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山东省济南市市中区2024年中考一模数学模拟试题
1．（2024·市中区模拟）下列几何体中，俯视图是三角形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024·市中区模拟）据有关部门统计，2023年春节假期期间，济南累计接待游客人次，将数字用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·市中区模拟）如图，直线，分别与直线交于点，，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024·市中区模拟）已知有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式成立的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024·市中区模拟）中国传统纹样产生于人民，寄寓着花好月圆的愿景，寄托着平安康乐的期盼．以下四幅传统纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024·市中区模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024·市中区模拟）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024·市中区模拟）学校举办“校园好声音”比赛，决定从两名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024·市中区模拟）如图，在中，，．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线分别交于点F，G．以G为圆心，长为半径作弧，交于点H，连结．则下列说法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024·市中区模拟）定义：平面内任意两点，，称为这两点之间的曼哈顿距离，例如，，．若点A为抛物线上的动点，点B为直线上的动点，并且抛物线与直线没有交点，的最小值为1，则b的值为（　　）
A． B． C．－1 D．
11．（2024·市中区模拟）因式分解：　 　．
12．（2024·市中区模拟）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数可能是　 　个．
13．（2024·市中区模拟）代数式与代数式的值相等，则　 　．
14．（2024·市中区模拟）如图，正五边形的边长为2，以为边作正方形，以C为圆心，长度2为半径作弧，则图中阴影部分的面积为　 　（结果保留）．
15．（2024·市中区模拟）A，B两地相距，甲、乙两人骑车分别从A，B两地同时出发，相向而行，匀速行驶，乙在途中休息了后按原速度继续前进．两人到A地的距离和时间的关系如图所示，则出发　 　h后，两人相遇．
16．（2024·市中区模拟）如图，中，，，E，F分别为边上两点，连结，将沿翻折，A，B对应点分别为，，点C在直线上，且，则　 　．
17．（2024·市中区模拟）计算：．
18．（2024·市中区模拟）解不等式组并写出该不等式组的整数解．
19．（2024·市中区模拟）如图，菱形中，点E，F分别在边上，，求证：．
20．（2024·市中区模拟）某停车场入口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆绕点O匀速旋转，另一曲臂杆始终保持与地面平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时O、A、B在一条直线上．已知闸机高度为，，，入口宽度为．
（1）如图2，因机器故障，曲臂杆最多可逆时针旋转，求此时点A到地面的距离；
（2）在（1）的条件下，一辆宽为、高为的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考数据：，）
21．（2024·市中区模拟）2023年10月26日11时14分，神舟十七号载人飞船成功发射，中国载人航天与空间站建设迎来全新的发展阶段．为了弘扬航天精神，某中学开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了七年级的部分同学的成绩进行整理．数据分成五组，组：；组：；组：；组：；组：．已知组的数据为：，，，，，，，，，，，，根据以上数据，我们绘制了频数分布直方图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次随机抽查______名同学，并补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中，组所在扇形的圆心角为______度；
（3）抽取的七年级的部分同学的成绩的中位数是______分；
（4）该校要对成绩为组的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为，请你估计该校名学生中获得一等奖的学生人数．
22．（2024·市中区模拟）如图，是的内接三角形，过点作的切线交的延长线于点，是的直径，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度．
23．（2024·市中区模拟）“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，学校为增加学生的课外活动实践，现决定增购两种体育器材：购买3件A种器材、4件B种器材需要180元，购买4件A种器材、3件B种器材需要170元．
（1）购买一件A种器材和一件B种器材各需要多少元？
（2）今年计划购买A、B两种体育器材共40件，且A种器材的数量不超过B种器材数量的3倍，那么购买A种器材和B种器材各多少件时花费最少？最少花费为多少元？
24．（2024·市中区模拟）如图1，直线经过点，交反比例函数的图象于点，点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点作轴交直线于点，连接，，若的面积是面积的倍，请求出点坐标；
（3）平面上任意一点，沿射线方向平移个单位长度得到点，点怡好在反比例函数的图象上；
①请写出点纵坐标关于点横坐标x的函数关系式______；
②定义，则函数的最大值为______．
25．（2024·市中区模拟）如图1，抛物线与x轴交于点，点B，与y轴交于点．
（1）求抛物线表达式；
（2）连结，点D为抛物线在第一象限部分上的点，作轴交于点E，若，求D点的横坐标；
（3）如图2，将抛物线平移，使得其顶点与原点重合，得到抛物线．过点作不与x轴平行的直线交于M，N两点．在y轴正半轴上是否存在点P，满足对任意的M，N都有直线和关于y轴对称？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
26．（2024·市中区模拟）实践与探究
【问题情境】
（1）①如图1，，，，分别为边上的点，，且，则______；
②如图2，将①中的绕点顺时针旋转，则所在直线较小夹角的度数为______．
【探究实践】
（2）如图3，矩形，，，为边上的动点，为边上的动点，，连接，作于点，连接．当的长度最小时，求的长．
【拓展应用】
（3）如图4，，，，，为中点，连接，分别为线段上的动点，且，请直接写出的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、俯视图是圆，故本选项不合题意；
B、俯视图是三角形，故本选项符合题意；
C、俯视图是有圆心的圆，故本选项不合题意；
D、俯视图是圆，故本选项不合题意．
故答案为：B．
【分析】根据简单几何体的三视图即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时，是负数.
