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第2关 代数式与整式
基础练
考点 1 代数式
1.[2024 四川广安]下列对代数式-3x的意义表述正确的是 ( )
A.-3与x的和 B.-3与x的差
C.-3与x的积 D.-3与x的商
2.[2024新疆]若每个篮球30元，则购买n个篮球需 元.
3.[2024 江苏苏州 若 a=b+2,则(
4.[2024江西]观察a、a ,a ,a ,…,根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为 .
5.[2024 吉林长春 单项式-2a b 的次数为 、
6.[2024四川雅安]如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据(字母)，请选用适当的字母表示 H= .
①杯子底部到杯沿底边的高h；
②杯口直径D；
③杯底直径d；
④杯沿高a.
考点 2 整式及其运算
7.[2024 四川内江]下列单项式中，ab 的同类项是 ( )
A.3ab B.2a b D. a b
8.[2024 福建]下列运算正确的是 ( )
9.[2024 四川宜宾]下列计算正确的是 ( )
B.5a-3a=2
10.[2024江苏苏州]计算:
11.[2024上海]计算:
12.[2024四川德阳]若一个多项式加上. 4，结果是 则这个多项式为
考点 3 乘法公式
13.[2024 四川成都]下列计算正确的是 ( )
B.3x+3y=6xy
14.[2024江苏盐城校级模拟]如果多项式 +9是一个完全平方式，则m的值是 ( )
A.6 B.12
C.12或-12 D.72或-72
15.[2024 山东淄博校级模拟]如果计算(x+ my)(x+ny)时能使用平方差公式，则m，n应满足( )
A. m,n同号 B. m,n异号
C. m+n=0 D. mn=1
16.[2024四川凉山州]已知 且a-b=-2,则a+b= .
17.[2024四川乐山]已知a-b=3, ab=10,则 = .
18.[2024甘肃]先化简,再求值: b)(2a-b)]÷2b,其中a=2,b=-1.
考点 4 因式分解
19.[2024云南]分解因式: ( )
A. a(a-3)(a+3)
C.(a-3)(a+3)
20.[2024 江苏盐城]分解因式:
21.[2024 江苏扬州]分解因式:
22.[2024江西吉安一模]因式分解：
提升练
23.[2024云南]按一定规律排列的代数式：2x，3x ,4x ,5x ,6x ,……,第n个代数式是 ( )
A.2x"
C.nx +
24.[2024 广西]如果a+b=3, ab=1,那么 的值为 ( )
A.0 B.1 C.4 D.9
25.[2024山东泰安]如图所示的是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”.
按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍.
26.[2024重庆A卷]已知整式 M ,其中n, an-1,…,a 为自然数，an为正整数，且 下列说法：
①满足条件的整式M 中有5个单项式；
②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且仅有3个；
③满足条件的整式M 共有16个.
其中正确的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
27.[2024陕西榆林二模]程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示，
若开始输入x的值为20，发现第1次输出的结果为10，第2次输出的结果为5，……，则第2 024次输出的结果是 .
28.[2024吉林长春二模]如图，“L”形图形的面积为7,如果b=3,那么a= .
29.[2024四川德阳]数学活动课上，甲组同学给乙组同学出示了一个探究问题：把数字1至8分别填入图中的八个圆圈内，使得任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1.经过探究后，乙组的小高同学填出了图中两个中心圆圈的数字a，b，你认为a可以是 (填上一个数字即可).
30.[2024重庆B卷]一个各数位均不为0的四位自然数 若满足a+d=b+c=9,则称这个四位数为“友谊数”.例如：四位数1278，∵1+8=2+7=9,∴1 278是“友谊数”.若 abcd是一个“友谊数”,且b-a=c-b=1,则这个数为 ;若 是一个“友谊数”，设 且 是整数，则满足条件的M的最大值是 .
31.[2024黑龙江哈尔滨二模]我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式|x-2l的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为|x+1|=|x-(-1)|,所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与-1所对应的点之间的距离.则代数式|x+3|+|x-5|的最小值是
32.[2024 湖南长沙]先化简,再求值:2m-m(m-2)+(m+3)(m-3),其中
33.[2024 安徽合肥校级模拟]观察下列等式：
第1个等式:1+3=4;
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
……
(1)请写出第6个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并证明.
