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浙江省杭州市十三中2024-2025学年八年级下学期数学期中试卷
1．（2025八下·杭州期中）下列各式中，属于二次根式的是 （　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·杭州期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025八下·杭州期中）若关于x的一元二次方程x2+6x+c=0配方后得到方程（x+3)2=2c，则c的值是（　　）
A．-3 B．0 C．3 D．9
4．（2025八下·杭州期中）小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是（　　）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
5．（2025八下·杭州期中） 在用求根公式 求一元二次方程的根时，小南正确地代入了a，b，c 得到 ，则他求解的一元二次方程是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025八下·杭州期中）某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售，经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利8450元，设每件降低x元，则可列方程为（　　）
A．(60-x)(200+8x)=8450 B．(20-x)(200+x)=8450
C．(40-x)(200+8x)= 8450 D．(20-x)(200+8x)=8450
7．（2025八下·杭州期中）一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的边数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（2025八下·杭州期中）关于x的方程x2+2(m-1)x+m2-m=0有两个实数根a，β，且α2+β2=12，m的值为（　　）
A．-1 B．-4 C．-4或1 D．-1或4
9．（2025八下·杭州期中） 已知方程(x+a)(x+b)=0有M个解，方程(ax+1)(bx+1)=0有N个解，其中a≠b，则（　　）
A．M=N-1或M=N+1 B．M=N-1或M=N+2
C．M=N+1 D．M=N-1
10．（2025八下·杭州期中）如图，在□ABCD中，AB=6，BC=4，∠ABC=60°，点E是AB上的一点，点F是边CD上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠，使得点A与点C重合，得到四边形EFGC，点D的对应点为点G，则FG的长度为（　　）
A． B． C．2 D．
11．（2025八下·杭州期中）要使式子有意义，则x的取值范围是　 　.
12．（2025八下·杭州期中）在某次数学测验中，随机抽取了6份试卷，其成绩如下85，88，85，79，77，81.则这组数据的众数与中位数分别为　 　，　 　.
13．（2025八下·杭州期中）已知一道斜坡的坡比为1：，坡长为26米，那么坡高为　 　米
14．（2025八下·杭州期中）如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，AB=10，AC=6，过点O作OE⊥BD交CD于点E，连结BE，则∠BEC的周长是　 　.
15．（2025八下·杭州期中）若α，β是方程x2+2x-2025=0的两个实数根，则代数式2α2+6α+2β+5的值为　 　.
16．（2025八下·杭州期中）如图，已知在 ABCD中，3AB=2BC，点O是∠BAD和∠CBA的角平分线的交点，过点O作EF//AB，分别交AD、BC于E、F两点，连接OD、OC.则下列结论正确的有　 　.
①AO⊥BO；②点O是EF的中点；
③；④
17．（2025八下·杭州期中）计算：
（1）
（2）
18．（2025八下·杭州期中）解下列方程：
（1） x2-2x-10=5
（2）(x-2)2 =4-2x
19．（2025八下·杭州期中）为了解某校八年级学生的体质健康状况，对八年级某班43名学生进行了体质抽测（满分10分，最低5分），并按照性别把成绩整理成如下图、表：
八年级某班体质抽测成绩分析表
平均数 中位数 众数 方差
男生 7.48 7 b 1.99
女生 a 7.5 7 1.74
（1）根据以上信息直接写出a=　 　，b=　 　；
（2）该班男生和女生谁的成绩更稳定？请说明理由；
（3）若该校八年级一共有430人，则估计得分在8分及8分以上的人数共有多少人？
20．（2025八下·杭州期中）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（-3，2)，B（0，4)，C（0，2) ．
（1）画出△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C，此时点A1坐标为 ▲ .
（2）以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，此时点D坐标为　 　.
21．（2025八下·杭州期中）如图，在□ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于F.
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；
（2）若AF平分∠BAD，∠D=60°，AD=12，求□ABCD的面积.
22．（2025八下·杭州期中）已知关于x的一元二次方程.
（1）证明：该方程一定有两个不相等的实数根，
（2）已知该方程的两根分别是一个直角三角形的两条直角边的长度，当这个直角三角形的斜边长为时，求m的值.
23．（2025八下·杭州期中）
背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送。
素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元.
素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办进行销售，已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元.
问题解决
任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率，
任务2 根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能多的减少库存，求下调后每个手办的售价.
