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2024-2025学年新疆喀什市高一下学期期中质量监测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，，则在复平面内对应的点所在的象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.若，，，的夹角为，则等于( )
A. B. C. D.
4.各棱长均为的三棱锥的表面积为
A. B. C. D.
5.在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，，则( )
A. B. 或 C. D. 或
6.如图，在中，，点是的中点．设，，则( )
A. B. C. D.
7.已知平面向量，若，则向量与向量的夹角为( )
A. B. C. D.
8.桂林日月塔又称金塔银塔情侣塔，日塔别名叫金塔，月塔别名叫银塔，所以也有金银塔之称如图，这是金银塔中的金塔，某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底的同一水平面上的两点处进行测量，如图已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，，则该塔的高度( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是( )
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
10.已知向量，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.已知复数是虚数单位，则下列结论正确的是( )
A. 复数的虚部等于 B.
C. D. 若是实数，是纯虚数，则
12.八卦是中国文化中的哲学概念，图是八卦模型图，其平面图形记为图中的正八边形，其中，给出下列结论：( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.复数的共轭复数是 ．
14.已知向量，，且，则实数 ．
15.已知向量，的夹角为且，，则在上投影向量的坐标为 ．
16.如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：
；
；
；
；
．
18.本小题分
已知复数，为虚数单位．
当时，求；
若为纯虚数，求的值；
若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围．
19.本小题分
已知向量与的夹角为，，．
若，求实数的值；
是否存在实数，使得？说明理由．
20.本小题分
在中，，，．
求的面积；
求及的值．
21.本小题分
如图，已知在正四棱锥中，，．
求四棱锥的表面积；
求四棱锥的体积．
22.本小题分
在中，，．
求的大小；
在下列条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．
条件：的周长为；条件：的面积为．
参考答案
1.
2.
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5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.．
14.
15.
16.
17.解：；
；
；
；
．

18.解：当时，，故，所以．
因为为纯虚数，所以
解得或；
若复数在复平面内对应的点位于第三象限，
则，解得，
所以的取值范围为．

19.解：向量与的夹角为，，
，
，，
，
，
解得．
，
，使，
，，
又向量与不共线，
，
解得，
存在实数时，有．
20.解：因为在中，，，
结合平方关系，可知，
从而由三角形面积公式，可知的面积为．
因为在中，，，，
所以由余弦定理有，
又，所以解得，
由可知，
所以由正弦定理有，即，
解得．

21.解：连接，相交于，连接，取中点，连接，，
则，
在直角三角形中，
，
在直角三角形中，
，
，
，
所以正四棱锥的表面积为；
，
所以正四棱锥的体积为．
22.解：在中，因为，又，所以．
因为，所以因为，所以．
选择条件：因为中，，，，
所以，即为等腰三角形，其中．
因为，所以所以．
设点为线段的中点，在中，．
因为中，
，
所以，即边上的中线的长度为．
选择条件：因为中，，，，
所以，即为等腰三角形，其中．
因为的面积为，即，
所以．
设点为线段的中点，在中，．
因为中，
，
所以，即边上的中线的长度为．

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