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质；补角
【解析】【解答】解：如图
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据补角即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】有理数在数轴上的表示；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由题意得，，，
，
，，，，
，，选项错误，选项正确，
故答案为：C
【分析】根据有理数在数轴上的表示结合题意得到，，，则，再结合题意变换得到，，，，从而对选项逐一判断即可求解。
5．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A．是中心对称图形，是轴对称图形，符合题意；
B．是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C．不是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意 ；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】中心对称图形是指图形绕着某个点旋转能与原来的图形重合；轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合.
6．【答案】B
【知识点】整式的加减运算；同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、，B符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据整式的加减，同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方结合题意对选项逐一判断，进而即可求解。
7．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数（）的图象在一、三象限，
∴在每个象限内随的增大而减小，
∵点，在第一象限双曲线上，
∴，
∵点在第三象限双曲线上，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据反比例函数的性质即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意画图如下：
共有种等可能的情况数，其中一男一女的情况有种，则选出的恰为一男一女的概率是．
故答案为：C．
【分析】画出树状图，求出所有等可能的情况数，再求出选出的恰为一男一女的结果，根据概率公式即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；相似三角形的判定；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由作法得垂直平分，，
，，，所以A选项正确，不符合题意；
，，
∴是的中位线，
，，所以B选项正确，不符合题意；
，
，
∵，
，
，
，
，所以C选项正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
，，
，
，
，
设，，得，
解之得（负舍），
∴，
∴，
，
∴．
所以D选项错误，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据基本作图得到垂直平分，，根据线段垂直平分线的性质对选项进行判断；证明为的中位线，利用中位线的性质判定B选项；由，，可计算出，则，可对C选项进行判断；通过证明，利用相似比得到，然后利用，设，，得，解之得，再计算出可对D选项进行判断．
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数的最值
【解析】【解答】解：由题意得设，，
∴，
当A、B两点横坐标相等时，取得最小值，
∴，
∵曼距的最小值为1；
∴，
解得：或，
∵抛物线与直线没有交点，
∴一元二次方程没有实数根，
∴，
解得：，
∴
故答案为：D
【分析】设，，根据定义表示出曼距，进而根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
11．【答案】
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
12．【答案】15
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵摸出红球的频率稳定在左右，
∴摸出红球的概率为，
∴袋子中红球的个数为（个），
∴ 袋子中黄球的个数为（个），
故答案是：15
【分析】根据题意用频率估计概率得到摸出红球的概率为，进而即可求出袋中红球的个数，从而得到黄球的个数。
13．【答案】20
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵代数式与代数式的值相等，
∴，
去分母得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
故答案为：．
【分析】去分母后，对整式方程进行求解，并对结果进行检验.
