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2025年河北省石家庄市九年级数学中考一模试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下表是我国五个城市某年1月份的平均气温，温差最大的两个城市是（ ）
城市 北京 武汉 广州 哈尔滨 南京
平均气温（单位：） 3.8 13.1 2.4
A．北京、哈尔滨 B．广州、北京 C．武汉、北京 D．广州、哈尔滨
2．用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图如图1所示，其中4个小正方体按图2方式摆放，则最后一个小正方体不能放在（ ）
A．①号位置 B．②号位置 C．③号位置 D．④号位置
3．若，则下列不等式不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知点O在直线上，为一条射线，射线和分别平分和，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，有甲、乙、丙三种矩形纸片若干张．若用这三种纸片紧密拼接成一个面积为的矩形，则这个矩形的长和宽分别是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
7．如图，点O，I分别是的外心和内心，连接，．若，则（ ）
A． B． C． D．
8．五名学生投篮球，每人投10次，统计他们每人投中的次数，得到五个数据．若这五个数据的中位数是5，唯一众数是6，则他们投中次数的总和可能是（ ）
A．16 B．17 C．24 D．25
9．如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，满足，，连接．
①当时，四边形为矩形；
②当平分时，四边形为菱形；
③当为等腰直角三角形时，四边形为正方形．
上述说法正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房间，客人人，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，是的中位线，点F为的中点，连接并延长交于点G，若的面积为2，则的面积为（ ）
A．12 B．24 C．48 D．96
12．已知直线和直线，其中k为不小于2的自然数．当，3，4，…，2025时，设直线，与x轴围成的三角形的面积分别为，，，…，，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
二、填空题
13．计算 ．
14．若关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为 ．
15．如图，矩形的顶点A，D的坐标为，，轴，若反比例函数的图象经过矩形对角线的交点E，则k的值为 ．
16．如图，在正六边形中，，点P从点F出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，运动时间为t秒，过点P的直线l垂直于所在的直线，点F与关于直线l对称，连接．当最小时，t的值为 ．
三、解答题
17．在如图所示的方格图中，给每个方格设定不同的数或式，路线经过的方格中的数或式可进行相应的运算．例如：路线上数字的和记为．
(1)求路线上所有数字的和；
(2)若路线上两个数字的积大于路线上两个式子的和，求的正整数解．
18．一个三位数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位数为“半和数”．例如，因为，所以是半和数．
(1)已知是半和数，若，，求c的值；
(2)嘉嘉认为任意一个半和数都能被整除．你同意嘉嘉的看法吗？说明理由．
19．春节看电影已经成为新年俗．在竞争激烈的春节档期，《哪吒之魔童闹海》以高口碑拿下了票房冠军．下表是小明查阅资料整理的该电影上映五天的票房数据，并绘制了如图1尚不完整的条形统计图．
日期 大年初一 大年初二 大年初三 大年初四 大年初五
单日票房（单位：亿元） 4.88 4.80 6.19 7.32 8.13
(1)补全条形统计图；
(2)求该电影上映五天的平均票房（精确到0.01）；
(3)根据这五天的票房数据，估计该电影的票房累计收入用时几天可以达到一百亿元？
(4)如图2是影院设置的幸运大转盘，三个扇形的圆心角相等，转动转盘停止后，指针指向哪部电影就获得相应电影的优惠券，小明和妈妈各转一次转盘，用列表或画树状图的方法，求小明和妈妈都获得《哪吒之魔童闹海》优惠券的概率．
20．如图1是圆拱形门洞和两扇关闭的大门，如图2，圆拱形门洞所在圆的圆心为点O，门缝经过圆心O，且垂直水平门槛于点F，点A，B在⊙O上，，都垂直于．已知米，米，米．
(1)尺规作图：在图2中画出圆心O；（保留作图痕迹，不写作图过程）
(2)求的半径；
(3)判断与的位置关系，并说明理由．
