舍），m2=-3，
故答案为：-3.
【分析】根据“ 点A（3，3）和B（m，m）在同一个反比例函数的图象上 ”可得3×3=m×m，再求出m的值即可.
13．【答案】20
【知识点】条形统计图；加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：该车间工人日均生产螺杆数的平均数为：
（个），
故答案为：20．
【分析】根据条形统计图提供的信息，结合加权平均数的计算方法列式计算即可.
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：(x-1)2=a，
整理得x2-2x+1-a=0，
(x-3)(x-b)=0，
整理得x2-(3+b)x+3b=0，
∵两个方程的两个根相同，
∴2=3+b，
解得b=-1.
故答案为：-1．
【分析】先将两个方程去括号、移项整理成一般形式，然后根据两个方程的两个根相同，则两根之和也应该相同，从而结合一元二次方程根与系数的关系“”可列出方程2=3+b，求解即可.
15．【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：在n边形中，设的外角的度数为α，
则的度数为，
∵与不相邻的个内角的和为β，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：6．
【分析】由多边形的外角与其相邻的内角互补可得∠A=180°- α ，进而根据多边形的内角和为各个内角的度数之和可得该多边形的内角度数为180°- α+β，再根据多边形内角和公式可得该多边形的内角和为(n-2)×180°，根据用两个不同式子表示同一个量，则这两个式子相等，据此建立方程，求解即可.
16．【答案】1或
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：当时，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
由勾股定理得，，
当时，，
∴，
由勾股定理得，，
∵四边形是菱形，
∴，即，
解得，或（舍去）；
当时，，
∴；
∵四边形是菱形，
∴，即，
解得，，
综上所述，的值为1或．
故答案为：1或．
【分析】根据路程、速度及时间三者的关系得，当时，，则，由菱形四边相等得PD=PQ=2，由矩形性质得∠A=90°，在Rt△ADP中，由勾股定理算出AD的长；当时，，则，在Rt△ADP中，由勾股定理用含t的式子表示出PD，由菱形四边相等得，据此建立方程求出适合题意的t的值；当时，，；还是根据DP=PQ建立方程求出适合题意的t的值，综上可得答案.
17．【答案】解：（）
；
（）∵
∴或
解得或．
【知识点】二次根式的混合运算；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）首先利用乘法分配律展开括号，然后合并同类二次根式即可；
（2）把2x+1看成一个整体，此题缺一次项，利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
18．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图，过点C作于点E，
则，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，CD∥AB，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）由二直线平行，同旁内角互补得∠BAD+∠ADC=180°，结合已知，由等量代换得∠BCD+∠ADC=180°，然后根据同旁内角互补，两直线平行得AD∥BC，然后由平行四边形的判定定理“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”即可得出结论；
（2）过点C作CE⊥AB于点E，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得CE∥BD，易得△ABD是等腰直角三角形，得BD=AB=2，由平行四边形的对边平行且相等得CD=AB=2，CD∥AB，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明四边形CDBE是平行四边形，得BE=CD=2，CE=BD=2，进而算出AE，然后由勾股定理求出AC的长即可．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图，过点C作于点E，
则，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
19．【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：取A，C，F三点．
的面积为．
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；等腰三角形的概念；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及中心对称的性质，分别作出点A、B、C三点关于点O的对称点D、E、F，再顺次连接即可；
（2）开放性命题，答案不唯一，根据等腰三角形的判定确定三点为A、C、F，再利用方格纸的特点及割补法，用△ACF外接直角梯形的面积分别减去△ACF旁边的两个直角三角形的面积得到△ACF的面积，据此列式计算即可.
（1）如图，即为所求．
（2）取A，C，F三点．
的面积为．
20．【答案】（1）解：，即，
，即．
（2）解：从表格中的数据可以看出，年浙江省地区生产总值第一产业占比总体呈现下降趋势，
年浙江省地区生产总值第一产业占比的均值为，
年浙江省地区生产总值第一产业占比的中位数为．（答案不唯一，合理即可）
（3）解：根据题意可知年该区域的地区生产总值在上升，但人均地区生产总值在下降，
因为人均地区生产总值该区域的地区生产总值人口规模，
所以年浙江省人口规模在上升．
【知识点】统计表；数据分析
【解析】【分析】（1）根据当年三个产业占比之和为1，可求解、的值；
（2）分析年浙江省地区生产总值第一产业占比情况，可以从占比趋势、占比平均数、中位数、众数等方面来分析即可；
（3）由表格提供的数据可知年该区域的地区生产总值在上升，但人均地区生产总值在下降，而人均地区生产总值为该区域的地区生产总值与人口规模的比值，从而即可得出结论.
