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陕西省延安市2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．用了“不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变”这一不等式基本性质的变形是 （ ）
A．由 得 B．由 得
C．由 得 D．由 得
3．用反证法证明在“中，若，则”时，第一步应先假设（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在等边三角形ABC中，，垂足为D，点E在线段AD上，，则等于（ ）
A．18° B．20° C．30° D．15°
5．将两个完全相同的等腰直角三角板如图所示摆放，使两个三角板的直角边分别和的两边重叠，两个三角板的锐角顶点重合为顶点P，作射线，则为的角平分线的依据是（ ）
A．角平分线上的点到角的两边的距离相等
B．垂直平分线的性质
C．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
D．利用“”证三角形全等后，利用全等三角形的对应角相等
6．如图，在中，，，垂足为点，交于点，过点的直线恰好垂直平分线段，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
7．某商店为了促销一种定价为4元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分按原价八折付款．如果小颖有44元钱，那么她最多可以购买该商品（ ）
A．10件 B．11件 C．12件 D．13件
8．如图，与都是等边三角形，点，，在同一直线上，连接，若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，中，，点D是边上一动点，以点A为旋转中心，将顺时针旋转得到线段，连接，若，则长的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
二、填空题
10．命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是 ．
11．不等式的解集为 ．
12．如图，在中，，点为上一点，连接，且，若的周长为，则的周长为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数（为常数，）的图象交于点，则关于的一元一次不等式的解集是 ．
三、解答题
14．解不等式：．
15．如图，为等边三角形，点，在轴上，点在轴上过点作，交轴于点，证明：是等腰三角形．
16．如图．在中，于，于，且，．求证：．
17．请用尺规作图法在直线上作一点，连接，使得是以为底边的等腰三角形．（不写作法，保留作图痕迹）

18．如图，在四边形中，，点是上一点，点与点关于点成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点，证明：点与点关于点成中心对称．
19．如图，已知是绕点顺时针方向旋转（）后所得的图形，点的对应点点恰好在上，，求的度数．
20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)将先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，请画出，且点、、的对应点分别是点、、；
(2)若点与点关于点成中心对称．请写出点的坐标．
21．以下为小刘在解不等式组时草稿纸上写的部分过程：
解不等式②，第一步
第二步
第三步
第四步
(1)小刘发现不等式②解的不对，请指出是第______步开始出现错误；
(2)解题中不等式组，并在数轴上表示出它的解集．
22．如图，是内部的一条射线，点在上，连接、，，过点作，，，分别是垂足，且，求证：平分．
23．对于两个关于x的不等式，若有且仅有一个整数使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是“互联”不等式，例如不等式和不等式是“互联”不等式．
(1)请判断不等式和是否是“互联“不等式，并说明理由；
(2)若和是“互联”不等式，求a的取值范围．
24．如图，在中，，于点，是上一点，连接，与相交于点，连接，，且．
(1)求证：垂直平分；
(2)若，求证：是等边三角形．
25．为了提高节日仪式感，三八妇女节期间，甲乙两家花店以同样的价格出售同样的玫瑰花束，并且又各自推出不同促销方案：
甲花店的优惠方案：购花价格累计超过200元后，超出200元的部分按付费；
乙花店的优惠方案：购花价格累计超过100元后，超出100元的部分按付费；
某公司想在三八妇女节为公司的女性送上玫瑰花束，若该公司准备购买总价为元的玫瑰花束．
(1)在甲花店购买的优惠价为______元，在乙花店购买的优惠价为______元；（均用含的式子表示）；
(2)请问该公司到哪家花店购花更优惠？写出解答过程．
26．【问题探究】
（1）如图1，在中，，，点在线段上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点落在线段上，求证：；
【问题解决】
（2）如图2，是一块种植园，，，点是入口，，是两条小路，点、分别在、上，，现把绕点逆时针旋转得到线段，点落在线段上，沿再修建一条小路．管理员为了方便灌溉，沿铺设地下水管，沿修建水渠，在实际操作过程中需要知道地下水管与水渠之间的数量关系，请你帮助管理员探究线段与线段之间的数量关系，并说明理由．
《陕西省延安市2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题》参考答案
1．D
解:A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则A不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则B不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则C不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，则D符合题意．
故选：D．
2．D
A.由的两边同时减去3，得a 3>b 3，故本选项不符合题意
B.由a>b的两边同时乘以5，得5a>5b，故本选项不符合题意
C.由a>b的两边同时加上c，得a+c>b+c，故本选项不符合题意
D.由a>b的两边同时乘以 8，不等号的方向改变，即 8a< 8b，故本选项符合题意
故选：D.
3．A
解：根据反证法可知：第一步应先假设；
故选：A ．
4．D
解：∵三角形是等边三角形，
又∵，
∴，，
在和中，
，
∴（SAS），
∴，
又∵三角形是等边三角形，
∴，
∴．
故选：D
5．C
解：根据题意可得，
则为的角平分线，
故依据是角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，
故选：C．
6．B
解：直线恰好垂直平分线段，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
7．C
解：∵，
∴她购买的商品超过了5件，
设她购买了x件商品，
，
解得：，
∴她最多可以购买该商品12件．
故选：C．
8．C
解：与都是等边三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
9．B
解：如图，取中点，连接，，
，，，
，，
点是的中点，
，
，
将线段绕点按顺时针方向旋转得到，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
当有最小值时，有最小值，
由垂线段最短，可知：当时，有最小值，
此时，，，
，
故选B．
解：∵原命题“等边三角形有三条对称轴”，
∴条件是“一个三角形是等边三角形”，结论是“这个三角形有三条对称轴”，
∴命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是有三条对称轴的三角形是等边三角形，
故答案为：有三条对称轴的三角形是等边三角形．
11．
解：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：．
故答案为：．
12．20
∵，
∴．
∵的周长为，
∴ ．
∵的周长为，，
的周长为．
故答案为：20 ．
13．/
解：∵正比例函数的图象与一次函数（为常数，）的图象交于点，
∴将代入中得，
，
∴
∴由函数图象可得关于x的一元一次不等式的解集是，
故答案为：．
14．
解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
15．见解析
证明：等边的三个顶点都在坐标轴上，
，．
，
，
，，
，
，
是等腰三角形．
16．见解析
证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴．
17．见解析
解：如图，点即为所求．