任务3 根据素材2，平均每天能否获利2100元？若能，请求出每个手办应降价多少元；若不能，请说明理由.
24．（2025八下·杭州期中）在一次数学探究活动中，小明用一根木棒把四边形ABCD分割成2个部分（如图1)，经测量发现，AD=BD，∠BAD=∠C=∠CDB=45°.
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若点P为线段CD上的动点（点P不与点D重合），连接AP，过点P作EP⊥AP交直线BD于点E，如图2，当点P为线段CD的中点时：
①连接PB，请写出PB与CD之间的数量关系并说明理由；
②请写出PA，PE之间的数量关系并说明理由：
③如图3，当点P在线段CD上时，请直接写出DE，DP，DA之间的数量关系 ▲ .
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：A、∵中﹣3＜0，∴不是二次根式，故A项不符合题意；
B、∵中2＞0，∴是二次根式，故B项符合题意；
C、∵是三次根号，∴不是二次根式，故C不符合题意；
D、∵中当x≤3时是二次根式，∴有可能是二次根式，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的定义解答，即（a≥0）的式子叫二次根式．
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
C、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
D、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据中心对称图形的定义旋转 后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案.
3．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
解得
故答案为：C.
【分析】把常数项c移项后，在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方得 可得 解方程即可得c的值.
4．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵O是AC、BD的中点，
∴四边形ABCD是平行四边形 (对角线互相平分的四边形是平行四边形)；
故答案为：A.
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出结论.
5．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意
故答案为：A.
【分析】得出a，b，c的值即可解题.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：当每件降低x元时，每件的销售利润为 元，平均每周可售出 件，
根据题意得：
故答案为：D.
【分析】当每件降低x元时，每件的销售利润为 元，平均每周可售出 件，利用每周销售该款T恤获得的总利润=每件的销售利润×每周的销售量，可得出关于x的一元二次方程，此题得解.
7．【答案】C
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意，得
解得：
则这个多边形的边数是7，
故答案为：C.
【分析】根据n边形的内角和为 外角和为360°列方程解题即可.
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的方程 有两个实数根α，β，
则，
解得
又∵， ，
∴
即
则 或 (舍去)。
故答案为：A.
【分析】根据方程根的情况得到，求出m的取值范围，再根据根与系数的关系得到， ，整体代入求出m的值即可解题.
9．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：(x+a)(x+b)=0，
可得x+a=0或x+b=0，即x=-a或x =-b，
∵a≠b，
∴M=2，
当a=0， b≠0时， 方程变为bx+1=0.1解得 此时N=1，
当a≠0， b=0时， 方程变为 ax+1=0， 解得 此时N=1，
当a≠0， b≠0时， 方程变为 ax+1=0或bx+1=0，解得 或 此时N=2，
∴当a=0或b=0时， M =2， N =1，
M = N+1； 当a≠0且b≠0时， M =2， N =2， M = N.
∴M=N或M =N+1.
故答案为：C.
【分析】对于方程(x+a)(x+b)=0， 根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的原理，可直接求解，方程((ax+1)(bx+1)=0， 同样依据上述原理求解， 但需要分a=0， b=0以及a≠0且b≠0等不同情况讨论，再确定两个方程解的个数M和N之间的关系.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图， 作CK⊥AB于K， 过E点作EP⊥BC于P，
∵∠ABC=60°， BC =4， ∠BCK=30°，
∵C到AB的距离和E到CD的距离都是平行线AB、CD间的距离，
∴点E到CD的距离是
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC， ∠D=∠ABC， ∠A=∠BCD，由折叠可知： AD =CG， ∠D =∠G，∠A=∠ECG，
∴BC=GC， ∠ABC=∠G， ∠BCD=∠ECG，
∴∠BCE=∠GCF，
在△BCE和△GCF中，
∴△BCE≌△GCF(ASA)，
∴CE=CF，
∵∠ABC =60°， ∠EPB=90°，
∴∠BEP=30°，
∴BE=2BP，
设BP=m， 则BE=2m，
由折叠可知： AE=CE，
∵AB=6，
∴AE=CE=6-2m，
∵BC=4，
∴PC=4-m，
在Rt△ECP中，由勾股定理得：
解得
，
故答案为：B.
【分析】如图，作于K，过E点作 于P.可得可得点E到CD的距离是 证明 可得 设 则 由勾股定理得求出m， 然后根据线段的和差求解即可.