14．【答案】
【知识点】多边形内角与外角；扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵是正五边形，
∴，
又∵是正方形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】根据正多边形的性质得到∠BCD的度数，再根据正方形的性质得到，从而得到∠BCG的度数，再根据扇形的面积公式即可求解。
15．【答案】2.1
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：乙的速度：
∵乙在途中休息了后按原速度继续前进
∴设时，乙的函数解析式为
把代入
得
∴
∴时，乙的函数解析式为
依题意，设甲的函数解析式
把代入
得
∴
∴甲的函数解析式
∵两人相遇
∴
∴
解得
则出发后，两人相遇
故答案为：
【分析】根据一次函数的图象求出乙的速度，即时，乙的函数解析式，再求出甲的函数解析式，进而联立根据两个一次函数的相交问题即可求解。
16．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：作于点，
根据折叠的性质得，，，，，
∵，
∴，四边形是矩形，
，，
设，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】作于点，根据折叠的性质得到，，，，，再根据矩形的判定与性质结合勾股定理得到，，设，根据题意解直角三角形得到B'C和FC，进而求出x，再根据线段的运算即可求解。
17．【答案】解
原式

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先算三角函数、平方根、零指数幂和负整数指数幂，再算加减即可求出答案.
18．【答案】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴ 该不等式组的解集为：，
∴ 该不等式组的整数解为：，0，1．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出整数解即可求出答案.
19．【答案】证明：∵四边形是菱形，
∴
又∵，
∴，
∴，
在△ADE和△CDF中，
∴
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据菱形性质可得，再根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
20．【答案】（1）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
由题意得：，，
在中，，
，
，，
，
，
此时点到地面的距离约为；
（2）解：一辆宽为、高为的货车可顺利通过入口，
理由：如图：当，且时，设交于点，
由题意得：，，
，
在中，，
，
，
入口宽度为，
，
，
一辆宽为、高为的货车可顺利通过入口．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据已知易得，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）当，且时，设交于点，根据题意可得：，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，比较即可解答．
21．【答案】（1）
（2）
（3）
（4）解：（人），
答：估计该校名学生中获得一等奖的学生人数为人．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次随机抽查的学生人数：（人），
组人数为（人），
补全图形如下：
故答案为：；
（2）解：扇形统计图中，组所在扇形的圆心角度数为，
故答案为：；
（3）解：抽取的七年级的部分同学排在第和名的成绩分别为和，
即中位数是分，
故答案为：；
【分析】（1）根据扇形统计图用组的人数和所占百分比可求出总人数，进而用总人数乘上组的百分比求出组的人数，即可补全频数分布直方图；
（2）根据圆心角的计算公式即可求解；
（3）根据中位数的定义即可求解；
（4）根据样本估计总体的知识结合题意即可求解。
（1）解：本次随机抽查的学生人数：（人），
组人数为（人），
补全图形如下：
故答案为：；
（2）解：扇形统计图中，组所在扇形的圆心角度数为，
故答案为：；
（3）解：抽取的七年级的部分同学排在第和名的成绩分别为和，
即中位数是分，
故答案为：；
（4）（人），
答：估计该校名学生中获得一等奖的学生人数为人．
22．【答案】（1）证明：连接，如图，
为的切线，
，
，
．
，
，
．
是的直径，
，
，
；
（2）解：，，
．
，
，
，
，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线的性质
23．【答案】（1）解：设购买一件A种器材需要x元，购买一件B种器材需要y元
由题意得：，解得：
答：设购买一件A种器材需要20元，购买一件B种器材需要30元．
（2）解：设购买A种器材a件，则购买B种器材件，总费用为w元．
由题意得：，解得：，
由题意得：，
∵，∴w随a的增大而减小，
∴当时，w的值最小，．
答：购买A种器材30件，购买B种器材10件时花费最少，最少花费为900元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）购买一件A种器材需要x元，购买一件B种器材需要y元，根据“买3件A种器材、4件B种器材需要180元，购买4件A种器材、3件B种器材需要170元”列二元一次方程组，求解即可；
（2）设购买A种器材a件，根据“A种器材的数量不超过B种器材数量的3倍”列一元一次不等式求自变量的取值范围，然后根据一次函数的增减性求解即可．
24．【答案】（1）解：直线经过点，
，
解得：，
，
点在直线上，
，
，
，
；
（2）解：①当点在下方时，
，
，
过点作轴于点，过点作轴于点，
，
，
，
，
把代入中，
得：，
；
②当点在上方时，
，
，
为的中点，
，，
，
把代入中，得：，
，
综上所述，点的坐标为或；
（3）①；②
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：① 由，沿射线方向平移个单位长度得到点，
得：向右平移个单位，再向下平移个单位得到点，
，
点恰好在反比例函数的图象上，
，
；
②．当时，，
即，
当时，，
解得：或（舍去），
时，函数有最大值，最大值为；
当时，，
解得：，
时，函数有最大值，最大值为；
．当时，，
即，
当时，，
解得：或（舍去），
，即；
当时，，
解得：，
，即；
综上所述，函数的最大值为，
故答案为：．
【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入直线解析式可得，再将点B坐标代入可得，再根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）分情况讨论：①当点在下方时，根据三角形面积可得，过点作轴于点，过点作轴于点，根据边之间的关系可得，代入可得点P坐标；②当点在上方时，根据三角形面积可得，再根据线段中点可得，把代入中即可求出答案.
