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泉州中远学校2025年春季第二阶段教学质量检测试题
高一数学（参考答案）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A D B D C A B D ABC BC ABC
12.【答案】-2
13.【答案】
14.【答案】 6 （第1空2分，第2空3分）
15．（本小题13分）
设复数，．
(1)若是实数，求；
(2)若是纯虚数，求的共轭复数．
【详解】（1），…………………………2分
是实数，
，即，…………………………4分
．…………………………6分
（2）．…………………………8分
是纯虚数，
，即，…………………………10分
，…………………………11分
的共轭复数为．…………………………13分
16.（本小题15分）
已知与是平面内的两个向量，，，与的夹角为.
(1)求；
(2)求；
(3)在平面直角坐标系下，若，求在方向上的投影向量的坐标.
【详解】（1）.…………………………5分
因为，
所以.…………………………10分
（3）在方向上的投影向量为.…………………………15分
17.（本小题15分）
已知函数的最大值是1，其图像经过点
（1）求的解析式；
（2）已知且求的值．
【详解】
依题意知 A=1，…………………………1分
又图像经过点M∴，…………………………3分
再由 得 即 …………………………5分
因此 …………………………7分
（2） ，…………………………9分
且
，…………………………11分
；………………15分
18．（本小题17分）
已知三内角所对的边分别为，且．
（1）求角；
（2）若，的面积为，求．
【详解】（1）在中，由正弦定理得：，………………1分
∴可等价转化为，…………………………3分
其中，故．…………………………4分
∴，…………………………5分
即，…………………………6分
因为，…………………………7分（4分和7分位置一个都没写要扣1分）
所以；…………………………8分
（2）在中，由余弦定理得：，…………………………9分
代入，得：，…………………………11分
即，…………………………12分
又∵，…………………………15分
∴．…………………………16分
解得：．…………………………17分
19.（本小题17分）
在中，内角对应的边分别为，．
(1)求；
(2)若为线段内一点，且，求线段的长；
(3)法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有被称为柯西不等式；若，求：的最小值．
【详解】（1）由，得，………………………2分
即，…………………………3分
在中，由正弦定理得，…………………………4分
由余弦定理得，…………………………5分
而，所以．…………………………6分
（2）由，得，…………………………7分
则，………………………9分
所以.
……………12分
（3）依题意，
………15分
当且仅当为正三角形时取等号，…………………………16分
所以所求的最小值为48.……………………17分泉州中远学校2025年春季第二阶段教学质量检测试题
高一数学
（满分：150分 时长：120分钟）
考试范围：人教A版2019必修第一册5.5-5.7+第二册第六章+第七章+第八章（8.1-8.3）
第Ⅰ卷 （选择题 共58分）
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在复平面内，若复数对应的点的坐标为，则=（ ）
A． B． C． D．
2．已知，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（ ）
A． B．4 C． D．8
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．在中，为的中点，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
6．在中，内角所对的边分别为，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
7.正四棱台的上 下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
8.在中，内角所对的边分别为，若，则∠B的大小是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知复数，以下说法正确的是（ ）
A．z的实部是3 B．
C． D．在复平面内对应的点在第一象限
10．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
11．在中，若，则（ ）
A． B．的面积为
C． D．BC边上的高线长为
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．复数的实部为 .
13．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积是 ．
14.已知的内角所对的边分别为，且，若的面积为，则角C等于 ，的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题13分）
设复数，．
(1)若是实数，求；
(2)若是纯虚数，求的共轭复数．
16.（本小题15分）
已知与是平面内的两个向量，，，与的夹角为.
(1)求；
(2)求；
(3)在平面直角坐标系下，若，求在方向上的投影向量的坐标.
17.（本小题15分）
已知函数的最大值是1，其图像经过点
（1）求的解析式；
（2）已知且求的值．
18．（本小题17分）
已知三内角所对的边分别为，且．
（1）求角；
（2）若，的面积为，求．
19.（本小题17分）
在中，内角对应的边分别为，．
(1)求；
(2)若为线段内一点，且，求线段的长；
(3)法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有被称为柯西不等式；若，求：的最小值．

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