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2024—2025北京市第五十七中学初二下期中数学试卷
班级： 姓名： 学号： 2025.4
考 生 须 知 1．本试卷共8页，28道题，满分100分。考试时间120分钟。 2．在答题卡上准确填写姓名和考号。 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4．在答题卡上，用2B铅笔和黑色字迹签字笔作答。
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各组数中，以，，为边长的三角形不是直角三角形的是 ( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
2.如图，在中，已知，垂足为若，则的度数是 ( )
A. B. C. D.
3.下列计算中，正确的是( ) 第2题图
A.
B.
C.
D.
4.如图，在平行四边形中，对角线与交于点，已知，，，则的长为( )
A. B. C. D. 第4题图
5.如图，在平行四边形ABCD中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是( )
A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是 C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是
如图，在水塔的东北方向处有一抽水站，在水塔的东南方向处有一建筑工地，在间建一条笔直的水管，则水管的长为( )
A. B. C. D. 第6题图
7.如图，在菱形中，AB=13,BD=24,对角线与交于点，过点作于点，连接，则的长为( )
A. B. C. D. 第7题图
8.如图，在矩形中，，， ， 交于点 ，，则
A. B. C. D.
第8题图
9.如图，在菱形中，，，过点作，交的延长线于点，则线段的长为( )
A. B. C. D. 第9题图
10.小明在暗室做小孔成像实验．如图，固定光源线段发出的光经过小孔动点成像线段于足够长的固定挡板直线上，其中．已知点匀速运动，其运动路径由，，，，，组成．记它的运动时间为，的长度为，若关于的函数图象大致如图所示，则点的运动路径可能为
图1 图2
A. B.
C. D.
二、填空题：二、填空题（共16题，每题2分）
11.若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
12.如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点作交于点，连接若的周长为，则的周长为__________．
第12题图
13.若与是同类二次根式，请写出一个符合条件的最简二次根式为
14.已知实数、、在数轴上的位置如图所示，化简：_____．
15.如图，菱形的顶点，，在坐标轴上，若点的坐标为，，则点的坐标为 ．
第15题图
16.如图，正方形纸片的边长为，是边上一点，连接、折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上，若，则的长为 ．
第16题图
17.如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接若，则的长为 ．
第17题图
18.在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是边AB上的一个动点（不与A、B重合），连接EO并延长，交CD于点F，连接AF，CE，有下列四个结论：
①对于动点E，四边形AECF始终是平行四边形；
②若∠ABC＞90°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是矩形；
③若AB＞AD，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是菱形；
④若∠BAC＝45°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是正方形．
以上所有错误说法的序号是 ．
三、解答题：（共54分，第19题6分，每小题3分，第20小题4分，第21-24题，每题5分，第25-28题每题6分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
19.计算

（2） 已知：，求的值．
20.已知：，求作平行四边形．
下面是小明设计的尺规作图过程．
作法：
分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于、两点；
连接，交于点；
连接；
以为圆心，长为半径作弧，交延长线于点；
连接、．
四边形即为所求．
根据小明设计的尺规作图过程，
使用直尺和圆规，补全图形；保留作图痕迹
完成下面的证明．
证明： ____①__， __②____，
四边形是平行四边形 ____ ③ __填推理的依据
21.如图，四边形是平行四边形，平分，平分．求证：四边形是平行四边形．
22.如图,在△ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,连接DE,点M是DE的中点,连接AM，CM。若AM=5，MC=12，AC=13，求证：AC=
在△ABC中，点是平面内任意一点（不同于、、），若点与、、中的某两点的连线的夹角为直角时，则称点为△ABC的一个勾股点．
(1)如图1，若点是△ABC内一点，，，，证明:点是△ABC的一个勾股点．
(2)如图2，在中，，，，点在上，且，点在射线上．若点是△ABC的勾股点，请求出的长．
24. 如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4cm，∠ABC=120°，按下列步骤进行裁剪和拼图：
第一步：如图1，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用)；
第二步：如图2，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；
第三步：如图3，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°，使线段HC与HE重合，再与三角形纸片EGH拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片．
(注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)
请你在图3中画出拼接成的四边形；
（2）直接写出拼成的四边形纸片周长的最小值为____①____cm，最大值为____②____cm．
25.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD到点F，使DF=CE，连接AF。
(1)求证：四边形ABEF是矩形；
(2)连接OF，若AB=7，DE=3，∠ADF=45°，求OF和OD的长度。
26.阅读下面内容：我们已经学习了二次根式和乘法公式，聪明的你可以发现：当，时，，，当且仅当时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
例如：当时，求的最小值．
解：，又
，，当时取等号．的最小值为．
请利用上述结论解决以下问题：
当时，的最小值为_____①___；当时，的最大值为____②____．
当时，求的最小值．
请解答以下问题：
如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙墙足够长，另外三边用篱笆围成，设平行于墙的一边长为米，若要围成面积为平方米的花圃，需要用的篱笆最少是____③__米
27.正方形ABCD中，点M是直线BC上的一个动点（不与点B，C重合），作射线DM，过点B作BN⊥DM于点N，连接CN．
（1）如图1，当点M在BC上时，如果∠CDM=25°，求∠MBN的度数．
（2）如图2，当点M在BC的延长线上时，
①依题意补全图2；
②用等式表示线段NB，NC和ND之间的数量关系，并证明．