（3）①根据点的平移性质可得，再代入反比例函数解析式即可求出答案.
②分情况讨论：当时，，当时，，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
25．【答案】（1）解：把，代入得：
，
解得，
抛物线表达式为；
（2）解：由，可得直线解析式为，
设，
在中，令得，
，，
，
，
解得或，
的坐标为或；
（3）解：在轴正半轴上存在点，满足对任意的，都有直线和关于轴对称，理由如下：
过作轴于，过作轴于，如图：
设，
将抛物线平移，使得其顶点与原点重合，得到抛物线，
抛物线的解析式为，
直线过点，
设直线解析式为，，，，，
由得，
，是的两根，
，，
直线和关于轴对称，
，
，
，
，
，
整理得：，
，
解得，
，
在轴正半轴上存在点，满足对任意的，都有直线和关于轴对称，此时的坐标为．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意运用待定系数法直接将点A和点C代入即可求解；
（2）先运用待定系数法求出直线AC的函数解析式，设，根据二次函数的图象与性质结合题意即可求解；
（3）过作轴于，过作轴于，设，根据二次函数的图象及其几何变换即可得到抛物线的解析式为，再根据题意设直线解析式为，，，，，根据一元二次方程根与系数的关系结合题意得到，，进而根据相似三角形的判定与性质证明得到，代入化简即可求解。
（1）解：把，代入得：
，
解得，
抛物线表达式为；
（2）由，可得直线解析式为，
设，
在中，令得，
，，
，
，
解得或，
的坐标为或；
（3）在轴正半轴上存在点，满足对任意的，都有直线和关于轴对称，理由如下：
过作轴于，过作轴于，如图：
设，
将抛物线平移，使得其顶点与原点重合，得到抛物线，
抛物线的解析式为，
直线过点，
设直线解析式为，，，，，
由得，
，是的两根，
，，
直线和关于轴对称，
，
，
，
，
，
整理得：，
，
解得，
，
在轴正半轴上存在点，满足对任意的，都有直线和关于轴对称，此时的坐标为．
26．【答案】（1）①；②；
（2）延长，相交于点，连接．
四边形是矩形，
，，
∴，
，
∴，
∴，
∴点为中点，
，
∵于点，
∴在中，，
∵在中，，且为定值，
∴当，三点共线时取得最小值，
∵，
∴，此时为等边三角形，
．
（3）
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）①，
，
，
②如图，延长交于，令交于，
由①可得，
由旋转的性质可得：，
，
，
，
所在直线较小夹角的度数为，
故答案为：；
（3）如图，分别过点和作垂线，两线相交于点，连接、、，则，
，，，，为中点，
，，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四点共圆，
，，
在中，，
，
，
在中，，
的最小值为．
【分析】（1）①根据相似三角形的判定证明，进而根据相似三角形的性质即可求解；
②延长交于，令交于，根据旋转的性质结合三角形内角和定理即可求解；
（2）延长，相交于点，连接．先根据矩形的性质得到，，再根据相似三角形的判定与性质证明得到点为中点，进而根据直角三角形的性质得到，则当，三点共线时取得最小值，再根据等边三角形的判定与性质即可求解；
（3）过点和作垂线，两线相交于点，连接、、，则，根据相似三角形的判定与性质证明的，进而根据题意得到四点共圆，根据圆周角定理结合题意得到，，进而解直角三角形得到，则，再根据勾股定理即可求解。
1 / 1山东省济南市市中区2024年中考一模数学模拟试题
1．（2024·市中区模拟）下列几何体中，俯视图是三角形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、俯视图是圆，故本选项不合题意；
B、俯视图是三角形，故本选项符合题意；
C、俯视图是有圆心的圆，故本选项不合题意；
D、俯视图是圆，故本选项不合题意．
故答案为：B．
【分析】根据简单几何体的三视图即可求出答案.