（1），即，
，即．
故答案为：，．
（2）从表格中的数据可以看出，年浙江省地区生产总值第一产业占比总体呈现下降趋势，
年浙江省地区生产总值第一产业占比的均值为，
年浙江省地区生产总值第一产业占比的中位数为．（答案不唯一，合理即可）
（3）根据题意可知年该区域的地区生产总值在上升，但人均地区生产总值在下降，
因为人均地区生产总值该区域的地区生产总值人口规模，
所以年浙江省人口规模在上升．
21．【答案】（1）解：①∵点该反比例函数图象上，
，
∴；
②由①知，反比例函数解析式为；
在函数的图象上，
，
解得或（舍去），
∴n的值为；
（2）解：∵当时，；当时，，
，
即，
解得或，
时，，不合题意，舍去，
，
．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）①将点A的坐标代入 即可算出k的值；
②把代入①所求函数的解析式即可求得n的值；
（2）根据反比例函数图象上任意一个自变量及其对应的函数值的乘积都等于比例系数“k”建立方程，解关于m的方程求得m的值，进一步即可求得k的值．
（1）解：①∵点该反比例函数图象上，
，
∴；
②由①知，反比例函数解析式为；
在函数的图象上，
，
解得或（舍去），
∴n的值为；
（2）解：∵当时，；当时，，
，
即，
解得或，
时，，不合题意，舍去，
，
．
22．【答案】（1）解：由题意得：当时，．
．
解得：；
（2）解：由（1）得：，
∴抛物线的对称轴直线为，
∵踢出t秒后和秒后，足球的高度相同
∴，
解得：；
（3）解：没有可能，理由如下：
由题意得：．
．
解得：（不合题意，舍去）．
没有可能该足球踢出秒后的高度比踢出秒后的高度高18米．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）将，代入 可得关于字母a的方程，求解即可得出a的值；
（2）利用抛物线的对称轴直线公式求得该抛物线的对称轴直线为x=2，由抛物线的对称性及中点坐标公式可建立方程，求解即可；
（3）求得自变量为和时的函数值，相减为18，看求得的是否符合题意即可．
（1）解：由题意得：当时，．
．
解得：；
（2）解：由（1）得：，
∵踢出t秒后和秒后，足球的高度相同
∴，
解得：；
（3）解：由题意得：．
．
解得：（不合题意，舍去）．
没有可能该足球踢出秒后的高度比踢出秒后的高度高18米．
23．【答案】（1）解：当时，，
，
解得，
，
（2）解：一次函数，过第一、二、四象限，
设点在第一象限，
，
解得，
，
在反比例函数图象上，
，
设点在第二、四象限，
，
解得，
，
在反比例函数图象上
．
综上分析，点坐标为或，为4或．
（3）解：① 当点在第一象限，反比例函数解析式为，一次函数解析式为，
把x=1分别代入反比例函数与一次函数，
得，，
．
②或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（3）②联立方程组，
解得，，
，．
当时，自变量的取值范围或．
【分析】（1）把x=1与y1=4代入y1=k1x+6可算出k1的值，从而得到y1的解析式；
（2）当点A在第一象限时，设A（m，m），将点A（m，m）代入（1）所求的一次函数解析式，可算出m的值，从而得到点A的坐标，再将所求的点A的坐标代入 即可算出k2的值；当点A在第二、四象限的时候，同法求解即可；
（3）①将x=1代入两个函数解析式算出对应的函数值，即可比较得出答案；
②联立两函数解析式求解求出另一个交点B的坐标，然后求出一次函数图象在反比例函数图象上方部分相应的自变量得取值范围即可.
（1）当时，，
，
解得，
，
（2）一次函数，过第一、二、四象限，
设点在第一象限，
，
解得，
，
在反比例函数图象上，
，
设点在第二、四象限，
，
解得，
，
在反比例函数图象上
．
综上分析，点坐标为或，为4或．
（3）①当点在第一象限，反比例函数解析式为，一次函数解析式为，
当时，，，
．
②联立方程组，解得，，
，．
当时，自变量的取值范围或．
24．【答案】（1）解：设，则，
∵，
∴，
∵，
∴在中，，
即，
解得（负值舍去），
∴，，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，HE∥GF，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）证明：设，正方形的边长为b，，
如图，过E分别作AB，AD的垂线，垂足分别为M、N，
，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；“赵爽弦图”模型
【解析】【分析】（1）设BF=a，则BG=a+1，由全等三角形的对应边相等得AF=BG=a+1，在Rt△ABF中，利用勾股定理建立方程求出a的值，从而得到BF、AF的长，进而根据三角形面积计算公式列式计算即可；
（2）由b与a的关系及全等三角形的对应边相等得AE=EF，由正方形四边相等得HG=HE=EF=GF=BF，用SAS证△HGB≌△BFA，由全等三角形的对应角相等得到∠GBH=∠BAF，由二直线平行，内错角相等，得∠BHE=∠HBG，由等量代换可得∠BAE=∠BHE；
（3）用代数法思路证：设DH=CG=BF=AE=a，正方形HEFG的边长为b，AI=AB=AD=c，过E分别作AB，AD的垂线，垂足分别为M、N，先将表示出来；利用AAS判断出△BEF≌△BEM，由全等三角形的对应边相等得BM=BF=a，则NE=AM=c-a，从而得出和的关系．
（1）解：设，则，
∵，
∴，
∵，
∴在中，，
即，
解得（负值舍去），
∴，，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）证明：设，正方形的边长为b，，
如图，过E分别作，的垂线，垂足分别为M、N，
，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
1 / 1

展开更多......

收起↑