21．某物流公司推行环保运输政策，通过分段计价引导客户集约化运输，并制定如下计价规则．
计价规则 货物质量不超过时，单价为6元； 货物质量超过但不超过时，超过部分单价为5元； 货物质量超出时，超出的部分单价为4元，并一次性额外收取30元的碳排放附加费．
设货物质量为，运费为y（元）．
(1)若货物A质量为，货物B质量为，分别计算两个货物的运费；
(2)当时，求y与x的函数解析式；
(3)若某货物的运费为170元，求该货物质量为多少？
22．背景：如图1是文具店正在销售的某种文件夹，图2为该文件夹装入纸张前后的纵截面示意图，已知纸张与龙骨截线垂直，且垂直于底板，，夹纸板截线与扣板截线的夹角始终保持．
测量：如图2（甲），未装入纸张时，点B落在上，此时．如图2（乙），装满纸张时，点A落在上，此时．
计算：借助以上信息，解决下列问题：（计算结果保留根号）
(1)求夹纸板截线与扣板截线的长；
(2)如图2（丙），装入30张纸后测得，若每张纸厚度相等，求每张纸的厚度；
(3)直接写出未装入纸张时A，H两点之间的距离．
23．如图1和图2，抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于点和点，其中．抛物线，与y轴分别交于点P，N．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)如图1，当点P、N重合时，求抛物线的表达式及其顶点坐标；
(3)如图2，连接，若抛物线的顶点落在由线段及抛物线围成的封闭图形内部（不含边界），求m的取值范围．
24．如图1，在正方形中，，点P，Q分别在边，上，．将绕点A逆时针旋转，连接，，所在直线交直线于点M，连接．
(1)与的数量关系是______，位置关系是______；
(2)如图2，当时，求证：；
(3)如图3，若点Q与M重合于左侧，且，求t的值；
(4)若，当点M为中点时，直接写出的值．
《2025年河北省石家庄市九年级数学中考一模试题》参考答案
1．D
解：∵，
∴温差最大的两个城市是广州、哈尔滨，
故选：D．
2．A
解：当最后一个小正方体放在①号位置时，主视图为，故A符合题意；
当最后一个小正方体放在②号位置时，主视图为，故B不符合题意；
当最后一个小正方体放在②号位置时，主视图为，故C不符合题意；
当最后一个小正方体放在④号位置时，主视图为，故D不符合题意．
故选：A ．
3．B
解：A、由得，则，故A正确，不符合题意；
B、当，则，故B错误，符合题意；
C、由可得，故C正确，不符合题意；
D、由可得，故D正确，不符合题意；
故选：B．
4．C
解：∵射线和分别平分和，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
5．B
解：．
故选：B ．
6．B
解：A、，故该选项不符合题意，
B、，故该选项符合题意，
C、，故该选项不符合题意，
D、，故该选项不符合题意，
故选：B．
7．D
解：连接，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点I是的内心，
∴平分，
∴，
故选：D．
8．C
解：∵5个数据组中位数是5，唯一众数是6，
∴最大的三个数的和是：，
则两个较小的数一定是小于5的非负整数，且不相等，即两个较小的数最大为3和4，最小为0和1，
故总和一定大于等于18而小于等于24，
所以他们投中次数的总和可能是24．
故选：C．
9．A
解：∵，，
四边形是平行四边形，
又∵；
∴，
平行四边形为矩形，选项①正确；
若平分，
，
又，
，
，
，
平行四边形为菱形，选项②正确；
当为等腰直角三角形时，
∴平行四边形为矩形，但平行四边形不一定是正方形，选项③错误，
则其中正确的是①②．
故选：A．
10．D
解：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住，
．
如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，
．
根据题意可列方程组，
故选D．
11．C
解：如图，取的中点M，连接，，，
∵D是的中点，
∴是的中位线，，
∴，
∴，，
∵F是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵点M是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴．
故选：C．
12．D
解：当时，有，
解得：，
∴直线与轴的交点坐标为，
同理，可得出：直线与轴的交点坐标为，
∴两直线与轴交点间的距离．
联立直线成方程组，
得：，
解得：，
∴直线的交点坐标为．
∵，
∴当时，，
当时，；
当时，；
当时，；
，
故选D．
13．
解：．
故答案为： ．
14．3
解：设该方程的另一个根为，
由题意可得：，
∴，
∴另一个根为，
故答案为：．
15．5
解：如图，作轴，垂足为F，