2．（2024·市中区模拟）据有关部门统计，2023年春节假期期间，济南累计接待游客人次，将数字用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时，是负数.
3．（2024·市中区模拟）如图，直线，分别与直线交于点，，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；补角
【解析】【解答】解：如图
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据补角即可求出答案.
4．（2024·市中区模拟）已知有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数在数轴上的表示；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由题意得，，，
，
，，，，
，，选项错误，选项正确，
故答案为：C
【分析】根据有理数在数轴上的表示结合题意得到，，，则，再结合题意变换得到，，，，从而对选项逐一判断即可求解。
5．（2024·市中区模拟）中国传统纹样产生于人民，寄寓着花好月圆的愿景，寄托着平安康乐的期盼．以下四幅传统纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A．是中心对称图形，是轴对称图形，符合题意；
B．是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C．不是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意 ；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】中心对称图形是指图形绕着某个点旋转能与原来的图形重合；轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合.
6．（2024·市中区模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】整式的加减运算；同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、，B符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据整式的加减，同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方结合题意对选项逐一判断，进而即可求解。
7．（2024·市中区模拟）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数（）的图象在一、三象限，
∴在每个象限内随的增大而减小，
∵点，在第一象限双曲线上，
∴，
∵点在第三象限双曲线上，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据反比例函数的性质即可求出答案.
8．（2024·市中区模拟）学校举办“校园好声音”比赛，决定从两名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意画图如下：
共有种等可能的情况数，其中一男一女的情况有种，则选出的恰为一男一女的概率是．
故答案为：C．
【分析】画出树状图，求出所有等可能的情况数，再求出选出的恰为一男一女的结果，根据概率公式即可求出答案.
9．（2024·市中区模拟）如图，在中，，．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线分别交于点F，G．以G为圆心，长为半径作弧，交于点H，连结．则下列说法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；相似三角形的判定；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由作法得垂直平分，，
，，，所以A选项正确，不符合题意；
，，
∴是的中位线，
，，所以B选项正确，不符合题意；
，
，
∵，
，
，
，
，所以C选项正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
，，
，
，
，
设，，得，
解之得（负舍），
∴，
∴，
，
∴．
所以D选项错误，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据基本作图得到垂直平分，，根据线段垂直平分线的性质对选项进行判断；证明为的中位线，利用中位线的性质判定B选项；由，，可计算出，则，可对C选项进行判断；通过证明，利用相似比得到，然后利用，设，，得，解之得，再计算出可对D选项进行判断．
10．（2024·市中区模拟）定义：平面内任意两点，，称为这两点之间的曼哈顿距离，例如，，．若点A为抛物线上的动点，点B为直线上的动点，并且抛物线与直线没有交点，的最小值为1，则b的值为（　　）
A． B． C．－1 D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数的最值
【解析】【解答】解：由题意得设，，
∴，
当A、B两点横坐标相等时，取得最小值，
∴，
∵曼距的最小值为1；
∴，
解得：或，
∵抛物线与直线没有交点，
∴一元二次方程没有实数根，
∴，
解得：，
∴
故答案为：D
【分析】设，，根据定义表示出曼距，进而根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
11．（2024·市中区模拟）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
12．（2024·市中区模拟）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数可能是　 　个．
【答案】15
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵摸出红球的频率稳定在左右，
∴摸出红球的概率为，
∴袋子中红球的个数为（个），
∴ 袋子中黄球的个数为（个），
故答案是：15
【分析】根据题意用频率估计概率得到摸出红球的概率为，进而即可求出袋中红球的个数，从而得到黄球的个数。
13．（2024·市中区模拟）代数式与代数式的值相等，则　 　．
【答案】20
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵代数式与代数式的值相等，
∴，
去分母得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
故答案为：．
【分析】去分母后，对整式方程进行求解，并对结果进行检验.
