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2024-2025学年天津市小站一中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
3.如图，已知等腰三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是( )
A. B.
C. D.
4.已知、表示两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列命题中正确的是( )
A. ，， B. ，
C. ，， D. ，，
5.已知棱长为的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
6.一圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥表面积为( )
A. B. C. D.
7.一个人骑自行车由地出发向正东方向骑行了到达地，然后由地向南偏东方向骑行了到达地，再从地向北偏东方向骑行了到达地，则，两地的距离为( )
A. B. C. D.
8.在棱长为的正方体中，为的中点，那么直线与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
9.如图所示，在中，，，若，，则( )
A.
B.
C.
D.
10.庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”，如图所示现有如图所示的庑殿顶式几何体，其中正方形边长为，，且到平面的距离为，则几何体的体积为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.若是虚数单位，复数 ______．
12.已知平面向量满足，且与的夹角为，则______．
13.一个底面积为的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为，则该四棱柱的高为______．
14.如图，在空间四边形中，且与所成的角为，，分别是，的中点，则______．
15.已知向量，的夹角为，，，则 ______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
设复数，其中为虚数单位，．
若是纯虚数，求实数的值；
在复平面内表示复数的点位于第四象限，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，在正方体中，为的中点．
求证：平面；
求证：．
18.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，，求，的值．
19.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，已知，，．
求的值；
求的面积；
求的值．
20.本小题分
如图，在正三棱柱中，平面，，是的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求证：平面平面；
Ⅲ求直线与平面所成角的正弦值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.
16.解：若是纯虚数，则，
解得．
由题意知，解得，
所以实数的取值范围为．
17.证明：连接与交于点，连接，
四边形是正方形，
为中点，又为中点，
，又平面，平面，
平面；
在正方体中，
平面，又平面，
，又，，
平面，又平面，
．
18.解：，
由正弦定理可得，
即得，
由于：，
．
，
由正弦定理得，
由余弦定理，
，
解得，
．
19.解：在中，因为，，，
所以由余弦定理，
得；
在中，因为，，，
则，，
所以的面积；
在中，由正弦定理，
可得，
，所以，
又，，
所以．
20.Ⅰ证明：连接交于点，连接
在正三棱柱中，，侧面是正方形，
则点是的中点，
又点是的中点，故是的中位线，，
又平面，平面，平面；
Ⅱ证明：平面，平面，可得，
又，为的中点，，
而，平面，
平面，平面平面；
Ⅲ解：由Ⅱ知，平面平面，
又平面，
在平面中，过作，可得平面，连接，
为直线与平面所成角，
设，在中，求得，
，即直线与平面所成角的正弦值为．
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