11．【答案】x≥7
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴x-7≥0，
∴x≥7，
故答案为：x≥7.
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可.
12．【答案】85；83
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：这组数据从小到大排列为： 77， 79， 81， 85， 85，85，
则这组数据的众数为85，中位数为：
故答案为： 85， 83.
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据.
13．【答案】13
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：设斜坡的坡角为α，
∵斜坡的坡比为
∵坡长为26米，
∴坡高为： (米)，
故答案为： 13.
【分析】根据坡度与坡角的关系求出坡角，再根据含 角的直角三角形的性质计算即可.
14．【答案】18
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AC⊥CB，
∴∠ACB=90°，
∵四边形ABC都是平行四边形，
∴OB =OD， CD= AB=10，
∵EO⊥DB，
∴ED=EB，
∴△BEC的周长=EB+EC+BC=DE+EC+BC=CD+CB=10+8=18，
故答案为： 18.
【分析】利用勾股定理求出BC，再证明EB=ED，推出△BEC的周长=CD+CB即可.
15．【答案】4051
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：根据题意得：
∵α， β是方程 的两个实数根，
故答案为： 4051.
【分析】根据α，β是方程 的两个实数根，得出 ， 据此求解即可.
16．【答案】①②④
【知识点】平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD， AB=CD， AD= BC，
∴∠BAD+∠ABC =180°，
∵点O是∠BAD和∠CBA的角平分线的交点，
180°= 90°
∴∠AOB=90°，
∴AO⊥BO， 所以①正确；
∵EF∥AB，
∴∠BAO=∠AOE， ∠ABO =∠BOF，
∵∠OAB =∠OAE， ∠OBA=∠OBF，
∴∠OAE =∠AOE， ∠OBF =∠BOF，
∴AE=OE， BF=OF，
∵AE∥BF，AB∥EF，
∴四边形ABFE为平行四边形，
∴AE=BF，
∴OE=OF， 即O点为EF的中点， 所以②正确；
∵3AB=2BC，
∴设AB=2x， BC=3x，
∴EF =2x， AD=3x，
∴AD=3AE，
∴C平行四边形ABFE=2x+2×2x=6x
∴C平行四边形ABCD =2×2x+2×3x= 10x，所以③不正确；
∵OE=OF，
所以④正确.
故答案为：①②④.
【分析】利用平行四边形的性质得到AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，AD=BC，利用平行线的性质和角平分线的定义计算出∠OAB+∠OBA=90°，则∠AOB=90°，于是可对①进行判断；利用平行线的性质证明∠EAO=∠AOE，∠OBF=∠BOF得到AE=OE， BF=OF，再证明四边形ABFE为平行四边形得到AE=BF，所以OE =OF，则可对②进行判断；设AB=2x， BC=3x， 则EF=2x， AD=3x，EA=OE=x， AD=3x， 则可对③进行判断；证明 可对④进行判断.
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)先根据完全平方公式计算，然后合并同类二次根式即可；
(2)先根据二次根式的乘法法则和二次根式的性质计算，然后进行有理数的减法运算.
18．【答案】（1）解：，
则 或
所以
（2）解：
则 或
所以
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可.
19．【答案】（1）7.6；7
（2）解：女生的成绩更稳定，
理由：该班男生成绩的方差大于女生成绩的方差，所以该班女生的成绩更稳定；
（3）解：由条形统计图可得，八年级某班男生人数为2+4+6+5+4+2=23(人)，
∴八年级某班女生人数为4 (人)，
∴八年级某班得分在8分及8分以上的人数为 人，
(人)，
答：该校八年级估计得分在8分及8分以上的人数共有210人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；分析数据的波动程度；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】(1)由条形统计图可得，男生体质检测成绩7分的最多，
∴众数
由扇形统计图可得，
故答案为： 7.6， 7；
【分析】(1)根据条形统计图和扇形统计图、众数、加权平均数的定义即可求解；
(2)根据方差判断即可；
(3)求出男生和女生人数，进而求出占比，再乘以430即可求解.
20．【答案】（1）解：如图， 即为所求.
由图可得， 点. 坐标为(3，2).
故答案为： (3，2).
（2）或或(3，4)
【知识点】平行四边形的性质；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【解答】解：（2）如图， 点均满足题意，∴此时点D坐标为或或(3，4).