14．（2024·市中区模拟）如图，正五边形的边长为2，以为边作正方形，以C为圆心，长度2为半径作弧，则图中阴影部分的面积为　 　（结果保留）．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角；扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵是正五边形，
∴，
又∵是正方形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】根据正多边形的性质得到∠BCD的度数，再根据正方形的性质得到，从而得到∠BCG的度数，再根据扇形的面积公式即可求解。
15．（2024·市中区模拟）A，B两地相距，甲、乙两人骑车分别从A，B两地同时出发，相向而行，匀速行驶，乙在途中休息了后按原速度继续前进．两人到A地的距离和时间的关系如图所示，则出发　 　h后，两人相遇．
【答案】2.1
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：乙的速度：
∵乙在途中休息了后按原速度继续前进
∴设时，乙的函数解析式为
把代入
得
∴
∴时，乙的函数解析式为
依题意，设甲的函数解析式
把代入
得
∴
∴甲的函数解析式
∵两人相遇
∴
∴
解得
则出发后，两人相遇
故答案为：
【分析】根据一次函数的图象求出乙的速度，即时，乙的函数解析式，再求出甲的函数解析式，进而联立根据两个一次函数的相交问题即可求解。
16．（2024·市中区模拟）如图，中，，，E，F分别为边上两点，连结，将沿翻折，A，B对应点分别为，，点C在直线上，且，则　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：作于点，
根据折叠的性质得，，，，，
∵，
∴，四边形是矩形，
，，
设，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】作于点，根据折叠的性质得到，，，，，再根据矩形的判定与性质结合勾股定理得到，，设，根据题意解直角三角形得到B'C和FC，进而求出x，再根据线段的运算即可求解。
17．（2024·市中区模拟）计算：．
【答案】解
原式

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先算三角函数、平方根、零指数幂和负整数指数幂，再算加减即可求出答案.
18．（2024·市中区模拟）解不等式组并写出该不等式组的整数解．
【答案】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴ 该不等式组的解集为：，
∴ 该不等式组的整数解为：，0，1．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出整数解即可求出答案.
19．（2024·市中区模拟）如图，菱形中，点E，F分别在边上，，求证：．
【答案】证明：∵四边形是菱形，
∴
又∵，
∴，
∴，
在△ADE和△CDF中，
∴
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据菱形性质可得，再根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
20．（2024·市中区模拟）某停车场入口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆绕点O匀速旋转，另一曲臂杆始终保持与地面平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时O、A、B在一条直线上．已知闸机高度为，，，入口宽度为．
（1）如图2，因机器故障，曲臂杆最多可逆时针旋转，求此时点A到地面的距离；
（2）在（1）的条件下，一辆宽为、高为的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考数据：，）
【答案】（1）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
由题意得：，，
在中，，
，
，，
，
，
此时点到地面的距离约为；
（2）解：一辆宽为、高为的货车可顺利通过入口，
理由：如图：当，且时，设交于点，
由题意得：，，
，
在中，，
，
，
入口宽度为，
，
，
一辆宽为、高为的货车可顺利通过入口．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据已知易得，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）当，且时，设交于点，根据题意可得：，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，比较即可解答．
21．（2024·市中区模拟）2023年10月26日11时14分，神舟十七号载人飞船成功发射，中国载人航天与空间站建设迎来全新的发展阶段．为了弘扬航天精神，某中学开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了七年级的部分同学的成绩进行整理．数据分成五组，组：；组：；组：；组：；组：．已知组的数据为：，，，，，，，，，，，，根据以上数据，我们绘制了频数分布直方图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次随机抽查______名同学，并补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中，组所在扇形的圆心角为______度；
