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第十二章 综合素质评价
一、选择题（每题3分，共36分）
1．[［2025邢台校级开学］]在式子，，，，，，中，分式的个数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2．母题教材P4练习T1 下列各式中，不论取何值,分式都有意义的是（ ）
A. B. C. D.
3．[［2025沧州期末］]下列分式中，为最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
4．母题教材P14例1 化简（ ）
A. B. C. D.
5．[［2024泸州］]分式方程的解是（ ）
A. B. C. D.
6．若，则代数式的值为（ ）
A. B. C. 2 D.
7．若沿河两地相距，船在静水中的速度为，水流的速度为，则船在两地之间往返一次所需的时间是（ ）
A. B.
C. D.
8．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间.设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ）
A. B.
C. D.
9．若关于的方程无解，则的取值为（ ）
A. B. 1 C. D.
10．下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程 的根为；③方程 的最简公分母为.其中正确的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
11．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且 D. 且
12．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为整数，则满足条件的整数的值为（ ）
A. 2或3 B. 2或7 C. 3 或4或7 D. 2 或3或7
二、填空题（每题3分，共12分）
13．已知分式的值为正数，写出一个符合条件的的正整数值：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
14．化简的结果为_ _ _ _ _ _ _ _ .
15．2024年12月4日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”成功列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.为了迎接2025年春节的到来，盼盼家里开始准备年货，购买了,两种糖果，其中类糖果的价格比类糖果的价格每千克多2元，花100元购买类糖果的质量与花90元购买类糖果的质量相同，则类糖果的价格为元/千克.
16．有依次排列的不为零的代数式，，且，，， ，依次类推，若，请用含为正整数的式子表示_ _ _ _ _ _ _ _ .
三、解答题（共72分）
17．（8分）计算：
（1） ;
（2） .
18．（8分）解方程：
（1） ；
（2） .
19．[［2025石家庄藁城区期末］]（8分）先化简：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值.
20．（10分） 嘉嘉和琪琪在争论这样一个问题：
嘉嘉说：“分式比多1时，的值是1.”
琪琪说：“分式比多1的情况根本不存在.”
你同意谁的观点呢？请说明理由.
21．（12分）博物院是一座城市重要的公共文化窗口.十一假期，某学习小组计划到河北省博物院参观学习，该小组原计划花360元请讲解人员进行解说，后来临时增加3名同学，总讲解费增加了60元，但人均费用变为原来的.
（1） 求该学习小组的实际参观人数；
（2） 参观结束后，同学们到文创店购买“长信宫灯”和“错金铜博山炉”纪念卡，已知每套“长信宫灯”和“错金铜博山炉”的单价分别为10元和8元，若该小组每名参观的同学都购买了一套纪念卡，且该小组购买纪念卡的总费用不超过140元，求最多购买了多少套“长信宫灯”纪念卡.
22．（12分） 阅读下面的材料：
因为,,, ,,
所以.
根据上面的方法,解方程:.
23．（14分）定义：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整数值”.例如，，，，则与互为“和整分式”，“和整数值”.
（1） 已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”；若不是，请说明理由；
（2） 已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整数值”.
① 求所代表的代数式；
② 若分式的值为正整数，求正整数的值.
第十二章 综合素质评价
一、选择题（每题3分，共36分）
1．[［2025邢台校级开学］]在式子，，，，，，中，分式的个数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
2．母题教材P4练习T1 下列各式中，不论取何值,分式都有意义的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
3．[［2025沧州期末］]下列分式中，为最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
4．母题教材P14例1 化简（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
5．[［2024泸州］]分式方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
6．若，则代数式的值为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】D
7．若沿河两地相距，船在静水中的速度为，水流的速度为，则船在两地之间往返一次所需的时间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
8．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间.设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
9．若关于的方程无解，则的取值为（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】D
10．下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程 的根为；③方程 的最简公分母为.其中正确的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】A
【点拨】①解分式方程不一定会产生增根，故错误；②当时，分母为0，所以是增根，故错误；③该方程的最简公分母为，故错误，故正确的个数是0.