34.[2024福建]已知实数a,b,c,m,n满足3m+n
(1)求证: 为非负数.
(2)若a，b，c均为奇数，m，n是否可以都为整数 说明你的理由.
35.[2024安徽]数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为 (x,y均为自然数)”的问题.
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下(n为正整数)：
N 奇数 4的倍数
表示结果 1=1 -0 3=2 -1 5=3 -2 7=4 -3 9=5 -4 … 4=2 -0 8=3 -1 12=4 -2 16=5 -3 20=6 -4 …
一般结论 2n-1=n -(n-1) 4n=___________
按上表规律，完成下列问题：
(ii)4n= .
(2)兴趣小组还猜测:像2,6,10,14,…这些形如4n-2(n为正整数)的正整数N不能表示为 (x,y均为自然数).师生一起研讨，分析过程如下：
假设 其中x，y均为自然数.
分下列三种情形分析：
①若x，y均为偶数，设x=2k,y=2m,其中k，m均为自然数，
则 为4的倍数.
而4n-2不是4的倍数，矛盾.故x，y不可能均为偶数.
②若x，y均为奇数，设x=2k+1,y=2m+1,其中k,m均为自然数，
则 为4的倍数.
而4n-2不是4的倍数，矛盾.故x，y不可能均为奇数.③若x，y一个是奇数一个是偶数，则 为奇数.
而4n-2是偶数，矛盾.故x，y不可能一个是奇数一个是偶数.
由①②③可知，猜测正确.
阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容.
第2关 代数式与整式
1. C 2.30n
3.4
解析：∵a=b+2,∴b-a=-2,
4. a
解析:∵a,a ,a ,a ,…,
∴第n个单项式的系数是1，次数是n，
∴第100 个式子是a'∞.
5.3
6. h+ an
解析：由题图知，纸杯叠放在一起后的总高度H=杯子底部到杯沿底边的高h+杯子数量n×杯沿高a,∴H=h+ an.
7. A
8. B 解析: 故A 选项不正确；
故B 选项正确；
故C选项不正确；
故D选项不正确.
9. C 解析:A. a+a=2a,故A 不符合题意;
B.5a-3a=2a,故B不符合题意;
故C符合题意；
故D 不符合题意.故选 C.
10. x 11.64x
解析：
13. D 解析: 此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
B.∵3x,3y不是同类项,不能合并,∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
∴此选项的计算正确，故此选项符合题意.
故选 D.
14. C 解析:∵ 是一个完全平方式，
∴-m=±12,
解得m=±12.
15. C 解析:∵ 计算(x+ my)(x+ ny)时能使用平方差公式,∴m=-n,故m+n=0.
16.-6
解析：∵
∴(a+b)(a-b)=12,
∵a-b=-2,
∴a+b=-6.
17.29
解析:∵a-b=3, ab=10,
=9+20
=29.
18.2a+b;3
解析：原式：
÷2b
=2a+b,
当a=2,b=-1时,原式=2×2-1=3.
19. A 解析:原式 3),故选 A.
解析：
=2(x-1) 、
22.(x-5)(x+1)
23. D 解析：从单项式的系数来看，第n个代数式的系数为(n+1)，从单项式的次数来看，第n个代数式中x的指数为n，所以第 n个代数式为(n+1)x".
24. D 解析:原式: 故选D.
25.12
解析：由题中所给图形可知，
第1个“小屋子”中图形“○”的个数为1=1, “●”的个数为4=1×2+2;
第2个“小屋子”中图形“○”的个数为3=1+2, “●”的个数为6=2×2+2;
第3个“小屋子”中图形“○”的个数为6=1+2+3, “●”的个数为8=3×2+2;
第4个“小屋子”中图形“○”的个数为10=1+2+3+4, “●”的个数为10=4×2+2;……
所以第n个“小屋子”中图形“○”的个数为 ●"的个数为2n+2.令
解得 又因为 n为正整数，所以n=12，即第12个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍.
26. D 解析:∵n, an-1,…,a 为自然数, an为正整数，且 ∴an≥1,0≤n≤4(若n=5,则 不满足条件).
当n=0时,M=5;
当n=1时, 满足条件的整式为x+3,2x+2,3x+1,4x;
当n=2时, 满足条件的整式为
当n=3时, 满足条件的整式为 1,2x ;
当n=4时, 1，满足条件的整式为x .
