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2024-2025学年四川省达州市高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列，则该数列的第项为( )
A. B. C. D.
2.某运动物体的位移单位：米关于时间单位：秒的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为( )
A. 米秒 B. 米秒 C. 米秒 D. 米秒
3.下列求导正确的是( )
A. B.
C. D.
4.若数列满足，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
6.已知递增等比数列的公比为，若，，则( )
A. B. C. D.
7.函数的极小值点为( )
A. B. C. D.
8.斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：，从第项开始，每一项都等于前两项之和删去后，记此数列为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的导函数的图象如图所示，则( )
A. 在上单调递减 B. 在上单调递增
C. 的一个极小值为 D. 在上的最大值为
10.已知等差数列的前项和为，且，则( )
A. B.
C. 数列中最大 D. 数列中最小
11.过点向曲线作切线，切线方程可能是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数在处可导，若，则 ．
13.设等比数列的前项和为，若，则 ．
14.已知函数的图象与直线有两个交点，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的图象在点处的切线方程为．
求，
求在上的值域．
16.本小题分
如图，在长方体中，．
求直线与所成角的余弦值；
求直线与平面所成角的正弦值；
求平面与平面所成角的余弦值．
17.本小题分
已知正项数列的前项和为，且，数列满足，．
求数列和的通项公式；
设，为数列的前项和，若任意，使得成立，求的取值范围．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，焦点与短轴端点围成的四边形的面积为．
求椭圆的标准方程．
已知动直线过椭圆的右焦点，且与椭圆分别交于，两点．试问轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定值和点的坐标；若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间上的二阶导函数，则称为上的凹函数，若二阶导函数，则称为上的凸函数．
若函数是上的凸函数，求实数的取值范围．
已知函数．
若是上的凹函数，求实数的取值范围；
若在内有两个不同的零点，证明：．
参考答案
1.
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14.
15.解：因为，所以．
因为，，
所以，；
由知，则．
令，得或．
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为，，，所以在上的值域为．
16.解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，
因为，
所以，
所以直线与所成角的余弦值为；
设平面的法向量为，
因为，
所以令，得．
设直线与平面所成的角为，因为，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值为；
设平面的法向量为，因为，
所以
令，得，
设平面与平面所成的角为，
，
故平面与平面所成角的余弦值为．
17.由，得，
两式相减得，即．
因为，所以，即．
当时，，解得或舍去，
所以是首项为，公差为的等差数列，故，
因为，
所以当时，，
得，也满足．
故的通项公式为，的通项公式为．
因为，
所以，
当时，取得最小值．
因为对任意，恒成立，所以，
整理得，解得．
18.由题意得，，
又，解得，，
所以椭圆的标准方程为．
存在，理由如下：
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立椭圆的方程，
可得设，，
则，．
设，则
若为定值，则，解得，
此时，点的坐标为．
当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，
代入，得
不妨令，．
若，则，，．
综上所述，在轴上存在点，使得为定值，且定值为．
19.解：因为，定义域为，
所以，．
因为是上的凸函数，所以在上恒成立，
即当时，恒成立．
函数图象的对称轴为直线，
当，即时，只需时，即可，所以，
当，即时，只需时，即可，所以，
综上可得．
因为，，所以，．
因为是上的凹函数，所以在上恒成立，
即在上恒成立．
令，则．
当时，，则，单调递增；
当时，，则，单调递减．
所以，所以，解得，
所以实数的取值范围是．
证明：由知，因为在内有两个不同的零点，，
所以方程在内有两个根，，即．
因为在上单调递增，在上单调递减，所以．
欲证，即证．
因为且在上单调递减，
所以只需证明，即证．
欲证，即证，即，
只需证，即证，而该式显然成立．
欲证，即证．
因为，所以只需证，
即证，即需证．
令，，则，
所以在上单调递增，所以，则原不等式得证．
故．

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