故答案为：或或(3，4).
【分析】(1)根据中心对称的性质作图即可；
(2)根据平行四边形的判定确定点D的位置，即可得出答案.
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD， AB=CD，
∴∠ABE=∠FCE，
∵点E是BC边的中点，
∴BE=CE，
在△ABE和△FCE中，
∴△ABE≌△FCE(ASA)，
∴AB=CF，
又∵AB∥CF，
∴四边形ABFC是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC =∠D=60°， BC =AD=12，AD∥BC，
∴∠BEA=∠DAE，
∵AF平分∠BAD，
，
是等边三角形，
平行四边形的面积
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质得. 再证 得 即可得出结论；
(2)由平行四边形的性质得 再证是等边三角形， 得 ，然后证 则 即可解决问题.
22．【答案】（1）证明：由题意可知： ，
∴不论实数m取何值，该方程一定有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程的两个根为a，b，
由题意可得：
解得： 或
当 时， ，不合题意，舍去.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1)求出根的判别式的符号即可得出结论；
(2)根据一元二次方程根与系数的关系，以及勾股定理进行求解即可.
23．【答案】解：任务1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x，
由题意得：
解得：
(不符合题意，舍去)，
答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为20%；
任务2：设降价m元，则下调后每个手办的售价为
元，销售量为( 个，
由题意得：
整理得：
解得： (不符合题意，舍去)，
答：下调后每个手办的售价为50元；
任务3：平均每天不能获利2100元，理由如下：
设每个手办应降价y元，则下调后每个手办的售价为 )元，销售量为 个，
由题意得：
整理得：
∴原方程无实数根，
∴平均每天不能获利2100元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x，根据某影院正月初一的票房收入费用为6万元，正月初三的票房收入达到8.64万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；：
任务2：设降价m元，则下调后每个手办的售价为 元，销售量为 个，根据该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
任务3：设每个手办应降价y元，则下调后每个手办的售价为元，销售量为 个，根据平均每天能否获利2100元，列出一元二次方程，然后由根的判别式即可得出结论.
24．【答案】（1）证明： ∵AD=BD， ∠BAD=45°，
∴∠BAD =∠ABD=45°，
∴∠ADB=90°，
∵∠C =∠CDB=45°，
∴BD = BC， ∠CBD=90°，
∵AD =BD， ∠ADB=90°，
∴AD=BC， ∠CBD=∠ADB，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解： 理由如下：
由 (1)知△BDC是等腰直角三角形，
当点P为线段CD的中点时，则
∴ PB⊥CD， 则△PBD是等腰直角三角形，
②PA=PE， 理由如下： 由上可知△PBD是等腰直角三角形，
∴BP=PD，
∴∠PBE = 180°-∠PBD = 135°，
∵∠ABD=∠CDB=45°，
∴AB∥CD，
∴∠ADC=180°-∠BAD=180°-45°=135°，
∴∠ADC=∠PBE，
∵∠PAD+∠DOA=∠PEB+∠POE=90°，∠DOA=∠POE，
∴∠PAD=∠PEB，
∴△PAD≌△PEB(AAS)，
∴PA=PE；
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】（2） 理由如下：
过点P作PF⊥CD交DE于点F， 如图所示：
∵PF⊥CD， EP⊥AP，
∴∠DPF=∠APE=90°，
∴∠DPF-∠APF=∠APE-∠APF，
∴∠DPA=∠FPE，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∠BAD =45°，
∴AB∥CD，
∴∠PDA =180°-∠BAD = 135°，
∵∠DPF =90°， ∠CDB=45°，
∴∠PFD =∠PDF =45°，
∴PD=PF， ∠PFE=180°-∠PFD=135°，
∴∠PDA=∠PFE，
∴△PDA≌△PFE(ASA)，
∴DA = FE.
在Rt△FDP中， ∠PFD=∠PDF =45°，
则
∵DE=DF+FE，
故答案为：
【分析】(1)证明AD∥BC，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，即可得出结论；
(2)①连接BP，可知△BDC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知PB⊥CD，则△PBD是等腰直角三角形，即可得结论；
②证明△PAD≌△PED(AAS)， 利用全等三角形性质即可得到PA=PE；
③过点P作PF⊥CD交DE于点F， 首先证明△ADP≌△EFP(ASA)， 得AD= EF， 进而再证明△DPF是等腰直角三角形即可得到结论.
