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第十七章 综合素质评价
一、选择题（每题3分，共36分）
1．用反证法证明命题“若，，则”时，第一步应假设（ ）
A. 不平行于 B. 平行于 C. 不垂直于 D. 不垂直于
2．母题 教材P163习题T3 如图，在中，，是的中点， ,则的度数为（ ）
（第2题）
A. B. C. D.
3．如图，在中， ， ,于点,则的度数是（ ）
（第3题）
A. B. C. D.
4．如图①是第七届国际数学教育大会的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图②所示的四边形.若，， ，则的长为（ ）
（第4题）
A. B. C. D. 1
5．如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口同时出发，1号舰沿东偏南 方向以9节（1节 海里/小时）的速度航行，2号舰沿南偏西 方向以12节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达，两点，此时两舰的距离是（ ）
（第5题）
A. 9海里 B. 12海里 C. 15海里 D. 30海里
6．如图，在与中，已知 ，添加一个条件，不能使的是（ ）
（第6题）
A. B.
C. D.
7．如图，是等边三角形的中线，点在上，，则等于（ ）
（第7题）
A. B. C. D.
8．[［2025沧州期末］]如图，在中，点在边上，且，下列判断正确的是（ ）
（第8题）
①若，的周长为43，则；②若 ，则图中共有2个等腰三角形
A. 只有①正确 B. 只有②正确
C. ①②都正确 D. ①②都不正确
9．如图，在中，，， ，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（ ）
（第9题）
A. B. C. 4 D. 5
10．我们称网格线的交点为格点.如图，在6行列的长方形网格中有两个格点，，连接，在网格中再找一个格点，使得是等腰直角三角形，则符合条件的格点的个数是（ ）
（第10题）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
11．如图，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一高线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为（ ）
（第11题）
A. B. C. D.
12．如图，和都是等边三角形，且点，，在一条直线上，连接，相交于点，与，分别交于点，.连接，.下列说法： ；是等边三角形；平分；；，其中正确的有（ ）
（第12题）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填空题（每题3分，共12分）
13．如图，若，则的度数为_ _ _ _ _ _ .
（第13题）
14．若，为等腰三角形的两边，且满足，则三角形的周长为.
15．[［2025上海黄浦区期末］]将两块斜边长等于2的三角板与的斜边完全叠合，按如图所示摆放，为的中点，连接，，,那么的面积等于_ _ _ _ _ _ .
（第15题）
16．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为，，，其中，，是互质的奇数.
（1） 任意写出满足条件的一组勾股数：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 某三角形的三边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且，则该直角三角形的面积为_ _ .
三、解答题（共72分）
17．（8分）如图，已知线段.用两种不同的方法作，使得 ，且.要求：（1）尺规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明.
18．（8分）如图，在中，，是两条高，若 ， ，求与的度数．
19．（8分）如图，在中，，是的中线，于点，用反证法证明：点与点不重合.
20．（8分）如图,在铁路同侧有两个村庄，，它们到铁路的距离分别是和，作，，垂足分别为，，且.已知铁路旁有一个农副产品收购站，且，求的长.
21．[［2025承德期末］]（12分）如图，已知是的角平分线，,分别是和的高.
（1） 请你判断与的位置关系，并说明理由；
（2） 若，，求的长.
04分）如图，是边长为6的等边三角形，是边上一动点.由点向点运动与点，不重合，是延长线上一动点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动（点 不与点 重合），过点作于点，连接交于点.
（1） 若设的长为，则_ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ .
（2） 当 时，求的长.
（3） 在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不发生变化，直接写出线段的长；如果发生变化，请说明理由.
23．（14分）如图①，在等腰直角三角形中， ，平分，与相交于点，延长到，使，连接.
（1） 求证：;
（2） 延长交于点，且，求证：;
（3） 在（2）的条件下，若是边的中点，连接，与相交于点，如图②. 试探索，,之间的数量关系，并证明你的结论.
第十七章 综合素质评价
一、选择题（每题3分，共36分）
1．用反证法证明命题“若，，则”时，第一步应假设（ ）
A. 不平行于 B. 平行于 C. 不垂直于 D. 不垂直于
【答案】A
2．母题 教材P163习题T3 如图，在中，，是的中点， ,则的度数为（ ）
（第2题）
A. B. C. D.
【答案】C
3．如图，在中， ， ,于点,则的度数是（ ）
（第3题）
A. B. C. D.
【答案】D
4．如图①是第七届国际数学教育大会的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图②所示的四边形.若，， ，则的长为（ ）
（第4题）
A. B. C. D. 1
【答案】A
5．如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口同时出发，1号舰沿东偏南 方向以9节（1节 海里/小时）的速度航行，2号舰沿南偏西 方向以12节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达，两点，此时两舰的距离是（ ）
（第5题）
A. 9海里 B. 12海里 C. 15海里 D. 30海里
【答案】D
6．如图，在与中，已知 ，添加一个条件，不能使的是（ ）
（第6题）
A. B.
C. D.
【答案】D
7．如图，是等边三角形的中线，点在上，，则等于（ ）
（第7题）
A. B. C. D.
【答案】A
【点拨】为等边三角形， .是等边三角形的中线， ， .， . .
