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人教版高中数学必修一5.4三角函数的图象与性质同步练习
一、单选题
1．已知，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．已知函数在上有且仅有2个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数满足以下四条性质：（1）在定义域内函数不单调；（2）在上函数有最小值；（3）函数是奇函数；（4）函数的图象是轴对称图形.则该函数可能是（ ）
A． B． C． D．
4．若函数（）图象的一条对称轴为，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数的最小正周期为，且．则当时，的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数是奇函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．为得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移1个单位 B．向左平移3个单位
C．向右平移1个单位 D．向右平移3个单位
8．函数是上的偶函数，则（ ）
A．0 B． C． D．
9．设，用表示不超过的最大整数，例如.已知函数，函数，则以下结论中正确的个数有（ ）.
①函数的值域是，②函数的图象关于对称，③函数是偶函数，④方程只有一个实数根.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．已知函数在上恰有2个零点，则的最小正周期的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．（多选题）函数，则下列关于的说法中正确的有（ ）
A．最小正周期是 B．最大值是2
C．在区间上单调递减 D．图象关于点中心对称
12．已知是定义域为的偶函数，当时，.若对，，则（ ）
A．与有相同的零点 B．的图象有无数条对称轴
C．当时， D．与的图象仅有一个交点
三、填空题
13．已知函数（）在区间上恰有3个零点，且是函数图象的一条对称轴，则 ．
14．的单调增区间为 ．
15．函数的最小值为 ．
16．记函数的最小正周期为，若，且函数的图象关于点对称，则当取得最小值时， ．
17．已知是函数的一个对称中心，且点到的图象最高点距离的最小值为，则 ．
四、解答题
18．已知函数的部分图象如图所示，.
(1)求的解析式；
(2)若关于的方程在上有且仅有四个解，求的取值范围.
19．已知函数图象的相邻两对称轴间的距离为，且为偶函数．
(1)求函数的解析式；
(2)令，记函数在上的零点从小到大依次为，求及的值；
(3)设函数，若对于定义域内的任意实数，给定的非零常数，总存在非零常数，使得成立，则称函数是上的级周期函数，周期为．是否存在非零实数，使函数是上的周期为的级周期函数？请证明你的结论．
20．已知函数的图象经过三点，且的最小值为.
(1)求的解析式；
(2)求在上的值域；
(3)求不等式的解集.
21．一个函数，如果对任意一个三角形，只要它的三边长，，都在的定义域内，就有，，也是某个三角形的三边长，则称为“三角形函数”．
(1)判断函数，，中，哪些是“三角形函数”，哪些不是，并说明理由；
(2)如果函数是定义在上的周期函数，且值域为，证明不是“三角形函数”；
(3)若，函数，是“三角形函数”，求的最大值．（参考公式：）
22．对于定义在上的函数，若存在，使满足的整数存在且，则称函数是“函数”．
(1)两个函数，是否是“函数”？为什么？
(2)求证：函数是“函数”；
(3)已知常数，若函数是“函数”，求的取值范围．
试卷第1页，共3页
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《人教版高中数学必修一5.4三角函数的图象与性质同步练习》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C A D D A D B D
题号 11 12
答案 AC AC
13．
14．
15．
16．
17．0
18．（1）解：由函数的图象，可得，且最小正周期，
所以，所以，
又由，且点在图象的上升部分，且，
所以，所以.
（2）解：在中，令，且，则，
因为，所以，
当时，满足方程组的值有且仅有四个，
且函数在上单调递增，在上单调递减，
令，可得必有两个相异零点，
由直线与和，的图象分别有两个交点，
作出直线与和的图象，如图所示，
由图象可得，，即在区间上有两个相异零点，
则满足，解得解得，
所以的取值范围是.
19．（1）依题意，函数的最小正周期为，则，，
由函数为偶函数，得，，，
所以函数的解析式为.
（2）由（1）得，则，
由，得，
令，则，函数在上的零点
与函数在上的零点满足设，如图：
由图知，直线与函数在上的图象有5个交点，
点关于直线对称，点关于直线对称，
点关于直线对称，点关于直线对称，
因此，即，
则，解得，
所以，.
（3）函数，则.
假设存在非零实数，使得函数是上的周期为的级周期函数，
即，则成立，
则成立，当时，，则，
即，要使得恒成立，则有，
当时，则，即，令，其中，
而，且函数在上单调递增，
函数在上有唯一的零点，此时恒成立，
则，且，即，且；
当时，则，即，作出函数的图象如下图所示：
由图知，函数的图象没有公共点，即方程无实数解，
所以存在，且满足题意，其中满足.
20．（1）由题意的图象经过三点，且的最小值为，
可得的最小正周期，则，解得.
则，
由，
故，，
又因为，所以.
故.
（2）由于，所以，
故，．
所以函数的值域为．
（3）不等式等价于不等式，即不等式.
令，解得，
故不等式的解集为.
21．（1），是“三角形函数”，不是“三角形函数”．
理由如下：
任意一个三角形，设它的三边长分别为，不妨假设，则，
对于，当的取值分别为时，对应的函数值分别为，满足，故是“三角形函数”，
对于，当的取值分别为时，对应的函数值分别为，
因为，所以，故是“三角形函数”，
对于，因为可作为一个三角形的三边长，但，
所以不存在以为三边长的三角形，故不是“三角形函数”.
（2）设为的一个周期，因为其值域为，
所以存在，使得，
取正整数，则，
则这三个数可作为一个三角形的三边长，
但，不能作为任何一个三角形的三边长，
所以不是“三角形函数”．
（3）（i）若，取，则这三个数可作为一个三角形的三边长，
但不能作为任何一个三角形的三边长，故不是“三角形函数”.
（ii）当时，对任意三角形的三边，若，则分类讨论如下：
①当时，，同理，
，故，，
同理可证，，
可作为某个三角形的三边长．
②当时，，可得如下两种情况：
当时，由得，
由在上单调递增可得，
当时，，
由在上单调递增可得，
综上得，，
又由及余弦函数在上单调递减，
得
同理可证其余两式，所以也是某个三角形的三边长.
故时，是“三角形函数”，
综上，的最大值为．
22（1）是“函数”, 不是“函数”，理由如下：
为常数函数，定义域为R，
不妨设，显然，满足，且，
故是“函数”,
的定义域为R，且严格单调递增，
当时，，故不是“函数”；
（2）的定义域为R，
令，，满足，
且，故，
故函数是“函数”
（3）函数定义域为R，对称轴为，
满足的整数存在且，
故在上不单调，则，且，
因为与交集不能为空集，所以且，即，
因为为整数，所以或，
若，则，由得，
所以，解得，
若，则，由得，
所以，解集为，
综上，
答案第1页，共2页
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