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河北省承德市兴隆县2024-2025学年九年级下学期一模考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列互为倒数是（　　）
A．和 B．和 C．和 D．和
2．若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．11
3．如图，点A，B对应的数分别为a，b．对于结论：①，②，③，下列说法正确的是（ ）
A．仅①②对 B．仅①③对 C．仅②对 D．①②③都对
4．如图，这是嘉嘉绘制的从地到地的路线图，这两地之间的最短距离为，从上到下分别为路线，，，，其中某条路线所标的数据错误，则数据错误的是（ ）
A．路线 B．路线 C．路线 D．路线
5．依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，若，则（ ）
A．4047 B．4048 C． D．
7．在数学课堂上，老师带领同学们用尺规“过直线外一点作直线的垂线”，图①是老师画出的第一步，图②，图③分别是甲、乙两位同学补充的作图痕迹，则补充的作图痕迹正确的是（ ）

A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．都不正确
8．若，，则的值可能为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
9．a、b是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A． B． C．3 D．7
10．如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为，，．给出以下结论：①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形；②Ⅲ中最大的内角是；③．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
11．如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
12．在学习“二次函数的性质”时，初三某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究：如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上．
甲：无论取何值，都有．
乙：若点平移后的对应点为，则点移动到点的最短路程为；
丙：当时，随着的增大，线段先变长后变短，下列判断正确的是（ ）
A．只有丙说得错 B．只有乙说得错 C．只有甲说得对 D．甲、乙、丙说得都对
二、填空题
13． ．
14．如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点M对应的数是 ．
15．如图，已知点，，函数的图象经过点A，与交于点C．若C为的中点，则 ．
16．国际数学教育大会是全球数学教育水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，于2021年在中国上海举办，这是国际数学大会第一次在中国举办．大会标识中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中《洛书》与《河图》为原本，并将其与体现我国早期哲学思想的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．大会标识右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．八进制数2356换算成十进制数是 ．
三、解答题
17．计算的结果为P．
(1)若，求P的值；
(2)若P的值为正数，请你求出一个x的整数值．
18．已知，A，B两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式C．
A． ；B．
(1)若抽中的卡片是A．
①求整式C；
②当时，求整式C的值．
(2)若无论x取何值，整式C的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片？
19．某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下：
收集数据 77 78 76 72 84 75 91 85 78 79
82 78 76 79 91 91 76 74 75 85
75 91 80 77 75 75 87 85 76 77
整理、描述数据
成绩/分 72 74 75 76 77 78 79 80 82 84 85 87 91
人数/人 1 1 a 4 3 3 b 1 1 1 3 1 4
分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如下表：
平均数 众数 中位数
80 c 78
解决问题
(1)表格中的______；______；______；
(2)分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为______分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为______分；
(3)学校要从91分的A，B，C，D四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图法或列表法，求A，B两名队员恰好同时被选中的概率．
20．综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为；
第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．）
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
(1)求的长；
(2)求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：，，）
