资源简介

江苏省2024-2025学年高一下学期百校联考数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将本人的学校、班级、姓名、考试号填在答题卡上．
2．将每题的答案或解答写在答题卡上，在试卷上答题无效．
3．考试结束，只交答题卡．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示，正方形的边长为2cm，它是用斜二测画法画出的一个平面图形水平放置的直观图，则原图形的周长为
A.12cm B.16cm C. D.
2．已知是三个不同的平面，是三条不同的直线，且．在下列条件中，能推出的是
A. B. C. D.
3．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫作向量在坐标系xOy中的坐标．若，则
A. B.3 C. D.6
4．在中，内角所对的边分别为，若，则
A.2 B. C.3 D.
5．已知，则
A. B. C. D.
6．在三棱锥中，，则异面直线PB与AC所成角的正切值是
A. B. C. D.
7．如图，在中，为边AB的中点，线段AC与DE交于点，则
A. B. C. D.
8．在中，分别为内角所对的边，已知．设为边BC上一点，若，且，则面积的最小值为
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知正方体的棱长为1，点在线段BD上运动，则
A. B.直线一定与共面
C.的最小值为 D.的最小值为
10．在中，内角所对的边分别为，且，则下列说法正确的是
A. B.若，则面积的最大值为
C.若，则 D.若，则
11．已知函数，若存在非零常数，都有成立，我们就称为“不减函数”，若，都有成立，我们就称为“严格增函数”．下列说法正确的是
A.函数是“不减函数”
B.若函数，则一定不是“严格增函数”
C.函数为“严格增函数”
D.若函数是“不减函数”，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若两个单位向量满足，则与的夹角是__________．
13．已知，则__________．
14．在锐角中，分别是内角的对边，且的面积为3，过点分别作于点于点，则__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题13分）已知平面向量满足，且．
（1）求在方向上的投影向量；
（2）若，求实数的值．
16．（本小题15分）如图，在长方体中，底面ABCD是边长为4的正方形，为AC与BD的交点，是线段的中点．
（1）求证：平面．
（2）求证：平面．
17．（本小题15分）在中，角所对的边分别为，且．
（1）若，求；
（2）求面积的最大值．
18．（本小题17分）如图，在中，，且与CE交于点．设．
（1）求的值；
（2）分别求向量和向量的模；
（3）求的值．
19．（本小题17分）在锐角三角形ABC中，角所对的边分别为，且．
（1）若，求面积的取值范围．
（2）已知．
（i）求BC边上的高；
（ii）若AD是的平分线，交BC于点，且，求的值．
江苏省高一年级数学试卷
参考答案
1．B 2．B 3．C 4．D 5．D 6．C 7．C 8．A 9．AD 10．BD 11．ABD
12． 13． 14．
15．解：（1）由，且，
两边平方得，解得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
所以在方向上的投影向量为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）因为所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
化简得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
解得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分
16．证明：（1）分别是的中点，是矩形，
，且，
四边形是平行四边形，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
又平面平面，
平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）如图，连接．
正方形ABCD的边长为，
，
则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
又平面平面ABCD，
.
由底面ABCD为正方形可得，
又平面平面，
平面．
又平面，
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分
又平面平面，
平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分
17．解：（1）（方法一）由正弦定理和已知可得，化简可得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
又，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
（方法二）由正弦定理及已知可得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
又即
两式平方相加可得．
故当时，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
（2）由已知可得，化简可得，
即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
由余弦定理得，得，
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分
当且仅当时，的面积取得最大值．
故的面积最大值为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分
18．解：（1）由，
知，
所以．
又三点共线，所以，同理可得，
所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2），
.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
，
所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
，
所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
（3），．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分
所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．17分
19．解：（1）由及正弦定理，
得．
因为，所以，
所以，又，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
由正弦定理得．
由，得，
即．由余弦定理得，解得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
所以，
．．．．．．．．．7分
因为为锐角三角形，所以且，
即，所以，
所以，所以．
故面积的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
（2）（i）因为，所以，
而，即，所以，
其中为外接圆的半径，所以，即，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
所以，
则，所以，
其中为BC边上的高，故．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分
（ii）由上面可以解出是的平分线，
应用正弦定理可证，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分
则，所以的值为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．17分

展开更多......

收起↑