1 / 1浙江省杭州市十三中2024-2025学年八年级下学期数学期中试卷
1．（2025八下·杭州期中）下列各式中，属于二次根式的是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：A、∵中﹣3＜0，∴不是二次根式，故A项不符合题意；
B、∵中2＞0，∴是二次根式，故B项符合题意；
C、∵是三次根号，∴不是二次根式，故C不符合题意；
D、∵中当x≤3时是二次根式，∴有可能是二次根式，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的定义解答，即（a≥0）的式子叫二次根式．
2．（2025八下·杭州期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
C、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
D、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据中心对称图形的定义旋转 后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案.
3．（2025八下·杭州期中）若关于x的一元二次方程x2+6x+c=0配方后得到方程（x+3)2=2c，则c的值是（　　）
A．-3 B．0 C．3 D．9
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
解得
故答案为：C.
【分析】把常数项c移项后，在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方得 可得 解方程即可得c的值.
4．（2025八下·杭州期中）小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是（　　）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵O是AC、BD的中点，
∴四边形ABCD是平行四边形 (对角线互相平分的四边形是平行四边形)；
故答案为：A.
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出结论.
5．（2025八下·杭州期中） 在用求根公式 求一元二次方程的根时，小南正确地代入了a，b，c 得到 ，则他求解的一元二次方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意
故答案为：A.
【分析】得出a，b，c的值即可解题.
6．（2025八下·杭州期中）某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售，经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利8450元，设每件降低x元，则可列方程为（　　）
A．(60-x)(200+8x)=8450 B．(20-x)(200+x)=8450
C．(40-x)(200+8x)= 8450 D．(20-x)(200+8x)=8450
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：当每件降低x元时，每件的销售利润为 元，平均每周可售出 件，
根据题意得：
故答案为：D.
【分析】当每件降低x元时，每件的销售利润为 元，平均每周可售出 件，利用每周销售该款T恤获得的总利润=每件的销售利润×每周的销售量，可得出关于x的一元二次方程，此题得解.
7．（2025八下·杭州期中）一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的边数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意，得
解得：
则这个多边形的边数是7，
故答案为：C.
【分析】根据n边形的内角和为 外角和为360°列方程解题即可.
8．（2025八下·杭州期中）关于x的方程x2+2(m-1)x+m2-m=0有两个实数根a，β，且α2+β2=12，m的值为（　　）
A．-1 B．-4 C．-4或1 D．-1或4
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的方程 有两个实数根α，β，
则，
解得
又∵， ，
∴
即
则 或 (舍去)。
故答案为：A.
【分析】根据方程根的情况得到，求出m的取值范围，再根据根与系数的关系得到， ，整体代入求出m的值即可解题.
9．（2025八下·杭州期中） 已知方程(x+a)(x+b)=0有M个解，方程(ax+1)(bx+1)=0有N个解，其中a≠b，则（　　）
A．M=N-1或M=N+1 B．M=N-1或M=N+2
C．M=N+1 D．M=N-1
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：(x+a)(x+b)=0，
可得x+a=0或x+b=0，即x=-a或x =-b，
∵a≠b，
∴M=2，
当a=0， b≠0时， 方程变为bx+1=0.1解得 此时N=1，
当a≠0， b=0时， 方程变为 ax+1=0， 解得 此时N=1，
当a≠0， b≠0时， 方程变为 ax+1=0或bx+1=0，解得 或 此时N=2，
∴当a=0或b=0时， M =2， N =1，
M = N+1； 当a≠0且b≠0时， M =2， N =2， M = N.
∴M=N或M =N+1.
故答案为：C.
【分析】对于方程(x+a)(x+b)=0， 根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的原理，可直接求解，方程((ax+1)(bx+1)=0， 同样依据上述原理求解， 但需要分a=0， b=0以及a≠0且b≠0等不同情况讨论，再确定两个方程解的个数M和N之间的关系.
