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第十五章 综合素质评价
一、选择题（每题3分，共36分）
1．在式子，，，，，，中，二次根式有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2．[［2025保定月考］]若代数式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3．下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4．母题 教材P118复习题T8 若是整数，则正整数的最小值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5．已知，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6．已知,,为的三边长，且,则,,的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
7．已知，，则与的关系为（ ）
A. B. C. D.
8．实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
（第8题）
A. B. C. D. 0
9．当时，代数式的值是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
10．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个小正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（ ）
（第10题）
A. 6 B. 8 C. D.
11．对于任意的正数,，定义运算“”：计算的结果为（ ）
A. B. 2 C. D. 20
12．[［2025沧州期末］]已知，，关于下列两个说法，判断正确的是（ ）
①若有意义，则；②设，当时，.
A. 只有①正确 B. 只有②正确
C. ①②都正确 D. ①②都不正确
二、填空题（每题3分，共12分）
13．写出一个最简二次根式，使它与可以进行合并，这个二次根式可以是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
14．比较大小：_ _ （填“ ”“ ”或“”）.
15．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边，，求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂,减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂,减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方,得积.”若把以上这段文字写成公式，即为.现有周长为18的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为_ _ _ _ _ _ .
16．已知实数，满足，则的值为_ _ _ _ .
三、解答题（共72分）
17．（8分）计算下列各式.
（1） ；
（2） .
18．（10分）
（1） 先化简，再求值：,其中,.
（2） 已知,，求的值.
19．（8分）已知,,是的三边长，化简.
20．（10分）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成二次根式的运算.规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简.过程如图所示：
（1） 接力中，自己负责的一步出现错误的是_ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 请给出正确的求解过程.
21．（12分）石家庄市2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了市民绿化感受度和获得感.在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，长为，宽为，现要在其上修建两块形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为，宽为.
（1） 求长方形空闲地块的周长.
（2） 除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为25元/的地砖，要铺满整个通道，则购买地砖需要花费多少元
22．（12分）观察下列算式：
，
，
.
请你根据上面三个等式提供的信息，解决下列问题.
（1） _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 请你按照上面每个等式反映的规律，写出用为正整数表示的等式：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（3） 利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）.
23．（12分）阅读与思考:配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有，.用配方思想方法，解答下面问题：
（1） 已知，求的值；
（2） 已知，，求的值；
（3） 已知，，求的值.
第十五章 综合素质评价
一、选择题（每题3分，共36分）
1．在式子，，，，，，中，二次根式有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】B
2．[［2025保定月考］]若代数式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
3．下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
4．母题 教材P118复习题T8 若是整数，则正整数的最小值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
5．已知，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
6．已知,,为的三边长，且,则,,的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
7．已知，，则与的关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
8．实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
（第8题）
A. B. C. D. 0
【答案】B
9．当时，代数式的值是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】D
10．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个小正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（ ）
（第10题）
A. 6 B. 8 C. D.
【答案】D
【点拨】 三个小正方形的面积分别为18，12，2， 三个小正方形的边长分别为，，. 大正方形的边长为..故选.
11．对于任意的正数,，定义运算“”：计算的结果为（ ）
A. B. 2 C. D. 20
【答案】B
【点拨】,.,.
12．[［2025沧州期末］]已知，，关于下列两个说法，判断正确的是（ ）
①若有意义，则；②设，当时，.
A. 只有①正确 B. 只有②正确
C. ①②都正确 D. ①②都不正确
【答案】A
【点拨】有意义，，故①正确；.当时，，故②错误.故选.
二、填空题（每题3分，共12分）
13．写出一个最简二次根式，使它与可以进行合并，这个二次根式可以是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（答案不唯一）
14．比较大小：_ _ （填“ ”“ ”或“”）.
【答案】
15．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边，，求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂,减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂,减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方,得积.”若把以上这段文字写成公式，即为.现有周长为18的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【点拨】 周长为18的三角形的三边满足， 设,则,，解得,,.
.
16．已知实数，满足，则的值为_ _ _ _ .
【答案】4 050
【点拨】，，， ①，，，得，，，,，.
三、解答题（共72分）
17．（8分）计算下列各式.
（1） ；
（2） .
【答案】（1） 【解】原式.
（2） 原式.
18．（10分）
（1） 先化简，再求值：,其中,.
（2） 已知,，求的值.
【答案】（1） 【解】原式,当,时，原式.
（2） 由题意知，，所以原式.
19．（8分）已知,,是的三边长，化简.
【解】,,是的三边长，
,,,
原式
20．（10分）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成二次根式的运算.规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简.过程如图所示：
（1） 接力中，自己负责的一步出现错误的是_ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 请给出正确的求解过程.
【答案】（1） 甲、乙、丁
（2） 【解】.
21．（12分）石家庄市2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了市民绿化感受度和获得感.在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，长为，宽为，现要在其上修建两块形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为，宽为.
（1） 求长方形空闲地块的周长.
（2） 除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为25元/的地砖，要铺满整个通道，则购买地砖需要花费多少元
【答案】
（1） 【解】，
长方形空闲地块的周长为.
（2） 通道的面积为，
购买地砖需要花费（元）.
22．（12分）观察下列算式：
，
，
.
请你根据上面三个等式提供的信息，解决下列问题.
（1） _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 请你按照上面每个等式反映的规律，写出用为正整数表示的等式：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（3） 利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）.
【答案】（1）
（2）
（3） 【解】.
23．（12分）阅读与思考:配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有，.用配方思想方法，解答下面问题：
（1） 已知，求的值；
（2） 已知，，求的值；
（3） 已知，，求的值.
【答案】（1） 【解】由条件可知.
（2） ，
，
，
，
原式.
（3） ，，
.
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