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2024-2025学年安徽省池州市贵池区高一下学期4月期中教学质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则实数( )
A. B. C. D.
2.如图，已知，则( )
A. B. C. D.
3.在三角形中，，，，则( )
A. B. C. 或 D. 或
4.在中，角的对边分别为，若，，且，则的面积为( )
A. B. C. D.
5.中，、、分别是内角、、的对边，若且，则的形状是( )
A. 有一个角是的等腰三角形 B. 等边三角形
C. 三边均不相等的直角三角形 D. 等腰直角三角形
6.“勾股弦”是勾股定理的一个特例．据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾股弦”的问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了多年．如图，在矩形中，满足“勾股弦”，且，为上的一点，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
7.在中，点在边上，且满足，点为上任意一点，若实数满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.若的三个内角均小于，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量满足，且，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 若，则或
B. 若点的坐标为，且是关于的方程的一个根，则
C. 若，则的虚部为
D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为
10.已知，是两个单位向量，时，的最小值为，则下列结论正确的是( )
A. ，的夹角是 B. ，的夹角是或
C. 或 D. 或
11.已知三个内角的对应边分别为，且则下列结论正确( )
A. 面积的最大值为
B. 的最大值为
C.
D. 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若实数满足，其中为虚数单位，则 ．
13.如图，在海面上有两个观测点，，点在的正北方向，距离为，在某天观察到某航船在处，此时测得，分钟后该船行驶至处，此时测得，，，，则该船行驶的距离为
14.我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即的三个内角所对的边分别为，则的面积已知在中，，则面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，且为纯虚数是的共轭复数．
求实数的值；
设复数，求；
16.本小题分
已知，，．
求与的夹角
若向量为在上的投影向量，求
17.本小题分
的角，，的对边分别为，，，已知．
求角；
从三个条件：；；的面积为中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围．
18.本小题分
已知在中，为中点，，，．

若，求；
设和的夹角为，若，求证：；
若线段上一动点满足，试确定点的位置．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，对于非零向量，，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道，平行的充要条件为．
已知，，求；
已知，的夹角为和，的夹角为，证明：的充分必要条件是；
在中，，，且，若，求．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：因为，则，
所以，又为纯虚数，
所以，解得；
，
所以．
16.解：设与的夹角为，因为，，
所以
，
，即，
又，，即与的夹角为；
因为，
所以
．
17.解：因为，所以，
得，所以，
因为，所以．
分三种情况求解：
选择，
因为，
由正弦定理得，
即的周长，
因为，所以，
即周长的取值范围是．
选择．
因为，
由正弦定理得，
所以，
即的周长，
因为，所以，所以，
即周长的取值范围是．
选择．
因为，得，
由余弦定理得，
即的周长，
因为，当且仅当时等号成立，
所以．
即周长的取值范围是．
18.解：因为，则，可得，
因为，，，
由平面向量数量积的定义可得，
所以，
．
因为为的中点，则，
由平面向量数量积的定义可得，
所以，，
又因为、均为非零向量，故，即．
因为点在线段上的一点，设，其中，
则，所以，，
又因为，且、不共线，
所以，，解得，此时，点为线段的中点．
19.解：．
因为
，
且，，则，
所以．
若，等价于，即，
所以的充分必要条件是；
因，
则，
可得，
即，可得，
又因为，可知点为的重心，则，
可得，，
则，
，
，
可得，
所以．

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