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重庆市北碚区西南大学附属中学校2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列实数中最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．1
2．下列适合做全面调查的是（ ）
A．某厂检测一批灯管的使用寿命
B．了解重庆市初一年级学生的体重情况
C．调查某中学七年级（1）班全体学生每周体育锻炼的次数
D．了解《中国诗词大会》栏目在我市的收视率
3．如图，点，在线段上，，若，，则的长为（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.5
4．在平面直角坐标系中，将点向右平移5个单位，向下平移4个单位得到点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如果实数、满足，那么下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．估计的值在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
7．《九章算术》是人类科学史上应用数学的巅峰之作，被誉为“算经之首”．书中记载了这样一道经典题目：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？大意：若每辆车坐3人，则剩余两辆车没人坐；若每辆车坐2人，则9人需要步行，问：人与车各多少？设车有辆，人有人，则可根据题意列出方程组（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，为边上的高，平分，交于点，交于点，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，动点在平面直角坐标系中按图中方向运动，从原点出发，依次运动到点，，，，，，…，按这样的运动规律，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．已知关于的不等式组的解集是，则的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
11．如图，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，的外角与的三等分线交于点，即，．若，则（ ）
A． B． C． D．
12．表示由四个互不相等的正整数组成的数组，按以下规则生成新数组：第一个新数组为（相邻两项相乘，最后一项与第一项相乘），第二个新数组由第一个新数组按同样规则生成，以此类推．记，，…，第个新数组的四数之积为（为正整数）．现对于任意正整数，，下列说法：
①；
②当，，，时，在的所有因数中，能被4整除但不能被8整除的共有6个；
③若，是大于2000的整数，则满足条件的的最小值为11．
正确的有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
13．9的平方根是 ．
14．已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长是 ．
15．若是方程的解，则 ．
16．如图，在中，，，的角平分线交于点，边上存在一点，使得即，点是延长线上一点，且，连接交于点，则 ．
17．如图，在中，，，，若的面积为5，则的面积为 ．
18．若关于的方程有非负整数解，且关于的不等式组至多有三个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ．
19．一个四位自然数，其中，，不为0，如果的千位数字和十位数字组成的两位数与的百位数字和个位数字组成的两位数的和等于81，即，那么就称这个数为“九九归一数”．把“九九归一数”的前两位数字与后两位数字整体交换得到新的四位数，设．例如：一个四位数，，是“九九归一数”，且．则最小的“九九归一数”是 ，若是“九九归一数”，且能被13整除，则满足条件的的最大值为 ．
三、解答题
20．计算：
(1)；
(2)．
21．解二元一次方程组：
(1)；
(2)．
22．解一元一次不等式（组）：
(1)；
(2)
23．为实施学生体质健康强健计划，丰富学生体育活动，我校计划在体育课外活动中开展篮球、足球、乒乓球、羽毛球这四项球类活动，为了解学生对这四项活动的喜爱情况，随机调查了部分学生，且每名学生只能选择这四项活动中的一种．请根据以下统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)本次被调查的学生有______名，扇形统计图中“足球”对应的扇形的圆心角度数是______；
(2)补全条形统计图；
(3)若全校有名学生，请你估计全校喜爱羽毛球的有多少人．
24．如图，已知且，、是上两点，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
25．某乡村合作社为了提升农业生产效率，现计划购置甲、乙两种农业设备共60台．已知购置一台甲种设备比购置一台乙种设备的进价少2万元，购置2台甲种设备和3台乙种设备需要11万元．
(1)甲、乙两种农业设备每台进价分别是多少万元？
(2)若合作社预计投入资金不超过150万元，且购置乙种设备超过42台，那么有哪些可行的购置方案？哪种方案投入资金最少？
26．如图，在平面直角坐标系中，点、且实数满足，过点作轴交轴于点．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向轴负方向运动．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向轴正方向运动．
(1)直接写出点的坐标______；点的坐标______；
(2)动点、分别在射线、上运动，连接、，当时，求点的坐标．
27．定义一种新运算：，若，．
(1)求、的值；
(2)若关于的不等式组有解，求实数的取值范围；
(3)若的解集为，求的解集．
28．如图，在和中，，，．将绕着点旋转．
(1)当旋转到图1位置时，正好使得、、三点共线时，求此时的度数；
(2)当旋转到图2位置时，连接、，并延长交于点，若，求证：；
(3)当旋转到图3位置时，连接、，取中点，连接并延长交于点，求证：．
《重庆市北碚区西南大学附属中学校2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题》参考答案
1．A
解：∵，
∴，
∴，
∴、、、中最小的数是．
故选：A．
2．C
解：A．某厂检测一批灯管的使用寿命，适合抽样调查，不符合题意，
B．了解重庆市初一年级学生的体重情况，适合抽样调查，不符合题意，
C．调查某中学七年级（1）班全体学生每周体育锻炼的次数，适合全面调查，符合题意，
D．了解《中国诗词大会》栏目在我市的收视率，适合抽样调查，不符合题意，
故选：C．
3．B
解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
