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人教版高中数学必修一2.2基本不等式同步练习
一、单选题
1．当取得最小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为（单位：米/秒）时的跳跃高度（单位：米）满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为（ ）
A．0.25米 B．0.5米 C．0.75米 D．1米
3．已知a，b，c均为不等于零的实数，且满足，，则b的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
4．某产品的产量第一年的增长率为，第二年的增长率为．设这两年的年平均增长率为，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．建造一个容积为，深为的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米180元和80元，那么水池的最低总造价为（ ）
A．1000元 B．2000元 C．2720元 D．4720元
6．若实数x，y，z满足，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，由此式可得不等式，当且仅当时等号成立．利用此不等式求解以下问题：设，则的值不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多选题
8．已知正实数x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
9．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最大值为
C．若，则的最小值为1
D．若，则的最大值为
三、填空题
10．若命题时，是假命题，则的取值范围
11．已知，且，则的最小值为
12．函数，当时取最大值1，则的值为 ．
13．若当且仅当时，取得最小值，则实数的值为 .
14．如图，为满足居民健身需求，某小区计划在一块直角三角形空地中建一个内接矩形健身广场（阴影部分），则健身广场的最大面积为 ．
四、解答题
15．利用基本不等式求下列式子的最值：
(1)若，求的最小值；
(2)已知，且，求的最大值；
(3)若，求的最大值.
16．（1）已知a，b，c，d都是正实数，证明：；
（2）已知x，y是正实数，，若恒成立，求实数m的取值范围．
17．已知．
(1)若，证明：；
(2)若，证明：；
(3)若，证明．
18．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为．
(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为元．若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．
试卷第1页，共3页
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《人教版高中数学必修一2.2基本不等式同步练习》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 A A A A B A A ACD BCD
10．
11．
12．3
13．16
14．37.5/70/2
15．(1)4
(2)
(3)
16．（1）方法1：
，
∴；
方法2：∵，，，
∴
，当且仅当时，等号成立，
故.
（2）由恒成立，知，
∵，，，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，即，
∴，解得或，
故m的取值范围为.
17．（1）要证，因为，两边同时平方，即证.
展开得，已知，所以即证，
也就是证，即证.
对于，有，已知，所以，则，
当且仅当时等号成立.
所以得证.
（2）根据二项式，将，代入可得：
整理得
因为，所以
已知，可得，即 ，当且仅当时取等号.
同时，由第一问可知（当且仅当时等号成立）.
将和代入可得：
，当且仅当时等号成立.
综上，若，得证.
（3）因为，所以，
以上三个式子相加得，
所以，当且仅当时等号成立，
因为，且，所以，
所以，所以.
18．解：（1）因为屋子的左右两侧墙的长度均为，底面积为，所以屋子的前面墙的长度为．
设甲工程队报价为y元，所以．
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以当左右两面墙的长度为时，甲工程队报价最低，为14400元．
（2）根据题意可知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以对任意的恒成立．为，当且仅当，即时，等号成立，所以．
故当时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．
答案第1页，共2页
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