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2025年九年级数学测试卷
（考试时间120分钟，试卷满分120分）
一、选择题（在每一小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题3分，共30分）
1．如图是由6个大小相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（　　）
A. B.
C. D.
2．沸点是液体沸腾时的温度，如表是几种物质在标准大气压下的沸点，则沸点最高的液体是（　　）
液体名称 液氧 液氢 液氮 液氨
沸点/℃ -183 -253 -196 -268.9
A．液氧 B．液氢 C．液氮 D．液氨
3．拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（　　）
A. B. C. D.
4．如图，在中，是对角线，当是等边三角形时，为（　　）
A.30° B． C.60° D.120°
5．下列各式运算正确的是（　　）
A.5 B．
C． D．
6．某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”“DeepSeek”“豆包”三个主题，若小红随机选择其中一个主题，则她恰好选中“DeepSeek”的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
8．在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的，如图1、图2所示．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数的系数与相应的常数项．如图1所示的算筹图表示的方程组是，类似的，图2所示的算筹图表示的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，矩形的对角线相交于点，，，若，则四边形的周长为（　　）
A.4 B.6 C.8 D.16
10．如图，直线与轴、轴分别交于点、、是线段上一点，四边形是菱形，则的长为（　　）
A.4.2 B.4.8 C.5.4 D.6
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．方程的解为___________．
12．点按照一个方向平移后，点的对应点的坐标是（3，2），则点的对应点是___________．
13．如图，已知，和相交于点，，则___________．
14．已知抛物线经过，则该抛物线与轴的另一个交点是___________．
15．如图，在矩形中，，．连接，在和上分别截取，使，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，则线段的长是___________．
三、解答题（16题10分；17-21题，每题8分；22题12分；23题13分，共75分）
16．计算：
（1）计算：
（2）计算：
17．某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种课外书．购买1本甲种书和2本乙种共需125元；购买2本甲种书和5本乙种书共需300元
（1）求甲、乙两种书的单价：
（2）学校决定购买甲、乙两种书共50本，且两种书的总费用不超过2000元，那么该校最多；以购买多少本乙种书？
18．国产动画电影《哪吒之魔童闹海》在2025年春节全球热映，以中华神话为内核的精良制作引发观影热潮，首周票房突破20亿，据2025年3月15日《人民日报》报道，影片《哪吒之魔童闹海》累计票房（含海外及预售票房）超150.19亿元，票房成绩进入全球票房榜前5！某影院为了了解本市观众对影片的喜爱程度，随机调查a名国内观众，根据统计的评分（满分10分）结果，绘制出如图的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：a的值为___________，图①中a的值为___________；
（2）求统计的这组观众对影片的喜爱程度数据的平均数：
（3）该影院单日观看影片人数达到1700人次，若这些观影的人都参加本次测试，请估计影片的喜爱程度评分为10分的人数.
19．星海广场是亚洲最大的城市广场．某店专门销售某种品牌的星海广场纪念品，成本为30元/件、每天销售件与销售单价元之间的一次函数关系如图所示，其中．
（1）求主与之间的函数表达式；
（2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
20．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图1是政府给贫困户新建的房屋，如图2是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋点的仰角为，房屋的顶层横梁交于点（点在同一水平线上）．
（1）求屋顶到横梁的距离（结果精确到）；
（2）求房屋的高（结果精确到）．
（参考数据，cos，tan）
21．如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，过点作，垂足为点，的延长线交的延长线于点
（1）求证：是的切线：
（2）若，，求的长．
22．【问题初探】
数学课上，老师提出如下问题：
如图①，AD是的中线，M是AD的中点，BM的延长线交AC于N，
求证：．
经过思考，甲、乙两名同学分别给出如下解题思路：
甲同学的思路：如图②，过点作，交于点，利用全等将与的数量关系转化为与之间的关系；
乙同学的思路：如图③，过点作的平行线交的延长线于点，利用相似将与的数量关系转化为与之间的关系．
（1）请你选择一名同学的思路，写出证明过程
（2）【类比分析】
老师发现两名同学都利用了转化思想．为了帮助同学更好地利用转化思想解决问题提出：
如图④，在中，是边上的中线，是的三等分点，交于交于，求的值
请你写出解答过程：
（3）【学以致用】
在中，．在直线上取点，使，连接，在线段上取点，连接，直线交直线于，当时，直接写出的值．
23．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如都是“纵三倍点
（1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是___________（填序号）
①；②；③
（2）已知抛物线（m，n均为常数）与直线只有一个交点，且交点是“纵三倍点”求抛物线的函数解析式
（3）若抛物线（a．b是常数，a>0）上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
九年级数学测试卷答案
（考试时间：120分钟试卷满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B A D D C C A B C B
二、填空题：（共5小题，每小题3分，共15分）
11、x=10
12、（-1，8）
13、
14、（4，0）
15、
三、解答题（16题1；17–21题，每题；22题1；23题1，共7）
16、计算：（1）原式
（2）原式
17．解：（1）设甲种书的单价是元，乙种书的单价是元，根据题意得，
解得，
答：甲种书的单价是25元，乙种书的单价是50元；
（2）设该校购买本乙种书，则购买（50-m）本甲种书，
根据题意得，
解得，，
答：该校最多可以购买30本乙种书
18．（1）50，6
（2）根据条形统计图，得（分）
统计的这组观众对影片的喜爱程度数据的平均数为9.16分.
（3）在所抽取的样本中，对影片的喜爱程度评分为1的占，
根据样本数据，估计该影院单日观看影片人数达到1700人次中，对影片的喜爱程度评分为10分的占36%，有1700×36%=612（人），
估计该影院观众对影片的喜爱程度评分为10分的人数约为612人．
19．解：（1）设与的函数表达式为，
直线经过点
解得：
与之间的函数表达式为
（2）设每天利润为元，则.
抛物线开口向下，
，
当x=50时，w最大=4000.
答：当销售单价为50元时，每天获取的利润最大，最大利润是4000元．
20.解
（1）房屋的侧面示意图，它是个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，，
．
在中，，，
答：屋顶到横梁的距离约为3.5米；
（2）如图，过作于．设米
在中，，，
在中，
米，
，解得（米）
四边形EHBG为矩形，
EH=BG=6.5米
（米）
答：房屋的高AB约为10米.
21．（1）证明：如图1，连接，
点是的中点，
是半径
是的切线
（2）
为等边三角形
，
BC的长为
22．（1）证明：利用甲同学的证明思路过点作交于，如图
是的中点
是的中点，
是的中位线
（2）连接，如图
是的三等分点
为的中位线
设，则
（3）或
23．（1）①③
（2）抛物线均为常数）与直线只有一个交点，
关于的方程有两个相等的实数根．即，
抛物线与直线的交点是“纵三倍点”，
由，解得
该“纵三倍点”的坐标为（2，6）．
将（2，6）代入，
得，
，
解得，
抛物线的函数解析式为.
（3）存在．
抛物线上有且只有一个“纵三倍点”，
关于的方程有两个相等的实数根
整理，得，
，
，
．
分以下3种情况讨论．
①当，即时，
的最小值，
即，
解得．均舍去．
②当，即时，的最小值为．
③当时，的最小值，即，
解得（舍）
综上所述，的值为1或3

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