11．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且 D. 且
【答案】C
【点拨】解分式方程可得.因为关于的分式方程的解是非负数，所以且.所以解得且.
12．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为整数，则满足条件的整数的值为（ ）
A. 2或3 B. 2或7 C. 3 或4或7 D. 2 或3或7
【答案】D
【点拨】由不等式组得 不等式组无解，.解分式方程，得. 方程有整数解，或或或，,或或或或或或.又，或或，故选.
二、填空题（每题3分，共12分）
13．已知分式的值为正数，写出一个符合条件的的正整数值：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】4（答案不唯一）
14．化简的结果为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
15．2024年12月4日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”成功列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.为了迎接2025年春节的到来，盼盼家里开始准备年货，购买了,两种糖果，其中类糖果的价格比类糖果的价格每千克多2元，花100元购买类糖果的质量与花90元购买类糖果的质量相同，则类糖果的价格为元/千克.
【答案】20
【点拨】设类糖果的价格为元/千克，则类糖果的价格为元/千克. 花100元购买类糖果的质量与花90元购买类糖果的质量相同，，解得，经检验，是方程的解，类糖果的价格为（元/千克）.
16．有依次排列的不为零的代数式，，且，，， ，依次类推，若，请用含为正整数的式子表示_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【点拨】由题意得，，，，，，， ，.，.
三、解答题（共72分）
17．（8分）计算：
（1） ;
（2） .
【答案】（1） 【解】原式.
（2） 原式.
18．（8分）解方程：
（1） ；
（2） .
【答案】
（1） 【解】方程两边同乘，得,
解这个整式方程，得.
经检验：是原方程的解.
（2） 方程两边同乘,得,
解这个整式方程，得.
检验：当时，,
所以是增根，原方程无解.
19．[［2025石家庄藁城区期末］]（8分）先化简：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值.
【解】原式.
且且，
在的范围内可以取整数0.
当时，原式.
20．（10分） 嘉嘉和琪琪在争论这样一个问题：
嘉嘉说：“分式比多1时，的值是1.”
琪琪说：“分式比多1的情况根本不存在.”
你同意谁的观点呢？请说明理由.
【解】同意琪琪的观点.理由如下：
由分式比多1，可得.
去分母，得.解得.
经检验，是原方程的增根，
所以原方程无解，即不存在分式比多1的情况.
21．（12分）博物院是一座城市重要的公共文化窗口.十一假期，某学习小组计划到河北省博物院参观学习，该小组原计划花360元请讲解人员进行解说，后来临时增加3名同学，总讲解费增加了60元，但人均费用变为原来的.
（1） 求该学习小组的实际参观人数；
（2） 参观结束后，同学们到文创店购买“长信宫灯”和“错金铜博山炉”纪念卡，已知每套“长信宫灯”和“错金铜博山炉”的单价分别为10元和8元，若该小组每名参观的同学都购买了一套纪念卡，且该小组购买纪念卡的总费用不超过140元，求最多购买了多少套“长信宫灯”纪念卡.
【答案】
（1） 【解】设该学习小组的实际参观人数为人，
根据题意,得，解得，
经检验，是所列方程的解，且符合题意.
答：该学习小组的实际参观人数为15人.
（2） 设购买了套“长信宫灯”纪念卡，则购买了套“错金铜博山炉”纪念卡，根据题意,得
，解得，
的最大值为10.
答：最多购买了10套“长信宫灯”纪念卡.
22．（12分） 阅读下面的材料：
因为,,, ,,
所以.
根据上面的方法,解方程:.
【解】将分式方程变形为.
整理,得.
方程两边同乘，得,
解得.
经检验，是原方程的解.
23．（14分）定义：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整数值”.例如，，，，则与互为“和整分式”，“和整数值”.
（1） 已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”；若不是，请说明理由；
（2） 已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整数值”.
① 求所代表的代数式；
② 若分式的值为正整数，求正整数的值.
【答案】
（1） 【解】是.，
与互为“和整分式”，“和整数值”.
（2） ① 与互为“和整分式”，且“和整数值”，，.
.
② ，且分式的值为正整数，
或，解得或（舍去）.
正整数的值为1.
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