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第12章 学情评估卷
时间:100分钟 满分:120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．对于命题“若，则”，下列能说明它是假命题的反例是（ ）
A. B. C. D.
2．如图，若，，， ， ，则的度数是（ ）
（第2题）
A. B. C. D.
3．若等腰三角形的两边长分别为3和6,则它的周长为（ ）
A. 12 B. 15 C. 9或12 D. 12或15
4．下列说法不正确的是（ ）
A. 等腰三角形是轴对称图形
B. 等腰三角形两腰上的高相等
C. 等腰三角形的中线与角平分线重合
D. 有一个角是 的等腰三角形是等边三角形
5．[［2025重庆期中］]如图，点是上任意一点，，从下列各条件中补充一个条件，不一定能推出的是（ ）
（第5题）
A. B.
C. D.
6．如图,在中,分别以，为圆心,大于的长为半径作弧,两弧相交于点，，作直线交于点,连结.若, ,则的度数为（ ）
（第6题）
A. B. C. D.
7．若的三个内角的平分线交于点,且于点,,,,,则（ ）
A. B. C. D. 无法计算
8．[［2025天津期末］]如图，点，，在同一条直线上， ， ，且，图中与长度相等的线段是（ ）
（第8题）
A. B. C. D.
9．如图，是等边三角形，,分别是边，上的点，，于点，于点，，则下列结论：①点在的平分线上；；；.其中正确的结论是（ ）
（第9题）
A. ①②③④ B. ①② C. ②③ D. ①③
10．[［2025洛阳期中］]程老师制作了如图①所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题.操作学具时，点在轨道槽上运动，点既能在以为圆心，8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动，图②是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图.
有以下结论：
①当 ，时，可得到形状唯一确定的；
②当 ，时，可得到形状唯一确定的；
③当 ，时，可得到形状唯一确定的.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．命题“能被5整除的数的末位数字是5”的逆命题是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
12．如图，在中， ，是的平分线，已知，，则的面积是.
13．如图,为了测量某河道的宽度,小明设计了如下方案:①从点出发沿与垂直的方向走一段距离并标注为点;②继续沿此方向走与相同的距离并标注为点;③从点出发沿与垂直的方向走一段距离并标注为点;④在上找一点能够通过点看到点的长度即为该河道的宽度.此方案用到了_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,它成立的依据是_ _ _ _ _ _ .
（第13题）
14．如图,内有一点,，分别被，垂直平分,与，分别交于点，.若,则的周长为_ _ _ _ .
（第14题）
15．[［2025南阳期末］]如图，在中， ，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动_ _ 时，.
（第15题）
三、解答题（本大题共8小题，共75分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（8分）如图，在中，平分交于点，，交于点，交的延长线于点.求证：为等腰三角形.
17．[［2025长治期中］]（8分）如图，点是线段的中点，在线段的同侧作，，过点作于点，过点作于点，已知.求证：.
18．（8分）如图，为的角平分线，于点，于点，连结.
求证：垂直平分.
19．（9分）如图，是的边上的一点，于点.
（1） 请用无刻度的直尺和圆规在图中过点作的垂线，垂足为（保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 在（1）的条件下，连结并延长交于点，若，求证：是的中点.
20．（9分）如图，为了测量湖宽，先在的延长线上选定点，再选一适当的点，然后延长，到点，，使，.又在的延长线上找一点，使，，三点在同一条直线上，这时，只要测出线段的长度就可知湖宽.你能说明其中的道理吗？
21．（10分）如图，在中，，是边上的中线，是边上一点，过点作交的延长线于点，.
（1） 求证：；
（2） 若 ，，求的长.
22．[［2025郑州月考］]（11分）如图，在中，为的平分线，且平分，于点，交的延长线于点.
（1） 求证：；
（2） 如果，，求，的长.
23．[［2025安阳期中］]（12分）某中学实施“五育并举”，在数学课堂上，同学们以等腰三角形为背景展开探究.
如图，在中，，为射线上（不与，重合）一动点，在的右侧、射线的上方作，使得，，连结.
（1） 求证：；
【独立思考】
（2） 延长交的延长线于点，若 ，利用（1）中的结论求出的度数.
【拓展延伸】
（3） 当在线段上时，若线段，的面积为6，则四边形周长的最小值为.
第12章 学情评估卷
时间:100分钟 满分:120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．对于命题“若，则”，下列能说明它是假命题的反例是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
2．如图，若，，， ， ，则的度数是（ ）
（第2题）
A. B. C. D.
【答案】A
3．若等腰三角形的两边长分别为3和6,则它的周长为（ ）
A. 12 B. 15 C. 9或12 D. 12或15
【答案】B
4．下列说法不正确的是（ ）
A. 等腰三角形是轴对称图形
B. 等腰三角形两腰上的高相等
C. 等腰三角形的中线与角平分线重合
D. 有一个角是 的等腰三角形是等边三角形
【答案】C
5．[［2025重庆期中］]如图，点是上任意一点，，从下列各条件中补充一个条件，不一定能推出的是（ ）
（第5题）
A. B.
C. D.
【答案】D
6．如图,在中,分别以，为圆心,大于的长为半径作弧,两弧相交于点，，作直线交于点,连结.若, ,则的度数为（ ）
（第6题）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】点拨：根据题意得是线段的垂直平分线，
，, ., . .