8．[［2025沧州期末］]如图，在中，点在边上，且，下列判断正确的是（ ）
（第8题）
①若，的周长为43，则；②若 ，则图中共有2个等腰三角形
A. 只有①正确 B. 只有②正确
C. ①②都正确 D. ①②都不正确
【答案】A
【点拨】，，，，的周长，，故①正确； ，， . . 易知图中共有3个等腰三角形，故②错误.
9．如图，在中，，， ，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（ ）
（第9题）
A. B. C. 4 D. 5
【答案】C
【点拨】设，由折叠可得.因为是的中点，所以.在中，由勾股定理得，解得,即的长为4.
10．我们称网格线的交点为格点.如图，在6行列的长方形网格中有两个格点，，连接，在网格中再找一个格点，使得是等腰直角三角形，则符合条件的格点的个数是（ ）
（第10题）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【点拨】如图，分情况讨论：为底边时，符合条件的格点有2个；为其中的一条腰时，符合条件的格点有3个.故符合条件的格点有5个.
11．如图，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一高线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为（ ）
（第11题）
A. B. C. D.
【答案】A
12．如图，和都是等边三角形，且点，，在一条直线上，连接，相交于点，与，分别交于点，.连接，.下列说法： ；是等边三角形；平分；；，其中正确的有（ ）
（第12题）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】C
【点拨】和都是等边三角形，，， ，，即.在和中，，， ，故①正确； , .，， ，，，是等边三角形，故②④正确；
③如图①，过点作于点，于点， .，，，.又，，平分，故③正确；⑤如图②，过点作，交于，由③知平分， .，，，，，，，是等边三角形，，，，故⑤不正确.综上，正确的有①②③④，共4个.
二、填空题（每题3分，共12分）
13．如图，若，则的度数为_ _ _ _ _ _ .
（第13题）
【答案】
14．若，为等腰三角形的两边，且满足，则三角形的周长为.
【答案】20
15．[［2025上海黄浦区期末］]将两块斜边长等于2的三角板与的斜边完全叠合，按如图所示摆放，为的中点，连接，，,那么的面积等于_ _ _ _ _ _ .
（第15题）
【答案】
16．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为，，，其中，，是互质的奇数.
（1） 任意写出满足条件的一组勾股数：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 某三角形的三边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且，则该直角三角形的面积为_ _ .
【答案】（1） 8,15,17（答案不唯一）
（2） 210
【解析】
（2） 【点拨】，,, 直角三角形的一边长为37， 分三种情况讨论：①当，即时，解得（不合题意，舍去）；②当，即时，（不合题意，舍去）；③当，即时，解得，，是互质的奇数，.当时，， 该直角三角形的三条边长分别为12,35,37， 面积为.
三、解答题（共72分）
17．（8分）如图，已知线段.用两种不同的方法作，使得 ，且.要求：（1）尺规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明.
【解】如图，即为所求.
方法一：作线段的垂直平分线，垂足为，在射线上取，使得，最后连接,即可得所求的.
方法二：分别以点,为垂足作⊥，，再作和的平分线交于点，即可得所求的
18．（8分）如图，在中，，是两条高，若 ， ，求与的度数．
【解】，是两条高，
.
, ， .
又 ， .
．
19．（8分）如图，在中，，是的中线，于点，用反证法证明：点与点不重合.
【证明】假设点与点重合.
是的中线，，
垂直平分.
，这与相矛盾.
点与点不重合.
20．（8分）如图,在铁路同侧有两个村庄，，它们到铁路的距离分别是和，作，，垂足分别为，，且.已知铁路旁有一个农副产品收购站，且，求的长.
【解】在中，根据勾股定理，得.在中，根据勾股定理，得，，即.设，则，解得.
21．[［2025承德期末］]（12分）如图，已知是的角平分线，,分别是和的高.
（1） 请你判断与的位置关系，并说明理由；
（2） 若，，求的长.
【答案】
（1） 【解】垂直平分.理由如下：
是的角平分线，，分别是和的高，.
在和中，
.
，垂直平分.
（2） ，.
，.
22．[［2025邯郸期末］]（14分）如图，是边长为6的等边三角形，是边上一动点.由点向点运动与点，不重合，是延长线上一动点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动（点 不与点 重合），过点作于点，连接交于点.
（1） 若设的长为，则_ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ .
（2） 当 时，求的长.
（3） 在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不发生变化，直接写出线段的长；如果发生变化，请说明理由.
【答案】（1） ；
（2） 【解】过点作交于点，则是等边三角形，，,同时出发且速度相同，，.
又，,.易知 ,.
（3） 在运动过程中，线段的长不发生变化.的长为3.
23．（14分）如图①，在等腰直角三角形中， ，平分，与相交于点，延长到，使，连接.
（1） 求证：;
（2） 延长交于点，且，求证：;
（3） 在（2）的条件下，若是边的中点，连接，与相交于点，如图②. 试探索，,之间的数量关系，并证明你的结论.
【答案】
（1） 【证明】是等腰直角三角形，且 ,, .
在和中，
.
（2） 【证明】， .
平分，.
又，,
.
由（1）知，
，.
（3） 【解】.证明如下：连接,
是边的中点，，
垂直平分,.
, 在中，，
.
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