（3）抽取的七年级的部分同学的成绩的中位数是______分；
（4）该校要对成绩为组的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为，请你估计该校名学生中获得一等奖的学生人数．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）解：（人），
答：估计该校名学生中获得一等奖的学生人数为人．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次随机抽查的学生人数：（人），
组人数为（人），
补全图形如下：
故答案为：；
（2）解：扇形统计图中，组所在扇形的圆心角度数为，
故答案为：；
（3）解：抽取的七年级的部分同学排在第和名的成绩分别为和，
即中位数是分，
故答案为：；
【分析】（1）根据扇形统计图用组的人数和所占百分比可求出总人数，进而用总人数乘上组的百分比求出组的人数，即可补全频数分布直方图；
（2）根据圆心角的计算公式即可求解；
（3）根据中位数的定义即可求解；
（4）根据样本估计总体的知识结合题意即可求解。
（1）解：本次随机抽查的学生人数：（人），
组人数为（人），
补全图形如下：
故答案为：；
（2）解：扇形统计图中，组所在扇形的圆心角度数为，
故答案为：；
（3）解：抽取的七年级的部分同学排在第和名的成绩分别为和，
即中位数是分，
故答案为：；
（4）（人），
答：估计该校名学生中获得一等奖的学生人数为人．
22．（2024·市中区模拟）如图，是的内接三角形，过点作的切线交的延长线于点，是的直径，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度．
【答案】（1）证明：连接，如图，
为的切线，
，
，
．
，
，
．
是的直径，
，
，
；
（2）解：，，
．
，
，
，
，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线的性质
23．（2024·市中区模拟）“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，学校为增加学生的课外活动实践，现决定增购两种体育器材：购买3件A种器材、4件B种器材需要180元，购买4件A种器材、3件B种器材需要170元．
（1）购买一件A种器材和一件B种器材各需要多少元？
（2）今年计划购买A、B两种体育器材共40件，且A种器材的数量不超过B种器材数量的3倍，那么购买A种器材和B种器材各多少件时花费最少？最少花费为多少元？
【答案】（1）解：设购买一件A种器材需要x元，购买一件B种器材需要y元
由题意得：，解得：
答：设购买一件A种器材需要20元，购买一件B种器材需要30元．
（2）解：设购买A种器材a件，则购买B种器材件，总费用为w元．
由题意得：，解得：，
由题意得：，
∵，∴w随a的增大而减小，
∴当时，w的值最小，．
答：购买A种器材30件，购买B种器材10件时花费最少，最少花费为900元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）购买一件A种器材需要x元，购买一件B种器材需要y元，根据“买3件A种器材、4件B种器材需要180元，购买4件A种器材、3件B种器材需要170元”列二元一次方程组，求解即可；
（2）设购买A种器材a件，根据“A种器材的数量不超过B种器材数量的3倍”列一元一次不等式求自变量的取值范围，然后根据一次函数的增减性求解即可．
24．（2024·市中区模拟）如图1，直线经过点，交反比例函数的图象于点，点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点作轴交直线于点，连接，，若的面积是面积的倍，请求出点坐标；
（3）平面上任意一点，沿射线方向平移个单位长度得到点，点怡好在反比例函数的图象上；
①请写出点纵坐标关于点横坐标x的函数关系式______；
②定义，则函数的最大值为______．
【答案】（1）解：直线经过点，
，
解得：，
，
点在直线上，
，
，
，
；
（2）解：①当点在下方时，
，
，
过点作轴于点，过点作轴于点，
，
，
，
，
把代入中，
得：，
；
②当点在上方时，
，
，
为的中点，
，，
，
把代入中，得：，
，
综上所述，点的坐标为或；
（3）①；②
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：① 由，沿射线方向平移个单位长度得到点，
得：向右平移个单位，再向下平移个单位得到点，
，
点恰好在反比例函数的图象上，
，
；
②．当时，，
即，
当时，，
解得：或（舍去），
时，函数有最大值，最大值为；
当时，，
解得：，
时，函数有最大值，最大值为；
．当时，，
即，
当时，，
解得：或（舍去），
，即；
当时，，
解得：，
，即；
综上所述，函数的最大值为，
故答案为：．
【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入直线解析式可得，再将点B坐标代入可得，再根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）分情况讨论：①当点在下方时，根据三角形面积可得，过点作轴于点，过点作轴于点，根据边之间的关系可得，代入可得点P坐标；②当点在上方时，根据三角形面积可得，再根据线段中点可得，把代入中即可求出答案.
（3）①根据点的平移性质可得，再代入反比例函数解析式即可求出答案.