10．（2025八下·杭州期中）如图，在□ABCD中，AB=6，BC=4，∠ABC=60°，点E是AB上的一点，点F是边CD上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠，使得点A与点C重合，得到四边形EFGC，点D的对应点为点G，则FG的长度为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图， 作CK⊥AB于K， 过E点作EP⊥BC于P，
∵∠ABC=60°， BC =4， ∠BCK=30°，
∵C到AB的距离和E到CD的距离都是平行线AB、CD间的距离，
∴点E到CD的距离是
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC， ∠D=∠ABC， ∠A=∠BCD，由折叠可知： AD =CG， ∠D =∠G，∠A=∠ECG，
∴BC=GC， ∠ABC=∠G， ∠BCD=∠ECG，
∴∠BCE=∠GCF，
在△BCE和△GCF中，
∴△BCE≌△GCF(ASA)，
∴CE=CF，
∵∠ABC =60°， ∠EPB=90°，
∴∠BEP=30°，
∴BE=2BP，
设BP=m， 则BE=2m，
由折叠可知： AE=CE，
∵AB=6，
∴AE=CE=6-2m，
∵BC=4，
∴PC=4-m，
在Rt△ECP中，由勾股定理得：
解得
，
故答案为：B.
【分析】如图，作于K，过E点作 于P.可得可得点E到CD的距离是 证明 可得 设 则 由勾股定理得求出m， 然后根据线段的和差求解即可.
11．（2025八下·杭州期中）要使式子有意义，则x的取值范围是　 　.
【答案】x≥7
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴x-7≥0，
∴x≥7，
故答案为：x≥7.
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可.
12．（2025八下·杭州期中）在某次数学测验中，随机抽取了6份试卷，其成绩如下85，88，85，79，77，81.则这组数据的众数与中位数分别为　 　，　 　.
【答案】85；83
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：这组数据从小到大排列为： 77， 79， 81， 85， 85，85，
则这组数据的众数为85，中位数为：
故答案为： 85， 83.
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据.
13．（2025八下·杭州期中）已知一道斜坡的坡比为1：，坡长为26米，那么坡高为　 　米
【答案】13
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：设斜坡的坡角为α，
∵斜坡的坡比为
∵坡长为26米，
∴坡高为： (米)，
故答案为： 13.
【分析】根据坡度与坡角的关系求出坡角，再根据含 角的直角三角形的性质计算即可.
14．（2025八下·杭州期中）如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，AB=10，AC=6，过点O作OE⊥BD交CD于点E，连结BE，则∠BEC的周长是　 　.
【答案】18
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AC⊥CB，
∴∠ACB=90°，
∵四边形ABC都是平行四边形，
∴OB =OD， CD= AB=10，
∵EO⊥DB，
∴ED=EB，
∴△BEC的周长=EB+EC+BC=DE+EC+BC=CD+CB=10+8=18，
故答案为： 18.
【分析】利用勾股定理求出BC，再证明EB=ED，推出△BEC的周长=CD+CB即可.
15．（2025八下·杭州期中）若α，β是方程x2+2x-2025=0的两个实数根，则代数式2α2+6α+2β+5的值为　 　.
【答案】4051
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：根据题意得：
∵α， β是方程 的两个实数根，
故答案为： 4051.
【分析】根据α，β是方程 的两个实数根，得出 ， 据此求解即可.
16．（2025八下·杭州期中）如图，已知在 ABCD中，3AB=2BC，点O是∠BAD和∠CBA的角平分线的交点，过点O作EF//AB，分别交AD、BC于E、F两点，连接OD、OC.则下列结论正确的有　 　.
①AO⊥BO；②点O是EF的中点；
③；④
【答案】①②④
【知识点】平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD， AB=CD， AD= BC，
∴∠BAD+∠ABC =180°，
∵点O是∠BAD和∠CBA的角平分线的交点，
180°= 90°
∴∠AOB=90°，
∴AO⊥BO， 所以①正确；
∵EF∥AB，
∴∠BAO=∠AOE， ∠ABO =∠BOF，
∵∠OAB =∠OAE， ∠OBA=∠OBF，
∴∠OAE =∠AOE， ∠OBF =∠BOF，
∴AE=OE， BF=OF，
∵AE∥BF，AB∥EF，
∴四边形ABFE为平行四边形，
∴AE=BF，
∴OE=OF， 即O点为EF的中点， 所以②正确；
∵3AB=2BC，
∴设AB=2x， BC=3x，
∴EF =2x， AD=3x，
∴AD=3AE，
∴C平行四边形ABFE=2x+2×2x=6x
∴C平行四边形ABCD =2×2x+2×3x= 10x，所以③不正确；
∵OE=OF，
所以④正确.
