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2024-2025学年山东省日照市某校高一（下）期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，那么( )
A. B. C. D.
2.已知向量，则与向量方向相反的单位向量是( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
4.在梯形中，设，，若，则( )
A. B. C. D.
5.若，且为第三象限角，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是( )
A. ， B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的图象关于对称 D. 函数在上单调递增
7.已知函数的最小正周期为若，把的图象向右平移个单位长度，得到偶函数的图象，则( )
A. B. C. D.
8.当时，曲线与的交点个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的有( )
A. 函数的对称中心是，
B. 在中，
C. ，，则在上的投影向量等于
D. 两个非零向量，的夹角是锐角
10.计算下列各式的值，结果为的有( )
A. B.
C. D.
11.如图所示，已知角，的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为，，为线段的中点，点坐标为，记，则( )
A. B. 若，则
C. 点的坐标为 D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为 ．
13.在中，，点为边的中点，点在边上，则的最小值为 ．
14.把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数是奇函数，则的值为 ，若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，满足：，，．
求与的夹角的余弦值
若，求实数的值．
16.本小题分
已知，且．
求的值；
求的值．
17.本小题分
如图，在中，是边的中点，是线段的中点．

用和分别表示和；
若直线交于点，交于点，交于点，，求最小值．
18.本小题分
中国数学家华罗庚倡导的“优选法”在各个领域应用广泛，就是黄金分割比的近似值，这一数值也可以表示为三倍角公式是把形如，等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式，广泛应用于数学、物理、天文等学科．
已知试证明此三倍角公式
若角满足，求的值已知
试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值．
19.本小题分
已知函数．
若为偶函数，设．
求解析式；
若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；
若函数的图象过点，设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，，，
由题意得，
即，，
；
由知，
，则，
即，
或．
16.因为，
等式两边同时平方可得，，
所以，又，
所以，又，
所以，，
所以，
即；
由，，
所以，，
所以，，，
所以，
即．

17.由题意，
，
；
由，
得，
，
因为三点共线，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以最小值为．

18.解：
；
由及已知得：，
解得，
，
，
由，得，
；
，即，
，
两边除去得：，即，
化简得：，解得负舍，
由题意知黄金分割值为．
19.由为偶函数，则，，
又，则，
所以，
则
．
存在，使不等式成立，则，
所以在上能成立，而，
所以；
由题设，且，则，
所以，
而，则，所以，
对任意的，总存在，使成立，
所以，即，
令，则，故，
当，则在上单调递增，此时，可得；
当，则在上单调递减，此时，可得；
当，则在上单调递增，在上单调递减，
此时，可得；
综上，．

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