①满足条件的单项式有5,4x,3x ,2x ,x ,共5个,故①正确;
②当n为任意值时，整式M 的个数没有3个的情况，即不存在符合条件的n，故②正确；
③满足条件的整式M 共有 16个，故③正确.故选 D.
解题思路
首先，根据已知确定0≤n≤4且n是整数,然后,分n=0,n=1,n=2,n=3,n=4五种情况分别求出符合条件的整式即可判断.
27.6
解析:第1次输出的结果:20÷2=10,
第2次输出的结果:10÷2=5,
第3次输出的结果:5+7=12,
第4次输出的结果:12÷2=6,
第5次输出的结果:6÷2=3,
第6次输出的结果:3+7=10,
第7次输出的结果:10÷2=5,
第8次输出的结果:5+7=12,
第9次输出的结果:12÷2=6,
第10次输出的结果:6÷2=3,
……,
2024÷5=404……4,
∴第2024次输出的结果是6.
28.4
解析：如图，延长AB，CD交于点E.
根据题意，得
∴a=4或a=-4(不符合题意,舍去),
∴a=4.
29.1(或8)
解析：两个中心圆圈分别有6根连线，数字1至8共有8个数字,若2,3,4,5,6，7中任何一个数字填在中心圆圈中，那么与其相邻的2个数字均不能出现在与中心圆圈相连的6个圆圈中，故只剩下5个数字可选，不符合题意，∴位于两个中心圆圈的数字只可能是1和8.
30.3456;6273
解析：∵abcd是一个“友谊数”,
∴a+d=b+c=9,
又∵b-a=c-b=1,
∴b=4,c=5,∴a=3,d=6,
∴这个数为3456.
是一个“友谊数”，
∴M=1 000a+100b+10c+d=1 000a+100b+10(9-b)+9-a=999a+90b+99,
是整数，
是整数，即 是整数，
∴3a+b+6是13的倍数,
∵a,b,c,d都是不为0的正整数,且a+d=b+c=9,
∴a≤8,
当a=8时,31≤3a+b+6≤38,此时不满足3a+b+6是13的倍数，不符合题意；当a=7时,28≤3a+b+6≤35,此时不满足3a+b+6是13的倍数，不符合题意；当a=6时,25≤3a+b+6≤32,此时可以满足3a+b+6是13的倍数,即b=2,则d=3,c=7.
∵要使M最大，需使a最大，
∴满足条件的M的最大值是6273.故答案为3456;6273.
31.8
解析:代数式|x+3|+|x-5||的最小值是5-(-3)=8.
32.4m-9;1
解析：原式
=4m-9.
当 时,原式=10-9=1.
证明见解析
解析：(1)根据题中等式，可知第6个等式为
(2)证明：等式左边 为
等式右边为
∵等式左边=等式右边，∴等式成立.
34.(1)见解析 (2)不可以都为整数；理由见解析
解析：(1)证明：因为 nn 所以b=a(3m+n),c= amn.
则
因为a、m、n是实数，所以( ≥0、
所以b -12ac为非负数.
（2)若m，n都为整数，其可能情况有：①m、n都为奇数;②m,n为整数,且其中至少有一个为偶数.
①当m、n都为奇数时，3m+n必为偶数.又
所以b=a(3m+n).
因为a为奇数，所以此时a(3m+n)必为偶数，这与b为奇数矛盾.
②当m，n为整数，且其中至少有一个为偶数时，mn必为偶数.
又因为 所以c= amn.
因为a为奇数，所以此时 amn必为偶数，这与c为奇数矛盾.
综上所述，m，n不可以都为整数.
一题多解.
∴--3m,-n为方程 的两根，
即b -12ac是非负数.
(2)m，n不可以都是整数.理由如下：
∵--3m,-n是方程 的两根，
∴(x+3m)(x+n)=0,
∴a=1,b=3m+n,c= mn,
当m，n都为整数时，
∵c为奇数且c= mn,
∴m,n都为奇数,
∴b=3m+n 为偶数,这与b是奇数矛盾，
∴m，n不可以都是整数.
35.(1)(i)7;5
解析:(1)(i)4=4×1=(1+1) -(1-1) ,
故答案为7；5.
(ii)由(i)的规律推导可知4n=4·n=

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