故答案为：①②④.
【分析】利用平行四边形的性质得到AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，AD=BC，利用平行线的性质和角平分线的定义计算出∠OAB+∠OBA=90°，则∠AOB=90°，于是可对①进行判断；利用平行线的性质证明∠EAO=∠AOE，∠OBF=∠BOF得到AE=OE， BF=OF，再证明四边形ABFE为平行四边形得到AE=BF，所以OE =OF，则可对②进行判断；设AB=2x， BC=3x， 则EF=2x， AD=3x，EA=OE=x， AD=3x， 则可对③进行判断；证明 可对④进行判断.
17．（2025八下·杭州期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)先根据完全平方公式计算，然后合并同类二次根式即可；
(2)先根据二次根式的乘法法则和二次根式的性质计算，然后进行有理数的减法运算.
18．（2025八下·杭州期中）解下列方程：
（1） x2-2x-10=5
（2）(x-2)2 =4-2x
【答案】（1）解：，
则 或
所以
（2）解：
则 或
所以
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可.
19．（2025八下·杭州期中）为了解某校八年级学生的体质健康状况，对八年级某班43名学生进行了体质抽测（满分10分，最低5分），并按照性别把成绩整理成如下图、表：
八年级某班体质抽测成绩分析表
平均数 中位数 众数 方差
男生 7.48 7 b 1.99
女生 a 7.5 7 1.74
（1）根据以上信息直接写出a=　 　，b=　 　；
（2）该班男生和女生谁的成绩更稳定？请说明理由；
（3）若该校八年级一共有430人，则估计得分在8分及8分以上的人数共有多少人？
【答案】（1）7.6；7
（2）解：女生的成绩更稳定，
理由：该班男生成绩的方差大于女生成绩的方差，所以该班女生的成绩更稳定；
（3）解：由条形统计图可得，八年级某班男生人数为2+4+6+5+4+2=23(人)，
∴八年级某班女生人数为4 (人)，
∴八年级某班得分在8分及8分以上的人数为 人，
(人)，
答：该校八年级估计得分在8分及8分以上的人数共有210人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；分析数据的波动程度；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】(1)由条形统计图可得，男生体质检测成绩7分的最多，
∴众数
由扇形统计图可得，
故答案为： 7.6， 7；
【分析】(1)根据条形统计图和扇形统计图、众数、加权平均数的定义即可求解；
(2)根据方差判断即可；
(3)求出男生和女生人数，进而求出占比，再乘以430即可求解.
20．（2025八下·杭州期中）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（-3，2)，B（0，4)，C（0，2) ．
（1）画出△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C，此时点A1坐标为 ▲ .
（2）以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，此时点D坐标为　 　.
【答案】（1）解：如图， 即为所求.
由图可得， 点. 坐标为(3，2).
故答案为： (3，2).
（2）或或(3，4)
【知识点】平行四边形的性质；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【解答】解：（2）如图， 点均满足题意，∴此时点D坐标为或或(3，4).
故答案为：或或(3，4).
【分析】(1)根据中心对称的性质作图即可；
(2)根据平行四边形的判定确定点D的位置，即可得出答案.
21．（2025八下·杭州期中）如图，在□ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于F.
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；
（2）若AF平分∠BAD，∠D=60°，AD=12，求□ABCD的面积.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD， AB=CD，
∴∠ABE=∠FCE，
∵点E是BC边的中点，
∴BE=CE，
在△ABE和△FCE中，
∴△ABE≌△FCE(ASA)，
∴AB=CF，
又∵AB∥CF，
∴四边形ABFC是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC =∠D=60°， BC =AD=12，AD∥BC，
∴∠BEA=∠DAE，
∵AF平分∠BAD，
，
是等边三角形，
平行四边形的面积
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质得. 再证 得 即可得出结论；
(2)由平行四边形的性质得 再证是等边三角形， 得 ，然后证 则 即可解决问题.
22．（2025八下·杭州期中）已知关于x的一元二次方程.
（1）证明：该方程一定有两个不相等的实数根，
（2）已知该方程的两根分别是一个直角三角形的两条直角边的长度，当这个直角三角形的斜边长为时，求m的值.
【答案】（1）证明：由题意可知： ，
∴不论实数m取何值，该方程一定有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程的两个根为a，b，
由题意可得：
解得： 或
当 时， ，不合题意，舍去.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1)求出根的判别式的符号即可得出结论；
(2)根据一元二次方程根与系数的关系，以及勾股定理进行求解即可.