②分情况讨论：当时，，当时，，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
25．（2024·市中区模拟）如图1，抛物线与x轴交于点，点B，与y轴交于点．
（1）求抛物线表达式；
（2）连结，点D为抛物线在第一象限部分上的点，作轴交于点E，若，求D点的横坐标；
（3）如图2，将抛物线平移，使得其顶点与原点重合，得到抛物线．过点作不与x轴平行的直线交于M，N两点．在y轴正半轴上是否存在点P，满足对任意的M，N都有直线和关于y轴对称？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把，代入得：
，
解得，
抛物线表达式为；
（2）解：由，可得直线解析式为，
设，
在中，令得，
，，
，
，
解得或，
的坐标为或；
（3）解：在轴正半轴上存在点，满足对任意的，都有直线和关于轴对称，理由如下：
过作轴于，过作轴于，如图：
设，
将抛物线平移，使得其顶点与原点重合，得到抛物线，
抛物线的解析式为，
直线过点，
设直线解析式为，，，，，
由得，
，是的两根，
，，
直线和关于轴对称，
，
，
，
，
，
整理得：，
，
解得，
，
在轴正半轴上存在点，满足对任意的，都有直线和关于轴对称，此时的坐标为．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意运用待定系数法直接将点A和点C代入即可求解；
（2）先运用待定系数法求出直线AC的函数解析式，设，根据二次函数的图象与性质结合题意即可求解；
（3）过作轴于，过作轴于，设，根据二次函数的图象及其几何变换即可得到抛物线的解析式为，再根据题意设直线解析式为，，，，，根据一元二次方程根与系数的关系结合题意得到，，进而根据相似三角形的判定与性质证明得到，代入化简即可求解。
（1）解：把，代入得：
，
解得，
抛物线表达式为；
（2）由，可得直线解析式为，
设，
在中，令得，
，，
，
，
解得或，
的坐标为或；
（3）在轴正半轴上存在点，满足对任意的，都有直线和关于轴对称，理由如下：
过作轴于，过作轴于，如图：
设，
将抛物线平移，使得其顶点与原点重合，得到抛物线，
抛物线的解析式为，
直线过点，
设直线解析式为，，，，，
由得，
，是的两根，
，，
直线和关于轴对称，
，
，
，
，
，
整理得：，
，
解得，
，
在轴正半轴上存在点，满足对任意的，都有直线和关于轴对称，此时的坐标为．
26．（2024·市中区模拟）实践与探究
【问题情境】
（1）①如图1，，，，分别为边上的点，，且，则______；
②如图2，将①中的绕点顺时针旋转，则所在直线较小夹角的度数为______．
【探究实践】
（2）如图3，矩形，，，为边上的动点，为边上的动点，，连接，作于点，连接．当的长度最小时，求的长．
【拓展应用】
（3）如图4，，，，，为中点，连接，分别为线段上的动点，且，请直接写出的最小值．
【答案】（1）①；②；
（2）延长，相交于点，连接．
四边形是矩形，
，，
∴，
，
∴，
∴，
∴点为中点，
，
∵于点，
∴在中，，
∵在中，，且为定值，
∴当，三点共线时取得最小值，
∵，
∴，此时为等边三角形，
．
（3）
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）①，
，
，
②如图，延长交于，令交于，
由①可得，
由旋转的性质可得：，
，
，
，
所在直线较小夹角的度数为，
故答案为：；
（3）如图，分别过点和作垂线，两线相交于点，连接、、，则，
，，，，为中点，
，，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四点共圆，
，，
在中，，
，
，
在中，，
的最小值为．
【分析】（1）①根据相似三角形的判定证明，进而根据相似三角形的性质即可求解；
②延长交于，令交于，根据旋转的性质结合三角形内角和定理即可求解；
（2）延长，相交于点，连接．先根据矩形的性质得到，，再根据相似三角形的判定与性质证明得到点为中点，进而根据直角三角形的性质得到，则当，三点共线时取得最小值，再根据等边三角形的判定与性质即可求解；
（3）过点和作垂线，两线相交于点，连接、、，则，根据相似三角形的判定与性质证明的，进而根据题意得到四点共圆，根据圆周角定理结合题意得到，，进而解直角三角形得到，则，再根据勾股定理即可求解。
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