18．见解析
证明：点与点关于点中心对称，
是线段的中点，即，
，
，
在与中，
，
，
，，
点与点关于点成中心对称．
19．
解：，
．
是绕点顺时针方向旋转后所得的图形，
，
，
．
20．(1)作图见解析
(2)．
（1）解：如图所示，点；
（2）解：．
∵点与点关于原点中心对称，
∴点．
21．(1)一；
(2)，数轴见解析．
（1）解：由题目的解答过程可知，
第一步，解不等式②，去分母时，左右两边同时乘6，右边的1漏乘最简公分母6，
∴第一步开始出现错误，
故答案为：一；
（2）解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集为．
在数轴上表示不等式组的解集，如图所示：
∴不等式组的解集为．
22．见解析
证明：，，，
为的角平分线，
，
，
在和中，
，
，
平分．
23．(1)是，见解析
(2)
（1）解：是，理由如下；
，
解得，，
，
解得，，
∴，
∴有且仅有一个整数使得这两个不等式同时成立，即不等式和是“互联“不等式；
（2）解：，
解得，，
，
解得，，
∵和是“互联”不等式，
∴，且，
解得，，
∴的取值范围为．
24．(1)见解析
(2)见解析
（1）证明：，
，
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
垂直平分．
（2）解：，
，
是等边三角形，
，．
垂直平分，
为中点，
，
，
，
，
是等边三角形．
25．(1)，；
(2)当时，在甲花店购花更优惠；当时，在乙花店购花更优惠；当时，在甲，乙花店购花一样优惠；过程见解析．
（1）解：由题意可得：在甲花店购买的优惠价为元；在乙花店购买的优惠价为元．
故答案为：，．
（2）解：当时，，解得：，即当时，在甲花店购花更优惠；
当时，，解得：，即当时，在乙花店购花更优惠；
当时，，解得：，即当时，在甲，乙花店购花一样优惠．
26．（1）见解析；（2），理由理由见解析．
（1）证明：如图1，连接，
由旋转可得，
是等腰直角三角形，
，
，
．
，
，
，
．
（2）解：，理由如下：
如图2，过点作，交于点，连接，
由旋转可知，，．
．
，，
，，
，
，．
在和中，
，
，，
．
，
，，
，，
，，
，
．

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