23．（2025八下·杭州期中）
背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送。
素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元.
素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办进行销售，已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元.
问题解决
任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率，
任务2 根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能多的减少库存，求下调后每个手办的售价.
任务3 根据素材2，平均每天能否获利2100元？若能，请求出每个手办应降价多少元；若不能，请说明理由.
【答案】解：任务1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x，
由题意得：
解得：
(不符合题意，舍去)，
答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为20%；
任务2：设降价m元，则下调后每个手办的售价为
元，销售量为( 个，
由题意得：
整理得：
解得： (不符合题意，舍去)，
答：下调后每个手办的售价为50元；
任务3：平均每天不能获利2100元，理由如下：
设每个手办应降价y元，则下调后每个手办的售价为 )元，销售量为 个，
由题意得：
整理得：
∴原方程无实数根，
∴平均每天不能获利2100元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x，根据某影院正月初一的票房收入费用为6万元，正月初三的票房收入达到8.64万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；：
任务2：设降价m元，则下调后每个手办的售价为 元，销售量为 个，根据该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
任务3：设每个手办应降价y元，则下调后每个手办的售价为元，销售量为 个，根据平均每天能否获利2100元，列出一元二次方程，然后由根的判别式即可得出结论.
24．（2025八下·杭州期中）在一次数学探究活动中，小明用一根木棒把四边形ABCD分割成2个部分（如图1)，经测量发现，AD=BD，∠BAD=∠C=∠CDB=45°.
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若点P为线段CD上的动点（点P不与点D重合），连接AP，过点P作EP⊥AP交直线BD于点E，如图2，当点P为线段CD的中点时：
①连接PB，请写出PB与CD之间的数量关系并说明理由；
②请写出PA，PE之间的数量关系并说明理由：
③如图3，当点P在线段CD上时，请直接写出DE，DP，DA之间的数量关系 ▲ .
【答案】（1）证明： ∵AD=BD， ∠BAD=45°，
∴∠BAD =∠ABD=45°，
∴∠ADB=90°，
∵∠C =∠CDB=45°，
∴BD = BC， ∠CBD=90°，
∵AD =BD， ∠ADB=90°，
∴AD=BC， ∠CBD=∠ADB，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解： 理由如下：
由 (1)知△BDC是等腰直角三角形，
当点P为线段CD的中点时，则
∴ PB⊥CD， 则△PBD是等腰直角三角形，
②PA=PE， 理由如下： 由上可知△PBD是等腰直角三角形，
∴BP=PD，
∴∠PBE = 180°-∠PBD = 135°，
∵∠ABD=∠CDB=45°，
∴AB∥CD，
∴∠ADC=180°-∠BAD=180°-45°=135°，
∴∠ADC=∠PBE，
∵∠PAD+∠DOA=∠PEB+∠POE=90°，∠DOA=∠POE，
∴∠PAD=∠PEB，
∴△PAD≌△PEB(AAS)，
∴PA=PE；
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】（2） 理由如下：
过点P作PF⊥CD交DE于点F， 如图所示：
∵PF⊥CD， EP⊥AP，
∴∠DPF=∠APE=90°，
∴∠DPF-∠APF=∠APE-∠APF，
∴∠DPA=∠FPE，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∠BAD =45°，
∴AB∥CD，
∴∠PDA =180°-∠BAD = 135°，
∵∠DPF =90°， ∠CDB=45°，
∴∠PFD =∠PDF =45°，
∴PD=PF， ∠PFE=180°-∠PFD=135°，
∴∠PDA=∠PFE，
∴△PDA≌△PFE(ASA)，
∴DA = FE.
在Rt△FDP中， ∠PFD=∠PDF =45°，
则
∵DE=DF+FE，
故答案为：
【分析】(1)证明AD∥BC，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，即可得出结论；
(2)①连接BP，可知△BDC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知PB⊥CD，则△PBD是等腰直角三角形，即可得结论；
②证明△PAD≌△PED(AAS)， 利用全等三角形性质即可得到PA=PE；
③过点P作PF⊥CD交DE于点F， 首先证明△ADP≌△EFP(ASA)， 得AD= EF， 进而再证明△DPF是等腰直角三角形即可得到结论.
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