28.在平面直角坐标系中，点M的坐标为，点N的坐标为，且，．给出如下定义：若一个矩形的边均与某条坐标轴平行，且是它的一条对角线，则称这个矩形是的“非常矩形”，如图1，点和点，它们的“非常矩形”是矩形．
(1)在点，，中，与O构成的“非常矩形”的周长是6的点是___①_____；
(2)若在第一象限有一点与点O构成的“非常矩形”，且它的周长是8，求x，y满足的数量关系；
(3)如图2，等边的边在x轴上，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为，点G的坐标为，若在的边上存在一点H，使得点G，H的“非常矩形”为正方形，请直接写出这些正方形周长的最小值 ② 和a的取值范围 ③ ．期中考试答案
1.
2.
3.D
4.
5.
6.B
7.
8.
9.
10.C
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
②④
19.解：

20.如图即为补全的图形；
；；对角线互相平分的四边形是平行四边形．

21.证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
22.略
23.（1）证明：如图1所示，延长交于，
是的外角，
∴，
∴，
∴点是的一个勾股点；
（2）解：在中，，，，
则，
∴；
①如图，当时，设，，
在和中，，
，
解得：；
②如图，当时，设，，
在和中，，
，
解得：；
③如图，当时，点为的中点，
，
，
综上所述，点是的勾股点时，的长为或或．
24.解： （1）拼接成的四边形所图虚线所示； ………………2分
（2） ； . …………………………5分
（注：通过操作，我们可以看到最后所得的四边形纸片是一个平行四边形，其上下两条边的长度等于原来菱形的边AB=4，左右两边的长等于线段MN的长，当MN垂直于BC时，其长度最短，等于原来菱形的高的一半，于是这个平行四边形的周长的最小值为2（+4）=；当点E与点A重合，点M与点G重合，点N与点C重合时，线段MN最长，等于，此时，这个四边形的周长最大，其值为.）
25.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB∥CD.
∵DF=CE，
∴DF+DE=CE+ED，
即:FE=CD.
∵点F、E在直线CD上
∴AB=FE，AB∥FE.
∴四边形ABEF是平行四边形
又∵BE⊥CD，垂足是E，
∴∠BEF=90°.
∴四边形ABEF是矩形.
(2)解:∵四边形ABEF是矩形O，
∴∠AFC=90°，AB=FE.
∵AB=7，DE=3，
∴FD=4.
∵FD=CE，
∴CE=4.
∴FC=10.
在Rt△AFD中，∠AFD=90°.
∵∠ADF=45°，
∴AF=FD=4.
在Rt△AFC中，∠AFC=90°.
∴.
∵点O是平行四边形ABCD对角线的交点，
∴O为AC中点
在Rt△AFC中，∠AFC=90°.O为AC中点.
∴OF=AC=.
∴OD=
26.解：；；
，
，
又，
，当且仅当时取等号．
的最小值为；
，
，
，
又，
，当且仅当时取等号．
，
的最大值为；
，
，
，
又，
，当且仅当时取等号，
的最小值为，
的最小值为，
即的最小值为；
解：根据题意可得，垂直于墙的一边长为米，则篱笆的长为米，
，
，
又，
，当且仅当时取等号，
的最小值为，
即需要用的篱笆最少是米．
27.解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠DCM=∠BCD=90°，
∵BN⊥DM，
∴∠DNB=90°=∠BCD，
∵∠BMN=∠DMC，
∴∠MBN=∠CDM=25°；
故答案为25°；
（2）①由题意补全图形如图2、图4所示；

②线段NB，NC和ND之间的数量关系为：NB=ND+NC，或NC=NB+ND．
理由如下：
当N在DM上时，在NB上截取BE=ND，

∵∠MCD=∠BNM=90°，
∴∠DMC+∠CDN=∠DMC+∠CBE=90°，
∴∠CDN=∠CBE，
在△CDN和△CBE中，
，
∴△CDN≌△CBE（SAS），
∴NC=EC，∠DCN=∠BCE，
∴∠NCE=∠DCN+∠DCE=∠BCE+∠DCE=∠BCD=90°，
∴△NCE是等腰直角三角形，
∴NE=NC，
∴NB=BE+NE=ND+NC；
当N在MD延长线上时，延长NB至E，使BE=ND，

同理得：△CDN≌△CBE，
∴NC=EC，∠DCN=∠BCE，
∴∠NCE=∠DCN+∠DCE=∠BCE+∠DCE=∠BCD=90°，
∴△NCE是等腰直角三角形，
∴NE=NC，
∵NE=NB+BE，
∴NC=NB+ND．
28.（1）解：∵点，
∴与O构成的“非常矩形”的周长为2×（1+2）=6，符合题意；
∵点，
∴与O构成的“非常矩形”的周长为2×（1+1）=4，不符合题意；
∵点，
∴∴与O构成的“非常矩形”的周长为2×（2+2）=8，不符合题意；
故答案为：A
（2）解： ∵在第一象限有一点与点O构成的“非常矩形”，且它的周长是8，
∴2（x+y）=8，
∴x+y=4；
（3）解：∵△DEF是等边三角形，
∴DE=DF=EF，
∵OF⊥DE，
∴OD=OE，
∵点D的坐标为，
∴DE=2OD=2，
∴DF=EF=2，
∴，
∵点G的坐标为，
∴点G在平行于x轴的直线上，
设该直线交y轴于点K，
∴，
∴，
如图，当点H与点F重合时，正方形的周长最小，
此时，
∴正方形周长的最小值为；
如图，当H与点E重合，点G位于G1的位置时，a取最小值，此时正方形的边长为2，
∴G1K=2+1=3，即a=-3；
当H与点D重合，点G位于G2的位置时，a取最大值，此时正方形的边长为2，
∴G2K=2+1=3，即a=3；
∴a的取值范围为．
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