∵，，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是矩形，
∴，
∵反比例函数的图象经过矩形对角线的交点E，
∴．
故答案为：5．
16．
解：如图，连接，
∵在正六边形中，，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴关于直线的对称点在上，
∴当时，最短，
如图，此时运动到，，
∴，
如图，当，重合时，
同理可得：，
此时四边形，为矩形，
∴，，
∴，
∴当最短时，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
17．(1)
(2)1
解：（1）．
答：上所有数字的和为；
（2）根据题意得：，解得：．
∴符合条件的的正整数解为．
18．(1)
(2)同意；理由见解析
（1）解：∵是“半和数”，∴．∵，，∴．∴；
（2）同意．
设是一个“半和数”，则．
∴．
∵，整数，∴为整数．
∴任意一个“半和数”都能被整除．
19．(1)见解析
(2)6.26亿元
(3)16天
(4)
（1）补全条形统计图如下；
（2）（亿元）；
（3）（天）．
∴估计该电影的票房累计收入用时16天可以达到一百亿元；
（4）小明和妈妈各自转动一次转盘，指针情况列表如表1所示，
小明妈妈 A B C
A
B
C
∴共有9种等可能结果，满足题意的只有1种结果，
∴小明和妈妈都获得《哪吒之魔童闹海》的优惠券的概率为．
20．(1)见解析
(2)米
(3)与相切；理由见解析
（1）解：尺规作图如图；
（2）连接，，如图
∵，，，，
∴四边形，四边形均为矩形．
∴，．
∵米，米，
∴米，米．
∵米，
∴米．
∵，∥，
∴．
∴米．
设半径长为r米，则米，（米）．
在中，
，
解得；
∴的半径为1.3米．
（3）与相切．理由如下：
∵经过圆心O，且垂直水平门槛于点F，
∴，
∵米，米
∴，
∴与相切．
21．(1)货物A的运费为48元；货物B的运费为85元
(2)
(3)27.5千克
（1）解：由题意可得：当时，元；
当时，元；
（2）解：由题意可得：当时，；
（3）解：∵当时，；
∴当运费为170元时，，
∴，
解得．
∴包裹质量为27.5千克．
22．(1)；
(2)
(3)
（1）解：在中，
∵，，
∴，
在中，
∵，，
∴；
（2）解：设纸张的长边缘垂直于点Q，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴每张纸的厚度为；
（3）解：过作交直线于，在上取一点使，连接，，
由题意可得，，，，未装入纸张时，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
设，则，，，
∴在中，，则，解得，即（负值舍去），
在中，，则，
∴（负值舍去）
∴未装入纸张时A，H两点之间的距离为．
23．(1)，
(2)，
(3)
（1）解：∵抛物线的表达式为，
∴令，则．
解得，．
∴A点坐标是，B点坐标是；
（2）解：令，则，
∴点P坐标是．
∵抛物线与x轴交于点和点．
∴设抛物线的表达式为．
当点P，N重合时，将点代入，得，
解得．
∴抛物线的表达式为，即．
当时，．
∴抛物线的顶点坐标是；
（3）解：∵抛物线的表达式为，
∴其顶点坐标是．
当点在抛物线上时，，
解得．
令，则．
∴，
设直线的表达式为，
将，代入函数解析式可得，
解得：，
∴直线的表达式为．
当点在线段上时，，
解得．
∵抛物线的顶点落在由线段及抛物线围成的封闭图形内部（不含边界），
∴m的取值范围是．
24．(1)，
(2)证明见解析
(3)
(4)或
（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，
由旋转的性质可得：，
∴，即，
∵，
∴，
∴，，
令交于，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，过点作与的延长线交于点，
则，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵在四边形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，过点作交于，
由题意可得：为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理可得：，
∴，
解得：（负值不符合题意，舍去），
故；
（4）解：由题意可得：为等腰直角三角形，
当时，，
∴，
如图，当时，连接、，作交于，作交于，作交于，
由（1）可得：，
∵点M为中点，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴；
如图，当时，连接、，作交于，作交的延长线于，作交于，
同理可得：，，
∴，
∴；
综上所述，的值为或．

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