4．A
解：将点向右平移5个单位，向下平移4个单位得到点，则点的坐标为，即，
故选：A．
5．D
解：∵，
∴，，，，
故选：D．
6．C
因为，
所以，
所以的值在7和8之间．
故选：C．
7．D
解：设有辆车，人数为人，依题意得：
，
故选：D．
8．C
解：∵，
，
∵平分，
，
∵为边上的高，
，
，
，
故选：C．
9．C
解：根据从原点出发，点，，，，，的运动规律，
可知横坐标的变化规律是依次、、、，每三个是一次循环运动，
纵坐标的变化规律是依次、、、，每三个是一次循环运动，
，
的横坐标为，纵坐标为．
，
故选：C．
10．C
解：，
由①得：，
由②得：，
∴此不等式组的解集为：，
由题可知：此不等式组的解集为：，
∴，
解得：，
∴．
故选：C．
11．C
解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
又，，
，
∴，
∴，
又，
∴，
∵的平分线与的外角的平分线交于点，
∴，，
又，
∴，
故选：C．
12．B
解：∵，，
∴，
∴，
，
以此类推，，
若，则，
∴，
∴，
当，时，左边，右边，
∴左边右边，
∴假设不成立，故①错误；
∵，，，，
∴，
∴，
∴能被4整除但不能被8整除的因数有，，，共3个，故②错误；
∵，，
∴，
又是大于2000的整数，
∴，
又，，
所以最小整数n的值为11，故③正确，
故选：B．
13．
解：∵，，
∴9的平方根是，
故答案为：．
14．20
解：∵等腰三角形的两边长分别为4和8，
∴当腰长是4时，则三角形的三边是4，4，8，
∵，
∴不满足三角形的三边关系，
当腰长是8时，三角形的三边是8，8，4，此时能构成三角形，
∴三角形的周长是，
故答案为：20．
15．
解：∵是方程的解，
∴，即，
∴．
故答案为：
16．/105度
解：∵平分，，
∴，
∵即，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
17．24
解：设，连接．
∵在和中，，高相等，
∴，
∵，
∴，，，
∵，
∴，，
∴，
∵若的面积为5，
∴，
∴，
故答案为：24．
18．11
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组至多有3个整数解，
∴，
∴，
，
，
解得，
∵方程有非负整数解，
∴（x为非负整数），
∴，且为整数，
∴，
∴，
∵，
∴符合条件的所有整数a的值为：0，3，8，
∴符合条件的所有整数a的和是：．
故答案为：11．
19． 1629 5310
解：∵，
∴，
而是中的千位数字，要求最小的“九九归一数”，则，
∴①，
而是中的百位数字，要求最小的“九九归一数”，也要最小，
而①中、最大可以是9，
∴，即最小取6，
∴②，
而是中的十位数字，要求最小的“九九归一数”，
也要最小，则取最大，
∴，，
∴最小的“九九归一数”为1629；
∵，
∴，
又，即③，
则，
∴，
∴④，
要使④能被13整除，则④应该是13，即⑤，
要使最大，则千位数字最大，由⑤知最小也得是3，
当时，由③得，显然不符合；
当时，由③得，即，显然不符合；
当时，由③得，即，结合⑤，显然不符合；
当时，由③得，即，
最大是3，则，此时，，
∴的最大值为5310，
验证：，
，
，
∴5310符合题意，
故答案为：1629，5310．
20．(1)
(2)
（1）解：
；
（2）解：
．
21．(1)；
(2)．
（1）解：，
把①代入②得：，
解得，
把代入①得：，
∴方程组的解为：；
（2）解：方程组整理得
，
得：③，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴方程组的解为：．
22．(1)
(2)
（1）解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得；
（2）解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
原不等式组的解集为．
23．(1)，
(2)见解析
(3)人
（1）解：∵选择“篮球”的有人，所占百分比为，
∴总人数为（人），
∵选择“足球”的有人，
∴扇形统计图中“足球”对应的扇形的圆心角度数是．
故答案为：，
（2）解：选择“乒乓球”的人数为（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：（人），
∴若全校有名学生，请你估计全校喜爱“羽毛球”的有人．
24．(1)见解析
(2)
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
25．(1)甲种农业设备每台进价是1万元，则乙种农业设备每台进价是3万元
(2)有3种方案，具体如下：①购买甲种农业设备15台，购买乙种农业设备45台；②购买甲种农业设备16台，购买乙种农业设备44台；③购买甲种农业设备17台，购买乙种农业设备43台；方案③投入资金最少
（1）解：设甲种农业设备每台进价是x万元，则乙种农业设备每台进价是万元，
根据题意，得，
解得，
∴，
答：甲种农业设备每台进价是1万元，则乙种农业设备每台进价是3万元；
（2）解：设购买甲种农业设备y台，则购买乙种农业设备台，
根据题意，得，
解得，
所以整数y的值为15，16，17，
∴有3种方案，具体如下：
①购买甲种农业设备15台，购买乙种农业设备台；
②购买甲种农业设备16台，购买乙种农业设备台；
③购买甲种农业设备17台，购买乙种农业设备台；
①投入资金为万元；
②投入资金为万元；
③投入资金为万元；
∵，
∴方案③投入资金最少．
26．(1)，
(2)或
（1）解：∵，
又∵，，
∴，，
解得，，
∴的坐标，的坐标．
故答案为：，；
（2）解：∵轴交轴于点，，
∴，，
设运动时间为秒，则，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得或，
∴或，
∴或，
∴点的坐标为或．
27．(1)；
(2)；
(3)．
（1）解：∵，若，，
∴，
解得；
（2）解：关于的不等式组，
整理得，
解得，
解得，
∵关于的不等式组有解，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
整理得，
∵的解集为，
∴且，
整理得，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得，
将代入得，
∵，
∴．
28．(1)
(2)见详解
(3)见详解
（1）解：∵，，，
∴，
在和中：
，
，
，
，
，
．
（2）证明：过点作交的延长线于点，
∵，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
在和中
，
∴，
∴．
（3）证明：如图延长使，连接，
∵点是中点，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．

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