21．如图1，光滑桌面的长为，两端竖直放置挡板和，小球P（看作一点）从挡板出发，匀速向挡板运动，撞击挡板后反弹，以原速返回挡板，过程中小球和挡板的距离与时间的关系图象如图2所示．（注：小球和挡板的厚度忽略不计，撞击和反弹时间忽略不计）
(1)图中______，______，小球的速度为______．
(2)求图2中直线的函数解析式．
(3)若小球从挡板向挡板运动的过程中，同时，挡板以的速度匀速向挡板运动，运动过程中（小球与挡板撞击前），当小球恰好位于这两个挡板中点处时，运动时间为，请直接写出t的值．
22．小明陪弟弟玩积木的时候，发现放在同一水平面上的两个积木的横截面分别是以为直径的半圆和边长为的正方形，，分别为半圆上的点，如图所示，此时半圆与水平面恰好切于点，，延长与半圆分别交于点，．将半圆向右无滑动滚动，使点落在半圆上，此时半圆与水平面恰好切于点，如图所示．
(1)在图中，求弦的长；
(2)在图中，求所对的圆心角度数；（结果保留）
(3)在图中，过点作半圆的切线与直线交于点，求的值．
23．如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点为B．
(1)直接写出点B的坐标________；
(2)求抛物线的表达式；
(3)点C为的中点，
①过点C作，垂足为H，交抛物线于点E．求线段的长．
②点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形．如图2，当点F落在抛物线上时，直接写出点D的坐标；
24．在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接．
【尝试发现】
（1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________；
【类比探究】
（2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明；
【联系拓广】
（3）若，，请直接写出的值．
《河北省承德市兴隆县2024-2025学年九年级下学期一模考试数学试题》参考答案
1．B
2．B
3．A
4．B
5．A
6．D
7．C
8．D
9．A
10．B
11．B
12．A
13．
14．
15．3
16．1262
17．解：（1）若，P的值为
．
（2）由题意，．
解得．
x的整数值可以取2．（答案不唯一）
18．（1）解：①∵-A+B=-x2+9x+1+5x2-x+3
=4x2+8x+4，
∴整式C为：4x2+8x+4；
②当x=-1时，
4x2+8x+4=4×（-1）2+8（-1）+4
=4-8+4
=0；
（2）解：若抽中的卡片是A时，由（1）知：
整式C为：4x2+8x+4=4（x+1）2，
∵4＞0，（x+1）2≥0，
∴无论x取何值，此时4x2+8x+4是非负数；
若抽中的卡片是B时，
∵-B+A=-5x2+x-3+x2-9x-1
=-4x2-8x-4，
整式C为：-4x2-8x-4=-4（x+1）2，
∵-4＜0，（x+1）2≥0，
∴无论x取何值，此时-4x2-8x-4是非正数；
∴若无论x取何值，整式C的值都是非负数，则抽到的是卡片A．
19．（1）解：根据收集的数据知；；
出现最多的是75分，有5人，众数为75分，则；
故答案为：5；2；75；
（2）解：∵由统计图可知中位数为78分，
∴如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，成绩目标应定为78分，
如果想确定一个较高的目标，成绩目标应定为80分，
因为在样本的众数，中位数和平均数中，平均数最大，
可以估计，如果成绩目标定为80分，努力一下都能达到成绩目标．
故答案为：78；80；
（3）解：画树状图表示所有等可能结果如图所示，
共有种等可能结果，A，B两名队员恰好同时被选中的情况有种，
∴A，B两名队员恰好同时被选中的概率为，
答：A，B两名队员恰好同时被选中的概率为．
20．（1）解：在中，，
∴，
∴，
（2）解：由题可知，
∴，
又∵，
∴，
∴．
21．（1）解：由函数图象可知，小球到达时，
∴小球的速度为．
∵撞击挡板后反弹，以原速返回挡板，
∴．
故答案为：24，120，10；
（2）解：直线的函数解析式为，把代入，得
，
解得，
∴；
（3）解：设挡板运动后的位置为，由题意，得
，
∵小球恰好位于这两个挡板中点，
∴，
解得，
∴t的值为．
22．（1）解：如图，连接，，与交于点，
∵半圆与水平面相切于点，为半圆的半径，四边形为正方形，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在中，，
∴；
（2）解：如图，连接，，延长交于点，
∵四边形为正方形，半圆与水平面相切于点，为半圆的半径，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，
∴的长为，
∴，
解得，
∴所对的圆心角度数为；
（3）解：如图，连接，由切线长定理可得，
设，则，由（）得，则，
∴在中，，
即，
解得，
∴，
∴．
23．（1）解：∵抛物线
∴顶点为B的坐标为．
故答案为：
（2）由题意得：，
将点A的坐标代入上式得：，
解得：，
抛物线的表达式为
即为；
（3）①由（1）知，，
由中点坐标公式得点，
当时，，
∴点E的坐标为，
则；
②由（2）知，，
∴点C向下平移个单位，向左平移1个单位，即可到达点O，
当时，，
则（不合题意的值已舍去），
即点；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴根据点C平移的规律可得到
24．解：（1）如图，过点作延长线于点，
由旋转得，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）补全图形如图：
，理由如下：
过点作交于点，
由旋转得，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如图，当在的延长线上时，过点作于点，连接，
由（2）得，，
∴，
∴，
∴．
当在的延长线上时，过点作于点，如图，连接，
同理可得：，
∴，，
∴，
∴，
∴；
综上：或

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