7．若的三个内角的平分线交于点,且于点,,,,,则（ ）
A. B. C. D. 无法计算
【答案】B
8．[［2025天津期末］]如图，点，，在同一条直线上， ， ，且，图中与长度相等的线段是（ ）
（第8题）
A. B. C. D.
【答案】C
9．如图，是等边三角形，,分别是边，上的点，，于点，于点，，则下列结论：①点在的平分线上；；；.其中正确的结论是（ ）
（第9题）
A. ①②③④ B. ①② C. ②③ D. ①③
【答案】A
10．[［2025洛阳期中］]程老师制作了如图①所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题.操作学具时，点在轨道槽上运动，点既能在以为圆心，8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动，图②是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图.
有以下结论：
①当 ，时，可得到形状唯一确定的；
②当 ，时，可得到形状唯一确定的；
③当 ，时，可得到形状唯一确定的.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
【答案】B
【解析】点拨：①当 ，时，以为圆心，6为半径画弧，与射线有两个交点，则的形状不能唯一确定，故①错误；②当 ，时，以为圆心，10为半径画弧，与射线有一个交点，点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的，故②正确；③当 ，时，以为圆心，12为半径画弧，与射线有一个交点，点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的，故③正确.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．命题“能被5整除的数的末位数字是5”的逆命题是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】末位数字是5的数能被5整除
12．如图，在中， ，是的平分线，已知，，则的面积是.
【答案】35
13．如图,为了测量某河道的宽度,小明设计了如下方案:①从点出发沿与垂直的方向走一段距离并标注为点;②继续沿此方向走与相同的距离并标注为点;③从点出发沿与垂直的方向走一段距离并标注为点;④在上找一点能够通过点看到点的长度即为该河道的宽度.此方案用到了_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,它成立的依据是_ _ _ _ _ _ .
（第13题）
【答案】； ;；
14．如图,内有一点,，分别被，垂直平分,与，分别交于点，.若,则的周长为_ _ _ _ .
（第14题）
【答案】2 025
15．[［2025南阳期末］]如图，在中， ，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动_ _ 时，.
（第15题）
【答案】2或5
三、解答题（本大题共8小题，共75分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（8分）如图，在中，平分交于点，，交于点，交的延长线于点.求证：为等腰三角形.
证明：，
，.
平分，.
，
即为等腰三角形.
17．[［2025长治期中］]（8分）如图，点是线段的中点，在线段的同侧作，，过点作于点，过点作于点，已知.求证：.
证明： 点是线段的中点，
，，
，，，
.，.
18．（8分）如图，为的角平分线，于点，于点，连结.
求证：垂直平分.
证明：为的角平分线，,,， 点在线段的垂直平分线上.
在和中，,,，， 点在线段的垂直平分线上，垂直平分.
19．（9分）如图，是的边上的一点，于点.
（1） 请用无刻度的直尺和圆规在图中过点作的垂线，垂足为（保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 在（1）的条件下，连结并延长交于点，若，求证：是的中点.
【答案】
（1） 解：如图所示，即为所求.
（2） 证明：如图，，，，.
在和中，，，
，，，即是的中点.
20．（9分）如图，为了测量湖宽，先在的延长线上选定点，再选一适当的点，然后延长，到点，，使，.又在的延长线上找一点，使，，三点在同一条直线上，这时，只要测出线段的长度就可知湖宽.你能说明其中的道理吗？
解：在和中，，，，，
，
又 ，
，
.
在和中，
，，，，.
21．（10分）如图，在中，，是边上的中线，是边上一点，过点作交的延长线于点，.
（1） 求证：；
（2） 若 ，，求的长.
【答案】
（1） 证明：，是边上的中线，，，， ，，，，
.
（2） 解：，
， ，
，
是等边三角形， ，，.
22．[［2025郑州月考］]（11分）如图，在中，为的平分线，且平分，于点，交的延长线于点.
（1） 求证：；
（2） 如果，，求，的长.
【答案】
（1） 证明：连结，，
且平分，.
为的平分线，，，， .
在和中，，，，.
（2） 解：在和中，，，，.
，.
，
，
由（1）知，，，.
23．[［2025安阳期中］]（12分）某中学实施“五育并举”，在数学课堂上，同学们以等腰三角形为背景展开探究.
如图，在中，，为射线上（不与，重合）一动点，在的右侧、射线的上方作，使得，，连结.
（1） 求证：；
【独立思考】
（2） 延长交的延长线于点，若 ，利用（1）中的结论求出的度数.
【拓展延伸】
（3） 当在线段上时，若线段，的面积为6，则四边形周长的最小值为.
【答案】
（1） 证明：，
，即，
在和中，，，，
.
（2） 解：如图①，
①
由题易得，，
.
，，
，
， ，
.
（3） 10
【解析】
（3） 点拨：如图②，过点作于点，，，，，， 四边形的周长，当最小时，四边形周长最小， 当与重合时，最小，此时， 四边形周长的最小值.
②
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